立体几何典型题型(理科).doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date立体几何典型题型(理科)立体几何典型题型(理科)立体几何经典例题剖析考点一 空间向量及其运算1. 已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，试判断：点与是否一定共面？解析：要判断点与是否一定共面，即是要判断是否存在有序实数对使或对空间任一点，有。答案：由题意：，即，所以，点与共面点评：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算2. 如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，求证：平面解析：要证明平面，只要证明向量可以用平面内的两个不共线的向量和线性表示答案:证明：如图，因为在上，且，所以同理，又，所以又与不共线，根据共面向量定理，可知，共面由于不在平面内，所以平面点评：空间任意的两向量都是共面的与空间的任两条直线不一定共面要区别开.考点二 证明空间线面平行与垂直3. 如图, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，点D是AB的中点， （I）求证：ACBC1； （II）求证：AC 1/平面CDB1；解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.答案:解法一：（I）直三棱柱ABCA1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5， ACBC，且BC1在平面ABC内的射影为BC， ACBC1；（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE， D是AB的中点，E是BC1的中点，ABCA1B1C1Exyz DE/AC1， DE平面CDB1，AC1平面CDB1， AC1/平面CDB1；解法二：直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长AC3，BC4，AB5，AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，2,0）（1）（3,0，0），（0，4,0），0，ACBC1.（2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）.（，0,2），（3,0，4），DEAC1.点评：转化转化2平行问题的转化：面面平行线面平行线线平行；主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理4. （2007武汉3月）如图所示，四棱锥PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。(1)求证：BM平面PAD；(2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.答案：（1）是的中点，取PD的中点，则，又四边形为平行四边形，（4分） （2）以为原点，以、 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，则，在平面内设， 由 由 是的中点，此时（8分） （3）设直线与平面所成的角为，设为 故直线与平面所成角的正弦为（12分）解法二： （1）是的中点，取PD的中点，则，又四边形为平行四边形，（4分） （2）由（1）知为平行四边形，又 同理， 为矩形 ，又 作故交于，在矩形内， 为的中点当点为的中点时，（8分） （3）由（2）知为点到平面的距离，为直线与平面所成的角，设为，直线与平面所成的角的正弦值为点评：（1）证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；（2）求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；（3）证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从证法中都能十分明显地体现出来考点三 求空间图形中的角与距离根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围：异面直线所成角的范围是0°90°，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是0°90°，其解法是作垂线、找射影；二面角0°180°，其方法是：定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法 另外也可借助空间向量求这三种角的大小.5. （四川省成都市2007届高中毕业班第三次诊断性检测）如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.()求与底面所成角的大小；()求证：平面；()求二面角的余弦值. 解析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法，比较好的方法是向量法 答案：(I)取DC的中点O，由PDC是正三角形，有PODC又平面PDC底面ABCD，PO平面ABCD于O连结OA，则OA是PA在底面上的射影PAO就是PA与底面所成角ADC=60°，由已知PCD和ACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=PAO=45°PA与底面ABCD可成角的大小为45° 6分(II)由底面ABCD为菱形且ADC=60°，DC=2，DO=1，有OADC 建立空间直角坐标系如图，则, 由M为PB中点，PADM，PADC PA平面DMC4分(III)令平面BMC的法向量，则，从而x+z=0； , ，从而 由、，取x=1，则 可取由(II)知平面CDM的法向量可取， 所求二面角的余弦值为6分法二：（）方法同上 （）取的中点，连接，由（）知，在菱形中，由于，则，又，则，即，又在中，中位线，则，则四边形为，所以，在中，则，故而，则（）由（）知，则为二面角的平面角，在中，易得，故，所求二面角的余弦值为 点评：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强 用平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角，是常用的方法.6. （2007河北省唐山市三模）如图，在长方体中，点在线段上.（）求异面直线与所成的角；（）若二面角的大小为，求点到平面的距离.解析：本题涉及立体几何线面关系的有关知识, 本题实质上求角度和距离,在求此类问题中，要将这些量归结到三角形中,最好是直角三角形,这样有利于问题的解决，此外用向量也是一种比较好的方法.答案：解法一：（）连结。由已知，是正方形，有。平面，是在平面内的射影。根据三垂线定理，得，则异面直线与所成的角为。作，垂足为，连结，则所以为二面角的平面角，.于是易得，所以，又，所以。设点到平面的距离为.即，即，.故点到平面的距离为。解法二：分别以为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.（）由，得设，又，则。则异面直线与所成的角为。（）为面的法向量，设为面的法向量，则. 由，得，则，即 由、，可取又，所以点到平面的距离。 点评：立体几何的内容就是空间的判断、推理、证明、角度和距离、面积与体积的计算，这是立体几何的重点内容,本题实质上求角度和距离,在求此类问题中,尽量要将这些量归结于三角形中,最好是直角三角形,这样计算起来,比较简单,此外用向量也是一种比较好的方法,不过建系一定要恰当,这样坐标才比较容易写出来.考点四 探索性问题7. （2007年4月济南市）如图所示：边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=，ED/AF且DAF=90°。 （1）求BD和面BEF所成的角的余弦； （2）线段EF上是否存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，若存在，求EP与PF的比值；若不存在，说明理由。1,3,5解析：1.先假设存在，再去推理，下结论： 2.运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算。答案：（1）因为AC、AD、AB两两垂直，建立如图坐标系，则B（2，0，0），D（0，0，2），E（1，1，2），F（2，2，0），则设平面BEF的法向量，则可取，向量所成角的余弦为。即BD和面BEF所成的角的余弦。 （2）假设线段EF上存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，不妨设EP与PF的比值为m，则P点坐标为则向量，向量所以。 点评：本题考查了线线关系，线面关系及其相关计算，本题采用探索式、开放式设问方式，对学生灵活运用知识解题提出了较高要求。8. (2007安徽·文) 如图，在三棱锥中，是的中点，且，A（I）求证：平面平面；（II）试确定角的值，使得直线与平面所成的角为解析：本例可利用综合法证明求解，也可用向量法求解.答案:解法1：（），是等腰三角形，又是的中点，又底面于是平面又平面，平面平面（） 过点在平面内作于，则由（）知平面连接，于是就是直线与平面所成的角依题意，所以在中，；在中，故当时，直线与平面所成的角为解法2：（）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，于是，从而，即ADBCVxyz同理，即又，平面又平面平面平面（）设平面的一个法向量为，则由得可取，又，于是，即，故交时，直线与平面所成的角为解法3：（）以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，于是，从而，即同理，即又， 平面又平面， 平面平面（）设平面的一个法向量为，ADBCVxy则由，得可取，又，于是，即 故角时，即直线与平面所成角为 点评：证明两平面垂直一般用面面垂直的判定定理,求线面角一是找线在平面上的射影在直角三角形中求解,但运用更多的是建空间直角坐标系,利用向量法求解考点五 折叠、展开问题9（2006年辽宁高考）已知正方形 、分别是、的中点,将沿折起,如图所示,记二面角的大小为 (I) 证明平面;(II)若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值 分析:充分发挥空间想像能力，重点抓住不变的位置和数量关系，借助模型图形得出结论，并给出证明.解: (I)证明:EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,EB/FD,且EB=FD,四边形EBFD为平行四边形 BF/ED.,平面 (II)如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD ACD为正三角形,AC=AD.CG=GD.G在CD的垂直平分线上, 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角 即.设原正方体的边长为2a,连结AF,在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,即AEF为直角三角形, . 在RtADE中, ., 点评：在平面图形翻折成空间图形的这类折叠问题中，一般来说，位于同一平面内的几何元素相对位置和数量关系不变：位于两个不同平面内的元素，位置和数量关系要发生变化，翻折问题常用的添辅助线的方法是作棱的垂线。关键要抓不变的量.考点六 球体与多面体的组合问题10设棱锥M-ABCD的底面是正方形，且MAMD，MAAB，如果AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.分析：关键是找出球心所在的三角形，求出内切圆半径.解： ABAD，ABMA，AB平面MAD，由此，面MAD面AC.记E是AD的中点，从而MEAD.ME平面AC，MEEF.设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.不妨设O平面MEF，于是O是MEF的内心.设球O的半径为r，则r设ADEFa,SAMD1.ME.MF,r-1。当且仅当a，即a时，等号成立.当ADME时，满足条件的球最大半径为-1.点评：涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系。注意多边形内切圆半径与面积和周长间的关系；多面体内切球半径与体积和表面积间的关系。-