线面角及二面角的求法.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date线面角及二面角的求法第1节 集合的概念第9节 线面角及二面角的求法【基础知识】求线面角、二面角的常用方法：(1)线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解(2)二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角来度量 : 【规律技巧】平面角的作法常见的有定义法；垂面法注意利用等腰、等边三角形的性质【典例讲解】【例1】 如图，在四棱锥P­ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E是PC的中点 (1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE平面PCD；(3)求二面角APDC的正弦值(1)解在四棱锥PABCD中，因PA底面ABCD，AB平面ABCD，故PAAB.又ABAD，PAADA，从而AB平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而APB为PB和平面PAD所成的角在RtPAB中，ABPA，故APB45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明在四棱锥PABCD中，因PA底面ABCD，CD平面ABCD，故CDPA.由条件CDAC，PAACA，CD平面PAC.又AE平面PAC，AECD.由PAABBC，ABC60°，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.又PCCDC，综上得AE平面PCD.【变式探究】如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC.E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(1)证明PA平面EDB；(2)证明PB平面EFD；(3)求二面角CPBD的大小(1)证明如图所示，连接AC，AC交BD于O，连接EO.底面ABCD是正方形，点O是AC的中点在PAC中，EO是中位线，PAEO.而EO平面EDB且PA平面EDB，PA平面EDB.【针对训练】1如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC2，PA2，E是PC上的一点，PE2EC. (1)证明：PC平面BED；(2)设二面角APBC为90°，求PD与平面PBC所成角的大小(2)解在平面PAB内过点A作AGPB，G为垂足因为二面角APBC为90°，所以平面PAB平面PBC.又平面PAB平面PBCPB，故AG平面PBC，AGBC.因为BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC平面PAB，于是BCAB，所以底面ABCD为正方形，AD2，PD2.设D到平面PBC的距离为d.因为ADBC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故AD平面PBC，A，D两点到平面PBC的距离相等，即dAG.设PD与平面PBC所成的角为，则sin .所以PD与平面PBC所成的角为30°.【练习巩固】1、如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F.（）证明：；（）求二面角余弦值.【答案】（）；（）.3（2014·湖北卷）如图1­4，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DPBQ(0<<2)(1)当1时，证明：直线BC1平面EFPQ.(2)是否存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由图1­44（2014·新课标全国卷）如图1­3，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设二面角D­AE­C为60°，AP1，AD，求三棱锥E­ACD的体积图1­3设B(m，0，0)(m>0)，则C(m，0)，(m，0)设n1(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即可取n1.又n2(1，0，0)为平面DAE的法向量，由题设易知|cosn1，n2|，即，解得m.因为E为PD的中点，所以三棱锥E­ACD的高为.三棱锥E­ACD的体积V××××.-