2022年高中数学必修一必修四知识点总结 .pdf

数学知识点总结精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 26 页高中数学必修 1 知识点第一章集合与函数概念1.1 集合【1.1.1 】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N表示自然数集，N或N表示正整数集， Z 表示整数集，Q表示有理数集， R表示实数集 . （3）集合与元素间的关系对象 a与集合 M 的关系是aM，或者aM，两者必居其一 . （4）集合的表示法自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. 描述法： x| x具有的性质 ，其中 x为集合的代表元素 . 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集. 含有无限个元素的集合叫做无限集. 不含有任何元素的集合叫做空集 (). 【1.1.2 】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集BA（或)ABA 中的任一元素都属于 B (1)AA (2)A(3) 若BA且BC，则AC(4) 若BA且BA，则 ABA(B)或BA真子集AB （或BA）BA，且 B 中至少有一元素不属于 A （1）A（A为非空子集）(2) 若 AB且 BC ，则 ACBA集合相等ABA 中的任一元素都属于 B， B中的任一元素都属于A (1)AB (2)BA A(B)（7）已知集合 A有(1)n n个元素，则它有2n个子集，它有21n个真子集，它有21n个非空子集，它有22n非空真子集 . 【1.1.3 】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 26 页交集AB|,x xA且xB（1）AAA（2）A（3）ABAABBBA并集AB|,x xA或xB（1）AAA（2）AA（3）ABAABBBA补集UAe|,x xUxA且1()UAAe2()UAAUe【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集|(0)xa a|xaxa|(0)xa a|x xa或xa|,|(0)axbc axbc c把axb看成一个整体，化成|xa，|(0)xa a型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24bac000二次函数2(0)yaxbxc a的图象O一元二次方程20(0)axbxca的根21,242bbacxa（其中12)xx122bxxa无实根20(0)axbxca的解集1|x xx 或2xx|x2bxaR()()()UUUABAB痧?()()()UUUABAB痧?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 26 页20(0)axbxca的解集12|x xxx1.2 函数及其表示【1.2.1 】函数的概念（1）函数的概念设 A、 B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合 A中任何一个数 x ，在集合 B中都有唯一确定的数( )f x和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B 以及 A到 B 的对应法则f）叫做集合 A到 B的一个函数，记作:fAB函数的三要素 : 定义域、值域和对应法则只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（2）区间的概念及表示法设,a b是两个实数，且ab，满足axb的实数 x 的集合叫做闭区间，记做 , a b；满足axb的实数 x的集合叫做开区间，记做( , )a b；满足axb，或axb的实数 x的集合叫做半开半闭区间，分别记做 , )a b，( , a b；满足,xa xa xb xb的实数 x的集合分别记做 ,),(,),(, ,(, )aabb注意： 对于集合|x axb与区间( , )a b，前者 a可以大于或等于b，而后者必须ab， （前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：( )f x是整式时，定义域是全体实数( )f x是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数( )f x是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1tanyx中，()2xkkZ零（负）指数幂的底数不能为零若( )f x是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题， 一般步骤是：若已知( )f x的定义域为 , a b， 其复合函数( )f g x的定义域应由不等式( )ag xb解出对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 26 页在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值判别式法：若函数( )yf x可以化成一个系数含有y 的关于 x 的二次方程2( )( )( )0a y xb y xc y， 则在( )0a y时， 由于 , x y为实数，故必须有2( )4 ( )( )0bya yc y，从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【1.2.2 】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6）映射的概念设 A、 B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合 A中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A， B 以及 A到 B 的对应法则f）叫做集合 A到 B的映射，记作:fAB给定一个集合A到集合 B 的映射，且,aA bB如果元素 a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素 a的象，元素 a叫做元素b的原象1.3 函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2, 当 x1 x2时，都有f(x 1)f(x 2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是增函数x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 26 页如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当 x1f(x 2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数y=f(X)yxoxx2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数( )yf g x，令( )ug x，若( )yf u为增，( )ug x为增，则( )yf g x为增；若( )yf u为减，( )ug x为减，则 ( )yf g x为增；若( )yf u为增，( )ug x为减，则( )yf g x为减；若( )yf u为减，( )ug x为增，则 ( )yf g x为减（2）打“”函数( )(0)af xxax的图象与性质( )f x分别在(,a、,)a上为增函数，分别在,0)a、(0,a上为减函数（3）最大（小）值定义一般地，设函数( )yf x的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足： （1）对于任意的xI， 都有( )f xM；（2）存在0 xI，使得0()f xM 那么，我们称 M是函数( )f x的最大值，记作max( )fxM 一般地，设函数( )yf x的定义域为 I ，如果存在实数 m满足： （1）对于任意的xI，都有( )f xm； （2）存在0 xI，使得0()f xm那么，我们称m是函数( )f x的最小值，记作max( )fxm【1.3.2 】奇偶性（4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法yxo精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 26 页函数的奇偶性如果对于函数f(x) 定义域内任意一个 x， 都有 f( x)= f(x) , 那么函数 f(x) 叫做奇函数（1）利 用 定 义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利 用 图 象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x) 定义域内任意一个 x， 都有 f( x)= f(x) , 那么函 数f(x)叫 做 偶 函 数（1）利 用 定 义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利 用 图 象（图象关于 y 轴对称）若函数( )f x为奇函数，且在0 x处有定义，则(0)0f奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充知识函数的图象（1）作图利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性） ；画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换0,0,|( )()hhhhyf xyf xh左移 个单位右移 |个单位0,0,|( )( )kkkkyf xyf xk上移 个单位下移 |个单位伸缩变换01,1,( )()yfxyfx伸缩01,1,( )( )AAyf xyAfx缩伸对称变换( )( )xyf xyf x轴( )()yyf xyfx轴( )()yf xyfx原点1( )( )yxyf xyfx直线( )(|)yyyyf xyfx去掉 轴左边图象保留 轴右边图象，并作其关于轴对称图象( )|( ) |xxyf xyf x保留 轴上方图象将 轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 26 页的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第二章基本初等函数 ( ) 2.1 指数函数【2.1.1 】指数与指数幂的运算（1）根式的概念如果,1nxa aR xR n，且nN，那么 x叫做 a的 n次方根当 n是奇数时， a的 n次方根用符号na表示；当 n是偶数时，正数 a的正的 n次方根用符号na表示，负的 n次方根用符号na表示； 0 的 n次方根是 0；负数 a没有 n次方根式子na叫做根式，这里 n叫做根指数， a叫做被开方数当 n为奇数时， a为任意实数；当 n为偶数时，0a 根 式 的 性 质 ：()nnaa； 当 n 为 奇 数 时 ，nnaa ； 当 n 为 偶 数 时 ， (0)| (0) nnaaaaaa（2）分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：(0,mnmnaaam nN且1)n0 的正分数指数幂等于 0正数的负分数指数幂的意义是：11()( ) (0,mmmnnnaam nNaa且1)n0 的负分数指数幂没有意义注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数（3）分数指数幂的运算性质(0, ,)rsrsaaaar sR ()(0, ,)rsrsaaar sR ()(0,0,)rrraba babrR【2.1.2 】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义函数(0 xyaa且1)a叫做指数函数图象1a01axayxy(0,1)O1yxayxy(0,1)O1y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 26 页定义域R值域(0,)过定点图象过定点(0,1)，即当0 x时，1y奇偶性非奇非偶单调性在 R上是增函数在 R上是减函数函数值的变化情况1 (0)1 (0)1 (0)xxxaxaxax1 (0)1 (0)1 (0)xxxaxaxaxa变化对图象的影响在第一象限内， a越大图象越高； 在第二象限内， a越大图象越低2.2 对数函数【2.2.1 】对数与对数运算（1）对数的定义若(0,1)xaN aa且，则 x 叫做以 a为底 N 的对数，记作logaxN ，其中 a叫做底数， N叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：log(0,1,0)xaxNaN aaN（2）几个重要的对数恒等式log 10a，log1aa，logbaab（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N，即10logN ；自然对数：ln N，即logeN（其中2.71828e） （4）对数的运算性质如果0,1,0,0aaMN，那么加法： logloglog ()aaaMNMN减法：logloglogaaaMMNN数乘：loglog()naanMMnRlogaNaNloglog(0,)bnaanMM bnRb换底公式：loglog(0,1)logbabNNbba且精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 26 页【2.2.2 】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数log(0ayx a且1)a叫做对数函数图象1a01a定义域(0,)值域R过定点图象过定点(1,0)，即当1x时，0y奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数函数值的变化情况log0 (1)log0 (1)log0 (01)aaaxxxxxxlog0 (1)log0 (1)log0 (01)aaaxxxxxxa变化对图 象 的影响在第一象限内， a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高(6) 反函数的概念设函数( )yf x的定义域为 A，值域为C，从式子( )yf x中解出 x ，得式子( )xy如果对于 y 在C中的任何一个值，通过式子( )xy， x在 A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子( )xy表示 x是 y 的函数，函数( )xy叫做函数( )yf x的反函数，记作1( )xfy ，习惯上改写成1( )yfx （7）反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式( )yfx中反解出1( )xfy ；将1( )xfy 改写成1( )yfx ，并注明反函数的定义域（8）反函数的性质原函数( )yf x与反函数1( )yfx 的图象关于直线 yx对称xyO(1,0)1xlogayxxyO(1,0)1xlogayx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 26 页函数( )yf x的定义域、值域分别是其反函数1( )yfx 的值域、定义域若( , )P a b在原函数( )yf x的图象上，则( , )P b a 在反函数1( )yfx 的图象上一般地，函数( )yf x要有反函数则它必须为单调函数2.3 幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数yx叫做幂函数，其中 x为自变量，是常数（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限 (图象关于 y 轴对称 )；是奇函数时，图象分布在第一、三象限( 图象关于原点对称) ；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在0,)上为增函数如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与 y 轴奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数， 当为偶数时，幂函数为偶函数 当qp（其中,p q互质， p 和qZ） ，若 p为奇数 q为奇数时，则qpyx是奇函数， 若 p 为奇数 q为偶数时，则qpyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 26 页是偶函数，若 p为偶数 q为奇数时，则qpyx是非奇非偶函数图象特征： 幂函数,(0,)yxx，当1时，若01x，其图象在直线 yx下方，若1x，其图象在直线 yx上方，当1时，若01x，其图象在直线 yx上方，若1x，其图象在直线 yx下方补充知识二次函数（1）二次函数解析式的三种形式一般式：2( )(0)f xaxbxc a顶点式：2( )()(0)f xa xhk a两根式：12( )()()(0)f xa xxxxa（2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求( )f x更方便（3）二次函数图象的性质二次函数2( )(0)f xaxbxc a的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bxa顶点坐标是24(,)24bacbaa当0a时，抛物线开口向上，函数在(,2ba上递减，在,)2ba上递增，当2bxa时，2min4( )4acbfxa；当0a时，抛物线开口向下，函数在(,2ba上递增，在,)2ba上递减，当2bxa时，2max4( )4acbfxa二次函数2( )(0)f xaxbxc a当240bac时，图象与 x 轴有两个交点11221212( ,0),( ,0),| | |M xM xMMxxa（4）一元二次方程20(0)axbxca根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整， 且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理） 的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布设一元二次方程20(0)axbxca的两实根为12,x x，且12xx令2( )f xaxbxc ，从以下四个方面来分析此类问题：开口方向：a 对称轴位置：2bxa判别式：端点函数值符号精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 26 页kx1x2xy1x2x0aOabx20)(kfkxy1x2xOabx2k0a0)(kfx1x2kxy1x2x0aOabx2k0)(kfxy1x2xOabx2k0a0)(kfx1kx2af ( k) 0 0)(kfxy1x2x0aOkxy1x2xOk0a0)(kfk1x1x2k2xy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfabx2xy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kfabx2有且仅有一个根x1（或 x2）满足 k1x1（或 x2）k2f ( k1)f ( k2)0，并同时考虑f (k1)=0 或 f ( k2)=0 这两种情况是否也符合xy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfxy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 26 页k1x1k2p1x2p2此结论可直接由推出（5）二次函数2( )(0)f xaxbxc a在闭区间, p q上的最值设( )f x在区间, p q上的最大值为 M ，最小值为 m，令01()2xpq（）当0a时（开口向上）若2bpa，则( )mfp若2bpqa，则()2bmfa若2bqa，则( )mf q若02bxa，则( )Mf q02bxa，则()Mfp()当0a时( 开口向下 ) 若2bpa，则( )Mfp若2bpqa，则()2bMfa若2bqa，则( )Mf q若02bxa，则( )mf q02bxa，则( )mfpxOf(p)f(q)()2bfaxOf(p)f(q)()2bfaxOf(p)f(q)()2bfaxOf(p)f(q)()2bfa0 xxOf(p)f(q)()2bfa0 xxOf(p)f(q)()2bfaxOf(p)f(q)()2bfaxOf(p)f(q)()2bfa0 xxOf(p)f(q)()2bfaxOf(p)f(q)()2bfa0 x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 26 页高中数学必修 4 知识点第一章三角函数正角: 按逆时针方向旋转形成的角1、任意角 负角:按顺时针方向旋转形成的角零角: 不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角第一象限角的集合为36036090 ,kkk第二象限角的集合为36090360180 ,kkk第三象限角的集合为360180360270 ,kkk第四象限角的集合为360270360360 ,kkk终边在 x轴上的角的集合为180 ,kk终边在 y 轴上的角的集合为18090 ,kk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 26 页PxyAOMT终边在坐标轴上的角的集合为90 ,kk3、与角终边相同的角的集合为360,kk4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度5、半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是lr6、弧度制与角度制的换算公式：2360，1180，180157.3 7、 若扇形的圆心角为为弧度制， 半径为 r ， 弧长为l， 周长为C， 面积为S， 则lr，2Crl，21122Slrr8、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是, x y ，它与原点的距离是220r rxy， 则s i nyr，cosxr，tan0yxx9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正10、三角函数线：sin，cos，tan11 、 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 ：221 sincos12222sin1cos,cos1sin；sin2tancossinsintancos,costan. （3） 倒数关系：tancot112、函数的诱导公式：1 sin 2sink， cos 2cosk， tan 2tankk2 sinsin， coscos， tantan3 sinsin， coscos， tantan4 sinsin， coscos， tantan口诀：函数名称不变，符号看象限5 sincos2，cossin26 sincos2，cossin2口诀：正弦与余弦互换，符号看象限13、的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变） ，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长 （缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数sinyx的图象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 26 页数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长 （缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数sinyx的图象14、函数sin0,0yx的性质：振幅：；周期：2；频率：12f；相位：x；初相：函数sinyx，当1xx 时，取得最小值为miny；当2xx 时，取得最大值为maxy，则maxmin12yy，maxmin12yy，21122xxxx15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyxy=cotx 图象y=cotx3222-2oyx定义域RR,2x xkk,2x xkk值域1,11,1RR最值当22xkk时 ，max1y； 当22xkk时，min1y当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y既无最大值也无最小值既无最大值也无最小值周期22函数性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 26 页性奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在2,222kkk上是增函数；在32,222kkk上是减函数在2,2kkk上 是 增 函 数 ； 在2,2kkk上是减函数在,22kkk上 是 增 函数对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴 xkk对称中心,02kk无对称轴对称中心,02kk无对称轴第二章平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度零向量：长度为0的向量单位向量：长度等于 1个单位的向量平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量17、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点三角形不等式：ababab 运算性质：交换律：abba；结合律：abcabc；00aaa坐标运算：设11,ax y，22,bxy， 则1212,a bxx yy18、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设11,ax y，22,bxy， 则1212,a bxx yy设、两 点 的 坐 标 分 别 为11,x y，22,xy， 则baCabCC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 26 页1212,xxyy19、向量数乘运算：实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作aaa ；当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a运算律：aa ；aaa；abab坐标运算：设,ax y ，则,ax yxy 20、向量共线定理：向量0a a与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba设11,axy ，22,bxy，其中0b，则当且仅当12210 x yx y时，向量a、0b b共线21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使1 122aee （不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）22、 分点坐标公式：设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是11,xy，22,xy， 当12时，点的坐标是1212,11xxyy （当时，就为中点公式。）123、平面向量的数量积：cos0,0,0180a ba bab零向量与任一向量的数量积为0性质：设a和b都是非零向量， 则0aba b当a与b同向时，a ba b；当a与b反向时，a ba b；22a aaa或 aa a a ba b运算律： a bb a；aba bab；abca cb c坐标运算：设两个非零向量11,axy ，22,bxy，则1212a bx xy y 若,ax y， 则222axy， 或22axy设11,ax y，22,bxy， 则12120abx xyy 设a、b都 是 非 零 向 量 ，11,ax y，22,bxy，是a与 b 的 夹 角 ， 则121222221122cosx xy ya ba bxyxy知识链接：空间向量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 26 页空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得. 下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳 . 1、直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量：若 A、B是直线l上的任意两点， 则AB为直线l的一个方向向量； 与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量 . 平面的法向量：若向量n所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作 n，如果 n，那么向量n叫做平面的法向量 . 平面的法向量的求法（待定系数法）：建立适当的坐标系设平面的法向量为( , , )nx y z 求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,),( ,)aa aabb b b根据法向量定义建立方程组00n an b. 解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量 . （如图）1、 用向量方法判定空间中的平行关系线线平行设直线12,l l 的方向向量分别是 a b、 ，则要证明1l 2l ，只需证明ab，即()akb kR . 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。线面平行（法一）设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l，只需证明 au，即0a u. 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可 . 面面平行若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要证，只需证uv，即证 uv . 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。3、用向量方法判定空间的垂直关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 26 页线线垂直设直线12,l l 的方向向量分别是 a b、 ，则要证明12ll ，只需证明 ab，即0a b. 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。线面垂直（法一）设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l，只需证明au，即 au. （法二）设直线l的方向向量是a，平面内的两个相交向量分别为mn、 ， 若0,.0a mla n则即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。面面垂直若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要证，只需证 uv，即证0u v. 即：两平面垂直两平面的法向量垂直。4、利用向量求空间角求异面直线所成的角已知,a b为两异面直线， A，C与 B，D分别是,a b上的任意两点，,a b所成的角为，则 cos.AC BDAC BD求直线和平面所成的角定义： 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角求法： 设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，则为的余角或的补角的余角 . 即有：coss.ina ua u求二面角定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线lBOlAO,，则AOB为二面角l的平面角 . 如图：O A B O A B l 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 26 页求法：设二面角l的两个半平面的法向量分别为m n、 ，再设 m n、 的夹角为，二面角l的平面角为，则二面角为 m n、 的夹角或其补角.根据具体图形确定是锐角或是钝角：如果是锐角，则 coscosm nm n，即arccosm nm n； 如果是钝角，则 coscosm nm n，即arccosm nm n. 5、利用法向量求空间距离点 Q到直线l距离若 Q为直线l外的一点 , P 在直线l上，a为直线l的方向向量，b=PQ，则点 Q到直线l距离为221(|)()|haba ba点 A到平面的距离若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，平面的法向量为n，则 P到平面的距离就等于MP在法向量n方向上的投影的绝对值 . 即cos,dMPn MPn MPMPn MPn MPn直线 a 与平面之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。即.n MPdn两平行平面,之间的距离精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 26 页利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即.n MPdn异面直线间的距离设向量n与两异面直线,a b都垂直，,Ma Pb则两异面直线,a b间的距离d就是MP在向量n方向上投影的绝对值。即.n MPdn6、三垂线定理及其逆定理三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直推理模式：,POOPAAaPAaaOAaPOA概括为：垂直于射影就垂直于斜线.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直推理模式：,POOPAAaAOaaAP概括为：垂直于斜线就垂直于射影. 7、三余弦定理设 AC是平面内的任一条直线， AD是的一条斜线 AB在内的射影，且 BD AD ，垂足为 D.设 AB 与 (AD) 所成的角为1， AD 与 AC 所成的角为2， AB 与 AC 所成的角为则12coscoscos. 21ABDC8、 面积射影定理已知平面内一个多边形的面积为S S原， 它在平面内的射影图形的面积为SS射， 平面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 26 页与平面所成的二面角的大小为锐二面角，则cos=.SSSS射原9、一个结论长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123lll、 、 ， 夹角分别为123、,则有2222123llll222123coscoscos1222123sinsinsin2. （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 第三章 三角恒等变换24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： coscos cossinsin； coscos cossinsin； sinsincoscos sin； sinsincoscossin；tantantan1 tantan（ tantantan1tantan） ；tantantan1 tantan（ tantantan1 tantan） 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin22sincos222)cos(sincossin2cossin2sin12222cos2cossin2cos11 2sin升幂公式2sin2cos1 ,2cos2cos122降幂公式2cos21cos2，21cos2sin226、22tantan21tan27、（后两个不用判断符号，更加好用）28、 合 一 变 形把 两 个三 角 函数 的 和