新课标经典例题——必修5不等式.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date新课标经典例题必修5不等式新课标经典例题必修5不等式不等式：1. (文)已知集合A1,1，BxR|12x<4，则AB()A0,2)B1C1,1 D0,1答案B解析由12x<4得，0x<2，AB1(理)设集合Ax|x21>0，Bx|log2x>0，则AB等于()Ax|x>1Bx|x>0Cx|x<1 Dx|x>1或x<1答案A解析Ax|x>1或x<1，Bx|x>1，ABx|x>12. (文)已知<<0，则下列结论错误的是()Aa2<b2 B.>2Cab>b2 Dlga2<lg(ab)答案C解析<<0，b<a<0，b2>a2，>0，>22，b<a<0，a<0，ab>a2>0，lg(ab)>lga2.故A、B、D都对点评可由b<a<0，b<0得b2>ab，选C，或用特值检验(理)若a，bR，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b2>2ab Bab2C.> D.2答案D解析a，bR，且ab>0，>0，22，故选D.点评当ab时，A不成立；当a<0，b<0时，B、C都不成立3. (文)已知x>0，y>0，且1，则的最小值为()A1B2C4D.答案C解析x>0，y>0，()()24，等号在2y3x，即x4，y6时成立(理)如果直线axby2与圆x2y24相切，那么ab的最大值为()A1 B.C2 D.答案D解析直线与圆相切，2，a2b21，(ab)2a2b22ab2(a2b2)2，ab，等号在ab时成立，ab的最大值为.4. 已知a，bR，下列四个条件中，使a>b成立的必要而不充分的条件是()Aa>b1 Ba>b1C|a|>|b| D2a>2b答案A解析a>b1 a>b，a>ba>b1，故选A.点评a>b1a>b，a>b a>b1；a>b |a|>|b|，|a|>|b| a>b；a>b2a>2b,2a>2ba>b.5. (文)已知a>0，b>0，ab2，则y的最小值是()A. B4C. D5答案C解析a>0，b>0，ab2，y()(ab)(5)(25)，等号在，即b，a时成立(理)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c(0,1)，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其它得分情况)，则ab的最大值为()A. B.C. D.答案D解析E()3a2b2，ab(3a)×(2b)()2，等号在3a2b，即a，b时成立6. 过点A(a，a)可作圆x2y22axa22a30的两条切线，则实数a的取值范围为()Aa<3或1<a< B1<a<Ca<3 D3<a<1或a>答案A解析由条件知点A在圆外，a2a22a2a22a3>0，a22a3>0，a<3或a>1，又方程表示圆，(2a)24(a22a3)8a12>0，a<，a<3或1<a<.7. (文)已知变量x、y满足的约束条件，则z3x2y的最大值为()A3 B.C5 D4答案D解析作出可行域如图，当平移直线l：yx到可行域内的点B(2，1)时，zmax4.(理)若实数x，y满足不等式组则z2xy的最小值为()A2 B1C4 D2答案B解析作出可行域如图，作直线y2x，平移直线l0，当平移到经过点A(0,1)时，z取最小值，zmin1.8. 函数f(x)的定义域为R，f(1)8，对任意xR，f (x)>6，设F(x)f(x)6x2，则F(x)>0的解集为()A(1，) B(1,1)C(，1) D(1，)答案A解析f (x)>6，F(x)f (x)6>0，F(x)为增函数，又F(1)f(1)628620，F(x)>0，即F(x)>F(1)，x>1，故选A.9. 设偶函数f(x)满足f(x)2x4(x0)，则x|f(x2)>0()Ax|x<2或x>4 Bx|x<0或x>4Cx|x<0或x>6 Dx|x<2或x>2答案B解析令tx2，则f(x2)>0化为f(t)>0，t0时，2t4>0，t>2，又f(x)为偶函数，t<0时，f(t)>0的解为t<2，x2>2或x2<2，x>4或x<0，故选B.点评也可以先由偶函数定义求出f(x)在R上的解析式，再代入f(x2)>0中化为关于x的不等式组求解10. 已知关于x，y的不等式组，所表示的平面区域的面积为16，则k的值为()A1 B0C1 D3答案C解析作出可行域如图，故×(4k4)×416，k1.11. 已知在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z·的最大值为()A3 B4C3 D4答案B解析作出可行域如图，z·|·|·cos，|为定值，当|·cos，取最大值时，z取最大值，点M是平面区域D上的动点，故当M与点B(，2)重合时，在上的射影|·cos，取最大值，zmax·(，1)·(，2)4.12. 设M，N()xy，P3(其中0<x<y)，则M，N，P大小关系为()AM<N<P BN<P<MCP<M<N DP<N<M答案D解析y>x>0，>，3>3，即N>P，M>3()xyN，M>N>P.点评可取特值检验求解，如x1，y2，或x2，y8.13. 设集合Mx|<0，Nx|x1|2，则MN()A(3,3B1,2)C(3,2) D1,3答案B解析Mx|3<x<2，Nx|1x3，MNx|1x<2，故选B.14. 已知x，y满足不等式组，则zx2y22x2y2的最小值()A. B2C3 D.答案B解析作出不等式组表示的平面区域为图中ABC及其内部，zx2y22x2y2(x1)2(y1)2表示平面区域内的点P到点M(1,1)距离的平方，显然当点P为O点时，z取最小值，zmin|MO|22.点评M到直线yx的距离为点M到平面区域内点的距离的最小值，M到点B的距离是M到平面区域内点的距离的最大值15. 由约束条件确定的可行域D能被半径为1的圆面完全覆盖，则实数k的取值范围是_答案k解析直线y2x2与x轴交于点A(，0)，直线ykx过定点B(0，)，|AB|2，直线y2x2与ykx的交点C应落在以AB为直径的圆内，C90°，由2k1得k，k.16. (文)若存在实数x，使得x24bx3b<0成立，则b的取值范围是_答案b<0或b>解析由条件知，(4b)24×3b>0，b<0或b>.(理)已知点(a，b)不在直线xy20的下方，则2a2b的最小值为_答案4解析点O(0,0)在直线xy20的下方，且使得xy2<0，又点(a，b)不在直线xy20的下方，故ab20，2a2b224，等号在ab1时成立17. (文)已知点A(m，n)在直线x2y20上，则2m4n的最小值为_答案4解析由条件知，m2n2，2m4n2m22n224，等号成立时，2m22n，m1，n.(理)已知a>1，若不等式loga1xlogax5<n对任意nN*恒成立，则实数x的取值范围是_答案(1，)解析n>0，n2，当n时取等号，但nN*，n2或3，当n2时，n5，当n3时，n5，n5，由条件知，loga1xlogax5<5，loga1x<logax，又a>1，x>1.18. (文)已知函数f(x)，则不等式f(x)>2的解集为_答案x|x>2或x<解析由f(x)>2得或，x>2或x<.(理)已知函数f(x)，则不等式f(x)>f(1)的解集是_答案x|x<1或x>2解析不等式f(x)>f(1)化为或，x>2或x<1，解集为x|x<1或x>219. (文)设变量x、y满足约束条件，则z2xy的最大值为_答案6解析画出不等式组表示的平面区域如图，平移直线l0：y2x，当平移到经过可行域内点C(3,0)时，z取最大值zmax2×306.(理)设平面区域D是由双曲线y21的两条渐近线和抛物线y28x的准线所围成的三角形(含边界与内部)若点(x，y)D，则目标函数zxy的最大值为_答案3解析双曲线y21的两条渐近线方程为y±x，抛物线y28x的准线方程为x2，作可行域如图作直线l0：yx，平移l0，当平移到经过点B(2,1)时，z取最大值，zmax3.20. (文)已知关于x的不等式<0的解集为M.(1)当a4时，求集合M；(2)若3M且5M，求实数a的取值范围解析(1)a4时，不等式化为<0，解得M(，2).(2)a25时，由，得，a(9,25)；当a25时，不等式化为<0，M(，5).满足3M且5M，a25满足条件综上得a的取值范围是(9,25(理)已知集合Ax|x26x8<0，Bx|(xa)(x3a)<0(1)若AB，求a的取值范围；(2)若AB，求a的取值范围；(3)若ABx|3<x<4，求a的取值范围解析Ax|2<x<4，a>0时，Bx|a<x<3a，a<0时，Bx|3a<x<a，a0时，B.(1)若AB，则或，a2.(2)若AB，则a4或，或，或a0，a或a4.(3)若ABx|3<x<4，又Ax|2<x<4，a3.21. (文)已知f(x)3x2a(6a)xb.(1)解关于a的不等式f(1)>0；(2)当不等式f(x)>0的解集为(1,3)时，求实数a，b的值解析(1)f(1)3a(6a)ba26ab3，f(1)>0，a26a3b<0.244b，当b6时，0，f(1)>0的解集为；当b>6时，3<a<3，f(1)>0的解集为a|3<a<3(2)不等式3x2a(6a)xb>0的解集为(1,3)，解之得，(理)已知向量a(x，m)，b(1x，x)，其中mR.若f(x)a·b.(1)当m3时解不等式f(x)<x；(2)如果f(x)在(2，)上单调递减，求实数m的取值范围解析由于a(x，m)，b(1x，x)，所以f(x)a·bx2(m1)x.(1)当m3时，f(x)x24x，不等式f(x)<x，即x24x<x，解得x>3或x<0，所以m3时，不等式f(x)<x的解集为(，0)(3，)(2)如果f(x)x2(m1)x在(2，)上单调递减，则有2，解得m5，所以实数m的取值范围是m5.22. 设等差数列an的前n项和为Sn，若a12t，S5S2243t(t>0)(1)求数列an的通项公式；(2)设bnaqnn，若b1a1，b5a5，试比较a3与b3的大小解析(1)方法一：设等差数列an的公差为d，则S5S23a19d243t.又a12t，则d2，故an2nt.方法二：S5S2a3a4a53a4243t，则a48t，又a12t，得d2.故an2nt.(2)方法一：由已知可得aq1t>0，aq55t，相加得3t(aqaq5)，又aq5aqaq(q41)，则q4>1，得q2>1，则a3b33taq3(q21)2>0，故a3>b3.方法二：设cnnt，dnaqn，则cn为等差数列，dn为等比数列，a1b1，2taq1，1taq，c1d1，a5b5，10taq55，5taq5，c5d5，c3>d3，故a3>b3.23. (文)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则平均每平方米的建筑费用为56048x(单位：元)(1)写出楼房平均每平方米的综合费用y关于建造层数x的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房平均每平方米的综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)解析(1)依题意得y(56048x)56048x(x10，xN)(2)x>0，48x21440，当且仅当48x，即x15时取到“”，此时，每平方米平均综合费用的最小值为56014402000元答：当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元(理)(20112012·厦门市质检)已知偶函数f(x)x2bxc(常数b、cR)的一个零点为1，直线l：ykxm(k>m，k、mR)与函数yf(x)的图象相切(1)求函数yf(x)的解析式；(2)求的取值范围解析(1)函数f(x)x2bxc是偶函数，f(x)f(x)可得b0，f(x)x2c，由f(1)0可得c1，f(x)x21.(2)解法一：由方程得消去y得，x2kxm10，直线l与函数yf(x)图象相切，k24(m1)k24m40，m，(k)，k>0，44，(k)1，的取值范围是(，1解法二：设直线l与函数yf(x)图象相切于P(x0，y0)，则y0x1且y0kx0m，f (x)2x，切线斜率k2x0，k>0，x0>0，从而有2xmx1，mx1，(x0)，x0>0，x02，(x0)1，的取值范围是(，124. (文)某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件与B类产品20件已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为多少元解析设租赁甲设备x台，乙设备y台，由题意列表如下，AB费用甲5x10x200x乙6y20y300y合计5x6y10x20y200x300y则，设租赁费用为w，则w200x300y.约束条件构成的平面区域如图解得A(4,5)当w变动时，直线200x300yw平行移动，当经过可行域内点A时，w取最小值，wmin200×4300×52300元(理)某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？解析由题意可画表格如下：方木料(m3)五合板(m2)利润(元)书桌(张)0.1280书橱(个)0.21120(1)设只生产书桌x张，可获得利润z元，则x300.利润z80x24000所以当x300时，zmax24000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元(2)设只生产书橱y个，可获利润z元，则y450.利润z120y54000所以当y450时，zmax54000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54000元(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元则利润z80x120y.在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域如图令z0，即2x3y0.作直线l：2x3y0.把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时z80x120y取得最大值由解得点M的坐标为(100,400)所以当x100，y400时，zmax80×100120×40056000(元)因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大25. (文)已知函数f(x)x2axb(a、bR)，g(x)2x24x16.(1)求不等式g(x)<0的解集；(2)若|f(x)|g(x)|对xR恒成立，求a、b；(3)在(2)的条件下，若对一切x>2，均有f(x)(m2)xm15成立，求实数m的取值范围解析(1)g(x)2x24x16<0，(x2)(x4)<0，2<x<4.不等式g(x)<0的解集为x|2<x<4(2)|x2axb|2x24x16|对xR恒成立，当x4，x2时成立，.(3)由(2)知，f(x)x22x8.x22x8(m2)xm15(x>2)，即x24x7m(x1)对一切x>2，均有不等式m成立而(x1)2222(当x3时等号成立)实数m的取值范围是(，2点评(2)问中抓住|f(x)|g(x)|恒成立，特别地g(x)0时|f(x)|0恒成立，|f(x)|0，从而f(x)0是解题的关键(理)如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它的前一项的平方差是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差(1)若数列an既是等方差数列，又是等差数列，求证：该数列是常数列(2)已知数列an是首项为2，公方差为2的等方差数列，数列bn的前n项和为Sn，且满足a2n1bn.若不等式2n·Sn>m·2n2a对nN*恒成立，求m的取值范围解析(1)解：依题意得aaaa(an1an)(an1an)(anan1)(anan1)又an为等差数列，设公差为d，则d(an1ananan1)02d20d0，故an是常数列(2)an是首项为2，公方差为2的等方差数列a为首项为4，公差为2的等差数列，a42(n1)2n2，由a2n1bn得bn，Sn1 Sn Sn1Sn3不等式2n·Sn>m·2n2a，即3·2n(n3)>m·2n4n4，也即(m3)·2n<3n1，即m3<恒成立，由于n1,2,3时，3n1>2n；n4时，3n1<2n；假设nk(k4)时，3k1<2k，那么2k12·2k>2(3k1)3(k1)1(3k2)>3(k1)1，由归纳法原理知：n4时，3k1<2k，所以>0m30，故m的取值范围为m3.26. 解关于x的不等式ax2(a1)x1<0.解析(1)a0时，不等式化为x1<0，x>1，不等式的解集为x|x>1；(2)a<0时，不等式化为(x1)(x)>0，x<或x>1，不等式的解集为x|x<或x>1(3)a>0时，不等式化为(x1)(x)<0，若a1，则不等式的解集为，若a>1，则<x<1，不等式的解集为x|<x<1，若0<a<1，则不等式的解集为x|1<x<27. 已知函数f(x)x3ax2bx，a，bR.(1)曲线C：yf(x)经过点P(1,2)，且曲线C在点P处的切线平行于直线y2x1，求a，b的值；(2)在(1)的条件下试求函数g(x)mf(x)x(mR，m0)的极小值；(3)若f(x)在区间(1,2)内存在两个极值点，求证：0<ab<2.解析(1)f (x)x22axb，由题设知：解得(2)由(1)知，f(x)x3x2x，g(x)(x32x2)，g(x)mx(x)，当m>0时，g(x)在(，0)，(，)上递增，在(0，)上递减，所以g(x)的极小值为g()m；当m<0时，g(x)在(，0)，(，)上递减，在(0，)上递增，所以g(x)的极小值为g(0)0.(3)f(x)在区间(1,2)内存在两个极值点，f (x)x22axb0在(1,2)内有两个不等的实根，由得ab>0，由得ab<a2a，2<a<1，a2a(a)2<2，ab<2.故ab的取值范围是(0,2)(或画出可行域求解)-