数学史话：柯西.doc

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date数学史话：柯西数学史话：柯西 柯西(Cauchy, 17891857)19世纪初期，微积分已发展成一个庞大的分支,，内容丰富，应用非常广泛。与此同时，它的薄弱之处也越来越暴露出来，微积分的理论基础并不严格。为解决新问题并澄清微积分概念，数学家们展开了数学分析严谨化的工作，在分析基础的奠基工作中，做出卓越贡献的要首推伟大的数学家柯西。柯西1789年8月21日出生于巴黎。父亲是一位精通古典文学的律师，与当时法国的大数学家拉格朗日与拉普拉斯交往密切。柯西在幼年时，他的父亲常带领他到法国参议院内的办公室，并且在那里指导他进行学习，因此他有机会遇到参议员拉普拉斯和拉格朗日两位大数学家。他们对他的才能十分赏识；拉格朗日认为他将来必定会成为大数学家，但建议他的父亲在他学好文科前不要学数学。柯西少年时代的数学才华颇受这两位数学家的赞赏，并预言柯西日后必成大器。拉格朗日向其父建议“赶快给柯西一种坚实的文学教育”，以便他的爱好不致把他引入歧途。父亲因此加强了对柯西的文学教养，使他在诗歌方面也表现出很高的才华。柯西在数学上的最大贡献是在微积分中引进了极限概念，并以极限为基础建立了逻辑清晰的分析体系。这是微积分发展史上的精华，也是柯西对人类科学发展所做的巨大贡献。1821年柯西提出极限定义的方法，把极限过程用不等式来刻画，后经魏尔斯特拉斯改进，成为现在所说的柯西极限定义或叫 定义。当今所有微积分的教科书都还（至少是在本质上）沿用着柯西等人关于极限、连续、导数、收敛等概念的定义。他对微积分的解释被后人普遍采用。柯西对定积分作了最系统的开创性工作，他把定积分定义为和的“极限”。在定积分运算之前，强调必须确立积分的存在性。他利用中值定理首先严格证明了微积分基本定理。通过柯西以及后来魏尔斯特拉斯的艰苦工作，使数学分析的基本概念得到严格的论述。从而结束微积分二百年来思想上的混乱局面，把微积分及其推广从对几何概念、运动和直观了解的完全依赖中解放出来，并使微积分发展成现代数学最基础最庞大的数学学科。数学分析严谨化的工作一开始就产生了很大的影响。在一次学术会议上柯西提出了级数收敛性理论。会后，拉普拉斯急忙赶回家中，根据柯西的严谨判别法，逐一检查其巨著天体力学中所用到的级数是否都收敛。柯西在其它方面的研究成果也很丰富。复变函数的微积分理论就是由他创立的。在代数方面、理论物理、光学、弹性理论方面，也有突出贡献。柯西的数学成就不仅辉煌，而且数量惊人。柯西全集有27卷，其论著有800多篇，在数学史上是仅次于欧拉的多产数学家。他的光辉名字与许多定理、准则一起铭记在当今许多教材中。作为一位学者，他思路敏捷，功绩卓著。从柯西卷帙浩大的论著和成果，人们不难想象他一生是怎样孜孜不倦地勤奋工作。但柯西却是个具有复杂性格的人。他是忠诚的保王党人，热心的天主教徒，落落寡合的学者。尤其作为久负盛名的科学泰斗，他常常忽视青年学者的创造。例如，由于柯西“失落”了才华出众的年轻数学家阿贝尔与伽罗华的开创性的论文手稿，造成群论晚问世约半个世纪。1857年5月23日柯西在巴黎病逝。他临终的一句名言“人总是要死的，但是，他们的业绩永存。”长久地叩击着一代又一代学子的心扉。数学大师伯努利曾说过：只有数学能够探讨无穷，而无穷正是上帝的属性之一。物理、化学、生物都是有限之内的学科，无穷才能代表永远测不透的极限。无穷的观念令哲学家疯征、让神学家叹息，使许多人深感惧怕。柯西却把无穷应用来厘定更精确的数学含义，他把数学的微分看或是无穷小时的变化，把积分表示为无穷多个无穷小之和。柯西用无穷重新定义微积分，至今仍为每一本微积分课本的开宗明义篇。1821年，柯西的名声远播。远自柏林、马德里、圣彼得堡的学生，都来到他的教室里上课，他又发表非常有名的特征值理论，同时写道：在纯数学的领域里，似乎没有实际的物理现象来印证，也没有自然界的事物可说明，但那是数学家遥遥望见的应许之地。理论数学家不是一个发现者，而是这个应许之地的报导者。微积分从诞生的第一天开始，就没有离开过矛盾和驳论。例如，贝克莱驳论（无穷小驳论）、芝诺悖论等。如果，透过这些争论，可以发现其实他们不过是变相的探讨最终形态的问题！正如莱布尼兹关注微粒最终命运一样。有一些人说：柯西-威尔斯特拉斯的极限定义，有“极限回避”的现象。这种说法是片面的也是不客观的，但还是指出了一些问题（应该说最终形态回避）。柯西-威尔斯特拉斯的极限定义，被翻译成中国语言的时候，是非常经典的。柯西-威尔斯特拉斯的极限定义，不单纯的定义了极限，还刻画了一种运动现象-向极限（最终形态）靠近的运动。最后画龙点睛，把最终形态a（如果存在，就是说不清怎么来的）叫做极限。从语法的分析上看，这个说法本质上给了“最终形态”一个称谓（名字）-极限。所以，柯西-威尔斯特拉斯的极限定义中，极限是一个名词，而不是动词。于是，就把向极限靠近的运动叫做极限现象。许多人在理解柯西-威尔斯特拉斯的极限定义，混淆了极限现象与极限，笼统的把“极限现象”和“极限”都叫做极限。关于最终形态的研究，我曾在微积分秘密报告4中简单的谈过。既然现代函数极限定义并没有解释最终形态（回避了）！那么，函数的极限定义是要说些什么故事呢？有关的数学证明又在证明什么呢？其实，是在说一件事：有极限（最终形态），必有极限现象；反过来，有极限现象，必有极限存在！简单来说，就是极限现象是极限（最终形态）的充要条件。所以，要证明极限存在（不必去研究怎么来的），只需证明极限现象存在就够了，确实有投机取巧的嫌疑！就因为如此，所以现代极限的定义不能告诉你极限怎么来的，只能告诉你极限存在（并且可以证明）。极限现象就本质来看是一种运动现象，描述运动现象的理想工具是什么-函数。所以现代的函数（专业）极限定义，有些函数的味道（一一对应，总有和对应）也就不起怪了。有一些人也挺离谱的，把极限说成是动词。理由是，极限的本质是：“一个变化的量无限接近一个固定的量。”这是极限现象的精髓，不是极限的。可是，要描述极限现象。非要柯西-威尔斯特拉斯绕口的模型吗！当然不是，模型是可以改变的，微积分初等化，就改变了这一模型。使一些复杂的数学证明得到了简化，比如极限的唯一性、函数单调性等。-