2022年江苏省盐城市南京市高考数学一模试卷.docx

2022年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷一、填空题本大题共14小题，每题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上15分集合A=x|xx40，B=0，1，5，那么AB=25分设复数z=a+iaR，i为虚数单位，假设1+iz为纯虚数，那么a的值为35分为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间50，100上，其频率分布直方图如下列图，那么估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在70，80单位：分钟内的学生人数为45分执行如下列图的伪代码，假设x=0，那么输出的y的值为65分假设抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，那么实数p的值为75分设函数y=exa的值域为A，假设A0，+，那么实数a的取值范围是85分锐角，满足tan1tan1=2，那么+的值为95分假设函数y=sinx在区间0，2上单调递增，那么实数的取值范围是105分设Sn为等差数列an的前n项和，假设an的前2022项中的奇数项和为2022，那么S2022的值为115分设函数fx是偶函数，当x0时，fx=，假设函数y=fxm 有四个不同的零点，那么实数m的取值范围是125分在平面直角坐标系xOy中，假设直线y=kx3上存在一点P，圆x2+y12=1上存在一点Q，满足=3，那么实数k的最小值为135分如图是蜂巢结构图的一局部，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点假设A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点处，且A，B的位置所图所示，那么的最大值为145分假设不等式ksin2B+sinAsinC19sinBsinC对任意ABC都成立，那么实数k的最小值为二、解答题共6小题，总分值90分1514分如下列图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点1求证：BN平面A1MC；2假设A1MAB1，求证：AB1A1C1614分在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c c=1假设C=2B，求cosB的值；2假设=，求cosB的值1714分有一矩形硬纸板材料厚度忽略不计，一边AB长为6分米，另一边足够长现从中截取矩形ABCD如图甲所示，再剪去图中阴影局部，用剩下的局部恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒如图乙所示，重叠局部忽略不计，其中OEMF是以O为圆心、EOF=120°的扇形，且弧，分别与边BC，AD相切于点M，N1当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；2当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大1816分如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：ab0的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点当点N运动到点处时，点Q的坐标为1求椭圆C的标准方程；2设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且=2时，求直线BM的方程1916分设数列an满足a=an+1an1+a2a12，其中n2，且nN，为常数1假设an是等差数列，且公差d0，求的值；2假设a1=1，a2=2，a3=4，且存在r3，7，使得mannr对任意的nN*都成立，求m的最小值；3假设0，且数列an不是常数列，如果存在正整数T，使得an+T=an对任意的nN*均成立求所有满足条件的数列an中T的最小值2016分设函数fx=lnx，gx=ax+a，b，cR1当c=0时，假设函数fx与gx的图象在x=1处有相同的切线，求a，b的值；2当b=3a时，假设对任意x01，+和任意a0，3，总存在不相等的正实数x1，x2，使得gx1=gx2=fx0，求c的最小值；3当a=1时，设函数y=fx与y=gx的图象交于Ax1，y1，Bx2，y2x1x2两点求证：x1x2x2bx1x2x1选做题在21.22.23.24四小题中只能选做2题，每题10分，计20分请把答案写在答题纸的指定区域内选修4-1：几何证明选讲图2110分如图，AB为O的直径，直线DE与O相切于点E，AD垂直DE于点D假设DE=4，求切点E到直径AB的距离EF选修4-2：矩阵与变换2210分矩阵M=，求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程选修4-4：坐标系与参数方程23在极坐标系中，直线cos+=1与曲线=rr0相切，求r的值选修4-5：不等式选讲24实数x，y满足x2+3y2=1，求当x+y取最大值时x的值2510分如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP底面ABCD，点M为PC中点，AC=4，BD=2，OP=41求直线AP与BM所成角的余弦值；2求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值2610分nN*，nfn=Cn0Cn1+2Cn1Cn2+nCnn1Cnn1求f1，f2，f3的值；2试猜想fn的表达式用一个组合数表示，并证明你的猜想2022年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题本大题共14小题，每题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上15分集合A=x|xx40，B=0，1，5，那么AB=1【解答】解：集合A=x|xx40=x|0x4，B=0，1，5，AB=1故答案为：125分设复数z=a+iaR，i为虚数单位，假设1+iz为纯虚数，那么a的值为1【解答】解：z=a+i，1+iz=1+ia+i=a1+a+1i，又1+iz为为纯虚数，a1=0即a=1故答案为：135分为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间50，100上，其频率分布直方图如下列图，那么估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在70，80单位：分钟内的学生人数为1200【解答】解：由频率分布直方图得：该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在70，80单位：分钟内的频率为：估计该县小学六年级4000名学生中每天用于阅读的时间在70，80单位：分钟内的学生人数为：4000×0.3=1200故答案为：120045分执行如下列图的伪代码，假设x=0，那么输出的y的值为1【解答】解：根据题意知，执行程序后，输出函数y=，当x=0时，y=e0=1故答案为：1从袋中一次随机摸出2个球，根本领件总数n=6，1，4，2，3，2，4，3，4，共4个，故答案为：65分假设抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，那么实数p的值为6【解答】解：双曲线的方程，a2=4，b2=5，可得c=3，因此双曲线的右焦点为F3，0，抛物线y2=2pxp0的焦点与双曲线的右焦点重合，=3，解之得p=6故答案为：675分设函数y=exa的值域为A，假设A0，+，那么实数a的取值范围是，2【解答】解：函数y=exa的值域为Aex=2，值域为A=2a，+又A0，+，2a0，即a2故答案为：，285分锐角，满足tan1tan1=2，那么+的值为【解答】解：tan1tan1=2，可得：tan+tan+1=tantan，tan+=1，锐角，可得：+0，+=故答案为：95分假设函数y=sinx在区间0，2上单调递增，那么实数的取值范围是0，【解答】解：由函数y=sinx，图象过原点，可得0在区间0，2上单调递增，即故答案为：0，105分设Sn为等差数列an的前n项和，假设an的前2022项中的奇数项和为2022，那么S2022的值为4034【解答】解：因为 Sn为等差数列an的前n项和，且an的前2022项中的奇数项和为2022，所以S奇=a1+a3+a5+a2022=1009×a1+a2022×=1009×a1009=2022，得a1009=2那么 S偶=a2+a4+a6+a2022=1008×a2+a2022×=1008×a1009=1008×2=2022 那么S2022=S奇+S偶=2022+2022=4034故答案为：4034115分设函数fx是偶函数，当x0时，fx=，假设函数y=fxm 有四个不同的零点，那么实数m的取值范围是1，【解答】解：由0x3可得fx0，x3时，fx0，1画出函数y=fx与y=m的图象，如下列图，函数y=fxm有四个不同的零点，函数y=fx与y=m的图象有4个交点，由图象可得m的取值范围为1，故答案为：1，125分在平面直角坐标系xOy中，假设直线y=kx3上存在一点P，圆x2+y12=1上存在一点Q，满足=3，那么实数k的最小值为【解答】解：设Px1，y1，Qx2，y2；那么y1=kx13，+y212=1；由=3，得，即，代入得+=9；此方程表示的圆心0，3到直线kxy3k=0的距离为dr；即3，解得k0实数k的最小值为故答案为：135分如图是蜂巢结构图的一局部，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点假设A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点处，且A，B的位置所图所示，那么的最大值为24【解答】解：建立如图的直角坐标系，那么A，B0，0，那么容易得到C0，5时，D的位置可以有三个位置，其中D1，D2，0，D3，此时=，=，=，5，=，那么=21，=24，=22.5，那么的最大值为24，故答案为：24145分假设不等式ksin2B+sinAsinC19sinBsinC对任意ABC都成立，那么实数k的最小值为100【解答】解：ksin2B+sinAsinC19sinBsinC，由正弦定理可得：kb2+ac19bc，k，只需k大于右侧表达式的最大值即可，显然cb时，表达式才能取得最大值，又cbab+c，bcabc，19+=202=100102，当=10时，202取得最大值20×10102=100k100，即实数k的最小值为100故答案为：100二、解答题共6小题，总分值90分1514分如下列图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点1求证：BN平面A1MC；2假设A1MAB1，求证：AB1A1C【解答】证明：1因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以ABA1B1，且AB=A1B1，又点M，N分别是AB、A1B1的中点，所以MB=A1N，且MBA1N所以四边形A1NBM是平行四边形，从而A1MBN 又BN平面A1MC，A1M平面A1MC，所以BN平面A1MC；2因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1底面ABC，而AA1侧面ABB1A1，所以侧面ABB1A1底面ABC又CA=CB，且M是AB的中点，所以CMAB那么由侧面ABB1A1底面ABC，侧面ABB1A1底面ABC=AB，CMAB，且CM底面ABC，得CM侧面ABB1A1又AB1侧面ABB1A1，所以AB1CM 又AB1A1M，A1M、MC平面A1MC，且A1MMC=M，所以AB1平面A1MC 又A1C平面A1MC，所以ABA1C1614分在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c c=1假设C=2B，求cosB的值；2假设=，求cosB的值【解答】解：1因为c=，那么由正弦定理，得sinC=sinB 2分又C=2B，所以sin2B=sinB，即2sinBcosB=sinB 4分又B是ABC的内角，所以sinB0，故cosB= 6分2因为=，所以cbcosA=bacosC，那么由余弦定理，得b2+c2a2=b2+a2c2，得a=c 10分从而cosB=，12分又0B，所以sinB=从而cosB+=cosBcossinBsin= 14分1714分有一矩形硬纸板材料厚度忽略不计，一边AB长为6分米，另一边足够长现从中截取矩形ABCD如图甲所示，再剪去图中阴影局部，用剩下的局部恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒如图乙所示，重叠局部忽略不计，其中OEMF是以O为圆心、EOF=120°的扇形，且弧，分别与边BC，AD相切于点M，N1当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；2当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大【解答】解：1在图甲中，连接MO交EF于点T设OE=OF=OM=R，在RtOET中，因为EOT=EOF=60°，所以OT=，那么MT=0MOT=从而BE=MT=，即R=2BE=2故所得柱体的底面积S=S扇形OEFSOEF=R2R2sin120°=，又所得柱体的高EG=4，所以V=S×EG=4答：当BE长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为4立方分米2设BE=x，那么R=2x，所以所得柱体的底面积S=S扇形OEFSOEF=R2R2sin120°=x2，又所得柱体的高EG=62x，所以V=S×EG=2x3+3x2，其中0x3令fx=x3+3x2，0x3，那么由fx=3x2+6x=3xx2=0，解得x=2列表如下：x0，222，3fx+0fx增极大值减所以当x=2时，fx取得最大值答：当BE的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大1816分如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：ab0的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点当点N运动到点处时，点Q的坐标为1求椭圆C的标准方程；2设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且=2时，求直线BM的方程【解答】解：1由N，点Q的坐标为，得直线NQ的方程为y=x，令x=0，得点B的坐标为0，所以椭圆的方程为+=1将点N的坐标，代入，得+=1，解得a2=4所以椭圆C的标准方程为+=12：设直线BM的斜率为kk0，那么直线BM的方程为y=x在y=kx中，令y=0，得xP=，而点Q是线段OP的中点，所以xQ=所以直线BN的斜率kBN=kBQ=2k联立，消去y，得3+4k2x28kx=0，解得xM=用2k代k，得xN=又=2，所以xN=2xMxN，得2xM=3xN，故2×=3×，又k0，解得k=所以直线BM的方程为y=x1916分设数列an满足a=an+1an1+a2a12，其中n2，且nN，为常数1假设an是等差数列，且公差d0，求的值；2假设a1=1，a2=2，a3=4，且存在r3，7，使得mannr对任意的nN*都成立，求m的最小值；3假设0，且数列an不是常数列，如果存在正整数T，使得an+T=an对任意的nN*均成立求所有满足条件的数列an中T的最小值【解答】解：1由题意，可得a=an+dand+d2，化简得1d2=0，又d0，所以=12将a1=1，a2=2，a3=4，代入条件，可得4=1×4+，解得=0，所以a=an+1an1，所以数列an是首项为1，公比q=2的等比数列，所以an=2n1欲存在r3，7，使得m2n1nr，即rnm2n1对任意nN*都成立，那么7nm2n1，所以m对任意nN*都成立令bn=，那么bn+1bn=，所以当n8时，bn+1bn；当n=8时，b9=b8；当n8时，bn+1bn所以bn的最大值为b9=b8=，所以m的最小值为；3因为数列an不是常数列，所以T2，假设T=2，那么an+2=an恒成立，从而a3=a1，a4=a2，所以，所以a2a12=0，又0，所以a2=a1，可得an是常数列，矛盾所以T=2不合题意假设T=3，取an=*，满足an+3=an恒成立 由a22=a1a3+a2a12，得=7那么条件式变为an2=an+1an1+7由22=1×3+7，知a3k12=a3k2a3k+a2a12；由32=2×1+7，知a3k2=a3k1a3k+1+a2a12；由12=2×3+7，知a3k+12=a3ka3k+2+a2a12；所以，数列*适合题意所以T的最小值为32016分设函数fx=lnx，gx=ax+a，b，cR1当c=0时，假设函数fx与gx的图象在x=1处有相同的切线，求a，b的值；2当b=3a时，假设对任意x01，+和任意a0，3，总存在不相等的正实数x1，x2，使得gx1=gx2=fx0，求c的最小值；3当a=1时，设函数y=fx与y=gx的图象交于Ax1，y1，Bx2，y2x1x2两点求证：x1x2x2bx1x2x1【解答】解：1由fx=lnx，得f1=0，又fx=，所以f1=1，当c=0时，gx=ax+，所以gx=a，所以g1=ab，因为函数fx与gx的图象在x=1处有相同的切线，所以，即，解得a=，b=；2当x01时，那么fx00，又b=3a，设t=fx0，那么题意可转化为方程ax+c=tt0在0，+上有相异两实根x1，x2 即关于x的方程ax2c+tx+3a=0t0在0，+上有相异两实根x1，x2 所以，得，所以c2t对t0，+，a0，3恒成立 因为0a3，所以22=3当且仅当a=时取等号，又t0，所以2t的取值范围是，3，所以c3故c的最小值为33当a=1时，因为函数fx与gx的图象交于A，B两点，所以，两式相减，得b=x1x21，要证明x1x2x2bx1x2x1，即证x1x2x2x1x21x1x2x1，即证，即证1ln1令=t，那么t1，此时即证1lntt1令t=lnt+1，所以t=0，所以当t1时，函数t单调递增又1=0，所以t=lnt+10，即1lnt成立；再令mt=lntt+1，所以mt=1=0，所以当t1时，函数mt单调递减，又m1=0，所以mt=lntt+10，即lntt1也成立综上所述，实数x1，x2满足x1x2x2bx1x2x1选做题在21.22.23.24四小题中只能选做2题，每题10分，计20分请把答案写在答题纸的指定区域内选修4-1：几何证明选讲图2110分如图，AB为O的直径，直线DE与O相切于点E，AD垂直DE于点D假设DE=4，求切点E到直径AB的距离EF【解答】解：如图，连接AE，OE，因为直线DE与O相切于点E，所以DEOE，又因为ADDE于D，所以ADOE，所以DAE=OEA，在O中，OE=OA，所以OEA=OAE，5分由得DAE=OAE，即DAE=FAE，又ADE=AFE，AE=AE，所以ADEAFE，所以DE=FE，又DE=4，所以FE=4，即E到直径AB的距离为410分选修4-2：矩阵与变换2210分矩阵M=，求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程【解答】解：设Px0，y0是圆x2+y2=1上任意一点，那么=1，设点Px0，y0在矩阵M对应的变换下所得的点为Qx，y，那么=，即，解得，5分代入=1，得=1，圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程为=110分选修4-4：坐标系与参数方程23在极坐标系中，直线cos+=1与曲线=rr0相切，求r的值【解答】解：直线cos+=1，转化为：，曲线=rr0转化为：x2+y2=r2，由于直线和圆相切，那么：圆心到直线的距离d=所以r=1选修4-5：不等式选讲24实数x，y满足x2+3y2=1，求当x+y取最大值时x的值【解答】解：由柯西不等式，得x2+212+2x1+2，即x+y2而x2+3y2=1，所以x+y2，所以，5分由，得，所以当且仅当x=，y=时，x+ymax=所以当x+y取最大值时x值为10分2510分如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP底面ABCD，点M为PC中点，AC=4，BD=2，OP=41求直线AP与BM所成角的余弦值；2求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值【解答】解：1因为ABCD是菱形，所以ACBD又OP底面ABCD，以O为原点，直线OA，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴，建立如下列图空间直角坐标系那么A2，0，0，B0，1，0，P0，0，4，C2，0，0，M1，0，2=2，0，4，=01，1，2，cos，=故直线AP与BM所成角的余弦值为5分2=2，1，0，=1，1，2设平面ABM的一个法向量为=x，y，z，那么，令x=2，得=2，4，3又平面PAC的一个法向量为=0，1，0，cos=故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为10分2610分nN*，nfn=Cn0Cn1+2Cn1Cn2+nCnn1Cnn1求f1，f2，f3的值；2试猜想fn的表达式用一个组合数表示，并证明你的猜想【解答】解：1由条件，nfn=CCCC，在中令n=1，得f1=1 在中令n=2，得2f2=6，得f2=3 在中令n=3，得3f3=30，故f3=10 2猜想fn=要证猜想成立，只要证等式n=+2+n 成立由1+xn=+x+x2+xn，两边同时对x求导数，可得n1+xn1=+2x+3x2+nxn1，把等式和相乘，可得n1+x2n1=+x+x2+xn +2x+3x2+nxn1 等式左边xn的系数为n，等式右边xn的系数为+2+3+nn=+2+3+n=CCCC，根据等式恒成立，可得n=CCCC故fn= 成立