第20讲-梯形-三角形和梯形的中位线.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date第20讲-梯形-三角形和梯形的中位线第22讲 梯形 三角形和梯形的中位线第20讲 梯形、三角形和梯形的中位线几何学所致力的知识，是关于永恒的知识。 柏拉图知识方法扫描一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。与梯形有关的的辅助线有两类：一类是作与一腰或一对角线的平行线，将梯形的问题转化成三角形及平行四边形的问题来解决；另一类是作梯形的高，将梯形的问题转化成直角三角形及矩形的问题来解决。三角形两边中点的连线叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。梯形两腰中点的连线叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于上下底，且等于上下底和的一半三角形和梯形的中位线有定量和定性两方面的功能：在数量关系上，它提供了数值计算的依据，在位置关系上，它提供了论证两条直线平行的依据。它也是一种几何变换。在遇到与三角形一边的中点，梯形一腰的中点的问题时，常作出三角形或梯形的中位线，这是一种重要的辅助线。经典例题解析例1（2000年河北省初中数学竞赛试题）如图，在梯形ABCD中，ADBC,AB=8,AD=3,CD=6,并且B+C=90°，则该梯形面积SABCD= .解 过D作DEAB，交BC于E，作高DH，则DE=AB=8，且。由得 。故SABCD。例2等腰梯形的中位线长为m，且对角线互相垂直，求梯形的高和面积解 如图，等腰梯形ABCD中，ABCD，EF是中位线，ACBD于D，过点C作CGBD交AB的延长线于点G，显然四边形BGCD是平行四边形，BG=CD，BD=CG， BDAC于D， CGAC，即ACG =90°.又 四边形aBCO是等腰梯形， AC=BD, 于是 AC=CG。过C作CHAG于G， 则H是AG中点。梯形的高CH= EF=m。故梯形的面积为 EF·CH=m2。例3（1990年绍兴市初二数学竞赛试题）连结凸四边形一组对边中点的线段等于另一组对边和的一半, 问这个凸四边形是什么四边形?试证明你的结论.解 这个凸四边形是平行四边形或梯形。证明如下：如图，在凸四边形ABCD中，M，N分别是对边AB，CD的中点，MN=（AD+BC）。连结BD，取BD的中点P，连结MP，NP。则MP=AD，NP=BC，MP+NM=（AD+BC）=MN。 所以P点一定在线段MN上，于是ADMN，BCMN，故ADBC。 当AB=CD时，凸四边形是平行四边形；当ABCD时，凸四边形是梯形。例4(第5届“缙云杯”初中数学邀请赛试题)等腰梯形ABCD中，ABCD, ABC=60º, AC平分DAB,E,F分别是对角线AC,BD的中点，且EF=a,试求梯形ABCD 的面积。 解 连结CF，并延长交AB于G，因CDF=GBF,DF=BF,DFC=BFG于是DFCBFG, 故CF=FG,CD=GB.由三角形中位线定理得:AG=2EF=2a.又因为ABCD是等腰梯形，所以DAB=ABC=60º, 因AC平分DAB, 所以DAC=DCA,于是AD=DC=BC，CGB为等边三角形，CGB=60º,ADCG, 故CD=AG=2a,AB=2AG=4a.作CHAB，H为垂足，则CH2=CB2-HB2=(2a) 2-a2=3a2，CH=a。所以梯形ABCD 的面积=(CD+AB)CH=(2a+4a) a=3a2.例5（2007年太原市初中数学竞赛试题）如图，已知AD为ABC的角平分线，AB<AC， 在AC上截取AC=AB,M、N分别为BC、AD的中点。求证：MNAD。证明：如图，连接BE，记BE中点为F，连接FN,FM。因为FN为EBA的中位线，所以FN=AB，且FNAB。又CE=AB，则FN=FM, 于是 3=4。但4=5，则3=5。又1+4=3+5，而1=2，则2=5，故MNAD。例6（1991年泉州市初二数学双基赛题）已知：在ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是边BC的中点，求证：PMPN证明 取AB中点Q，AC中点R，连结PQ，PR，MQ，NR，则PQAC，PQACNR，PRAB，PRMQ，故PQMPRN（两边分别垂直）PQMNRP，即PMPN。例7（1986年全国部分省市初中数学通讯赛试题）（1）以ABC的边AB，AC为边各向外作一个正方形，中心分别为O1，O2，D为BC中点，求证：O1D与O2D垂直并相等;（2）以任意四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA为边各向外作一个正方形，中心分别为O1，O2，O3，O4，求证：O1 O3与O2 O4垂直并相等；（3）在（1）中，又以BC为边向外作一个正方形，中心为O3，请你回答：（a）线段O1 O2与哪条线段垂直并相等，并证明你的猜想；（b）你认为（3）和（2）有何联系？解 (1)连结CG, BE, BG,CE. 易证GACBAE, 于是GC=BE, AGC=ABE.而AQG=PQB, 故QPB=QAG=90º.BEGC. 但DO1CG, DO1=CG, DO2BE, DO2=BE, 所以DO1, DO1= DO2.(2) 连结AC,取其中点M, 连结O1M,O2M,O3M,O4M.由(1)的结论知O1MO2M, O3MO4M. O1M=O2M, O3M=O4M.易证O4M O2O3M O1. 于是O1 O3=O2 O4,仿(1)可证O1 O3O2 O4.(3) (a)若以BC为边的三角形中心为O3,则O1 O2与A O3垂直并相等.证明如下:取AB中点M, 连结O1M, O2 M, O3 M.显然O1MAM, O1M=AM, 又由(1)知 O2MO3M, O2M=O3M. 可证O1MO2AMO3, 于是O1 O2=A O3,仿(1)可证O1O2AO3. (b) (3)是(2)中A,D重合,以AD为边的正方形退缩成一个点的特殊情况.例8（1996年山东省初中数学竞赛试题）如图，分别以ABC的边AC和BC的一边，在ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点。求证：点P到边AB的距离是AB的一半。证明 如图，点P到边AB的距离为PH。作AB的垂线EE，FF，CC，E'，F'，C为垂足。在RtCCB与RtBFF中，CB=BF，CBC=90º-FBF=BFF，于是RtCCBRtBFF，所以BC=FF。同理可证：AC=EE。 显然PH是梯形EEFF的中位线， PH=（EE+FF）=（AC+BC）=AB。同步训练一、选择题1若四边形一组对边中点的连线长为d，另一组对边的长分别为a，b，则d与的大小关系是( )。(A) (B) (C) (D) 2（2004年“KLT快灵通”全国初中数学联赛成都初赛试题）如图，M是ABC的BC边的中点，AN平分BAC，ANBN于N，且AB=10，BC=15，MN=3，则ABC的周长等于（）（A）38（B）39（C）40（D）413（第三届“求是杯”初二学生数学竞赛试题）已知顺次连接一个四边形的各边的中点所得的四边形是菱形,那么这个四边形是( ) (A) 矩形 (B) 菱形 (C) 对角线垂直的四边形 (D) 对角线相等的四边形4在四边形ABCD中，BD=AB，BDC=90º，L,M,N分别为BD,AD,BC的中点，P为MN的中点，且MP=a,LP=b。则BC的长度为（ ）.（A） （B）（C）（D）5（第十届“希望杯”全国数学邀请赛试题）如图，四边形ABCD中，AD>BC,E,F分别是 AB,CD的中点,AD,BC的延长线分别与EF的延长线交于H,G.则（ ）（A）AHE>BGE （B）AHE=BGE（C）AHE<BGE （D）AHE与BGE的大小关系不确定二、填空题6（第6届“祖冲之杯” 初中数学邀请赛试题）梯形ABCD的下底AB，上底CD(AB>CD)，中位线EF把梯形分成两个梯形，已知这两个梯形的面积比为3：5，EF=10,则AB= .7（1998年上海市初中数学竞赛试题）如图,在等腰梯形ABCD中，上底AD=2，下底BC=8，M是腰AB的中点，若MDCD，则该梯形的面积是_。8（1986年江苏省初中数学竞赛试题）若等腰梯形的大底等于对角线长，小底等于高长，那么小底与大底的比是_。9（2001年山东省初中数学竞赛试题）如图，AEAB，AE=AB，BCCD，BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ）（A）50 （B） 62 （C） 65 （D）6810（2001年重庆市初三年级数学竞赛试题）如图,已知AGBD,AFCE, BD，CE分别是ABC和ACB的角平分线.若BF=2,ED=3,GC=4,则ABC的周长为 .三 解答题11（2001年重庆市初三年级数学竞赛试题）如图，在ABC中，D，E是AC，BC的中点，BFAB，BD与FC相交于G，连结EG。（1） 求证：EGAC；（2） 求的比值。12（2001年天津市初中数学竞赛试题）在任意凸五边形ABCDE中，M，N，P，Q分别为AB，CD，BC，DE的中点，K，L分别为MN，PQ的中点。求证：KLAE，且KLAE。13（1978年八省市数学竞赛试题）已知M是线段AB的中点，从AB上另一点C任意引线段CD，设CD的中点为N，BD的中点为P，MN的中点为Q，求证：直线PQ平分线段AC14（第10届“希望杯”数学邀请赛试题）如图，在等腰梯形ABCD中，CDAB，对角线AC，BD相交与于点O，ACD=60º，点S，P，Q分别为OD，OA，BC的中点。（1）求证：PQS是等边三角形（2）若AB=5，CD=3，求PQS的面积；（3）若PQS的面积与AOD的面积的比为7：8，求梯形上，下两底的比CD：AB。15（2004年全国初中数学联赛试题）如图，在梯形ABCD中，ADBC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方ABGE和DCHF， 连接EF，设线段EF的中点为M。求证：MA=MD。-