第二章-线性方程组习题解答.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date第二章-线性方程组习题解答线性方程组习题解答第二章 线性方程组习题解答习题2.1解下列线性方程组（1）解：对方程组的增广矩阵作初等行变换由最后一行可得原方程组无解.（2）解：对方程组的增广矩阵作初等行变换原方程组有唯一解（3）解：对方程组的增广矩阵作初等行变换方程组有无穷多解，其通解为其中为任意数.（4）解 对方程组系数矩阵作初等行变换方程组的通解为其中为任意数.习题2.21. 用初等行变换将下列矩阵化成阶梯形矩阵，并求它们的秩.（1） 秩为2.秩为3.秩为3.2. 求下列各方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩.（1）解 对增广矩阵作初等行变换系数矩阵与增广矩阵秩均为3.（2）解 对增广矩阵作初等行变换系数矩阵与增广矩阵的秩均为4.习题2.31. 解下列各非齐次线性方程组.（1）解 对方程组增广矩阵作初等行变换原方程组有唯一解.（2）解 由第一个方程和第三个方程可得原方程组无解（3）解 对方程组增广矩阵作初等行变换因此原方程组有无穷多解，其通解为其中为任意数.2. 解下列各齐次线性方程组（1）解 对方程组系数矩阵作初等行变换系数矩阵秩为3，原方程组只有零解.即解为（2）解 对方程组系数矩阵作初等行变换化为行简化阶梯形得原方程组的一般解为其中为任意数.（3）解 对方程组系数矩阵作初等行变换化为行简化阶梯形得原方程组的通解为其中为任意数. 3.某工厂为两家企业加工3种零件，现3种零部件各有两家企业需要3种部件分别为和.用表示第家企业需要第种部件的数量，试列出所满足的方程组，并求解. 解 根据题意可得所满足的方程组为其通解为 4.当为何值时，方程组（1）有唯一解.（2）有无穷多解.（3）无解? 解法一：系数行列式为（1）当且时，方程组有唯一解.（2）当时，原方程组为增广矩阵作初等行变换化为阶梯形方程组有无穷多解，其通解为其中为任意数.（3）当时，原方程组为增广矩阵作初等行变换化为阶梯形因此方程组无解. 解法二：对方程组的增广矩阵作初等行变换化为阶梯形.(1) 当且时，系数矩阵与增广矩阵的秩都为3，方程组有唯一解.(2) 当时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，方程组无解.(3) 当时，系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，方程组有无穷多解.此时增广矩阵化为其通解为其中为任意数.5. 问当为何值时，方程组（1） 有唯一解.（2）有无穷多解.（3）无解？解：对方程组增广矩阵作初等行变换化为阶梯形得（1）当时方程组有唯一解，其解为.（2）当时方程组有无穷多解，其通解为其中为任意数.(3)当时，方程组无解.总复习题2（A）1. 填空题（1） 非齐次线性方程组（系数矩阵为矩阵，增广矩阵为）有唯一解的充分必要条件是.（2） 线性方程组无解，系数矩阵为，且则增广矩阵的秩为4 .（3） 若取任意数都是齐次线性方程组的解，则系数矩阵的秩 0 .（4） 若矩阵的秩为2，则 2 .方法一：.方法二：显然A取1,2两行以及1,2两列的2阶子式不为0，要使A的秩为2，则.2. 选择题（1） 方程组当（ C ）时，方程组仅有零解. A. B. 1 C. 2 D.任意实数要使齐次线性方程组只有零解，则系数矩阵的秩为2，当时秩为1.（2） 当（ A）时，方程组 无解. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5（3） A为矩阵，下列结论正确的是（ B，D ) A.以A为系数矩阵的齐次线性方程组仅有零解 B.以A为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解 C.以A为系数矩阵的非齐次线性方程组仅有一解 D.以A为系数矩阵的非齐次线性方程组有无穷多解 系数矩阵的秩等于行数，增广矩阵的秩也等于行数，而且秩小于未知数的个数，因此有无穷多解.（4） 对于非齐次线性方程组以下结论中，（B ）不正确. A.若方程组无解，则系数行列式D=0 B.若方程组有解，则系数行列式 C.若方程组有解，则方程组或者有唯一解或者有无穷多解 D.系数行列式是方程组有唯一解的充分必要条件（5） A为矩阵，下列结论中正确的是（ B )A.时，以A为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解B.时，以A为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解C.时，以A为系数矩阵的非齐次线性方程组有无穷多解D.时，以A为系数矩阵的非齐次线性方程组有解非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，当时，若，有可能增广矩阵为.因此A,C不正确，当时，系数矩阵与增广矩阵秩未必相等.D也不正确.（6） 已知非齐次线性方程组的系数行列式为零，则（ D ）.A.方程组有无穷多解 B.方程组无解C.方程组有唯一解或无穷多解 D.方程组可能无解，也可能有无穷多解（B）1. 用矩阵消元法解下列方程组（1）解：对方程组增广矩阵作初等行变换得方程组有无穷多解，其通解为，其中为自由未知量.（2）解：对方程组增广矩阵作初等行变换得方程组有唯一解（3）解：对方程组系数矩阵作初等行变换化为阶梯形得方程组有无穷多解，通解为，为自由未知数.（4）解：对方程组系数矩阵作初等行变换化为阶梯形得方程组只有零解.2. 对方程组为何值时，方程组有解.在方程组有解时，求其解.解：对方程组增广矩阵作初等行变换得当时，方程组有解，其通解为为自由未知量.3. 满足什么条件时，方程组只有零解？解：要使方程组只有零解，则系数矩阵秩为4，即系数行列式不为零.利用矩阵乘积的行列式等于行列式的积有.而中的系数为负，故.在实数范围内，当至少一个不为零时，方程组只有零解.4. 问取何值时，齐次线性方程组有非零解？解：当且仅当系数矩阵秩小于3，即系数行列式为零时，方程组有非零解.因此当或时方程组有非零解.5. 问取何值时，齐次线性方程组有非零解？解：当且仅当系数行列式为零时，该方程组有非零解.因此当时，方程组有非零解.（C）1. 设方程组证明此方程组对任意实数都有解.证明：对方程组增广矩阵作初等行变换得系数矩阵与增广矩阵的秩均为3，因此方程组对任意实数都有解.ABCDX1X2X3X4X5202. 下图为一物流平衡图，其中表示从站A流向站B的货物吨数，表示从站B流向站D的货物吨数，20表示从站D流向站C的货物吨数等.如果要求在每一站流入吨数与流出吨数相等，问应如何选择？解：根据题意可得选取为自由未知量得，3. 投入产出模型 设甲，乙，丙3个部门组成一个经济系统.各部门生产满足系统内部和外部的需求，同时也消耗系统内部各部门的产品，如下表所示直接消耗系数表类别消耗部门外部需求费用总产值甲乙丙生产部门甲0.40.30.2乙0.20.50.2丙0.30.10.4新增产值_总产值_表中，甲部门那一行的0.4表示生产该部门的1元钱产品需消耗甲部门的产品0.4元，同样0.3表示生产甲部门1元钱的产品需消耗乙部门的产品0.3元，其余类似.（第二行乙消耗丙为0.2，否则丙生产出的将在系统内部全部消耗完）（1） 求与的关系.（2） 当分别为40亿元，24亿元，16亿元时，求及.解：（1）根据题意可得（2） 当分别为40亿元，24亿元，16亿元时，可解得分别为232亿元，212亿元和178亿元. 亿元，类似可得亿元亿元.-