2022年高考重点复习之数列和函数与导数经典类型 .pdf
学习必备欢迎下载（2011 辽宁理 17）已知等差数列na满足20,a =6810aa+= -。（I ）求数列na的通项公式；（II ）求数列12nna-的前n项和。（20XX年高考山东卷理科18）已知等差数列na满足：37a，5726aa，na的前 n 项和为nS（）求na及nS；（）令 bn=211na( nN*) ，求数列nb的前 n 项和nT（2010 海南宁夏高考理科17）设数列na满足12a，2113 2nnnaa（) 求数列na的通项公式：（）令nnbna，求数列nb的前 n 项和nS. （2009 全国卷 19）设数列na的前n项和为,nS已知11,a142nnSa（I ）设12nnnbaa，证明数列nb是等比数列（II ）求数列na的通项公式。(20XX 年高考全国 2 卷理数 18）已知数列na的前n项和2() 3nnSnn（）求limnnnaS；（）证明：12222312nnaaan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载（2011 辽宁理 17） 【解析】 （I ）设等差数列na的公差为 d ，首项为1a，则由已知条件可得110,21210,adad+=?+= -? ?解得11,1.ad=?= -? ?故数列na的通项公式为2nan=-。（II）设数列12nna-的前n项和为nS，即21122nnnaaSa-=+，故11S =，1222222nnnSaaa=+所以，当1n时，121112222nnnnnnSaaaaaa-=+-2111121()2222nnn-=-+-1121(1)22nnn-=-2nn=所以12nnnS-=综上，数列12nna-的前n项和为nS2nn=。（20XX年高考山东卷18） 【解析】（）设等差数列na的公差为d，因为37a，5726aa，所以有112721026adad，解得13,2ad，所以321)=2n+1nan（；nS=n(n-1)3n+22=2n +2n。（）由（）知2n+1na，所以 bn=211na=21=2n+1)1（114 n(n+1)=111(-)4n n+1，所以nT=111111(1-+-)4223nn+1=11(1-)=4n+1n4(n+1)，即数列nb的前 n 项和nT=n4(n+1)。(20XX 年全国高考宁夏卷17） （本小题满分12 分）（）由已知，当n1 时，111211()()()nnnnnaaaaaaaa21233(222)2nn2(1) 12n。而12,a所以数列 na 的通项公式为212nna。（）由212nnnbnan知35211 22 23 22nnSn从而2357221 22 23 22nnSn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载-得2352121(12 )22222nnnSn。即211(31)229nnSn2009 全国卷 19（本小题满分12 分）解： （I）由11,a及142nnSa，有12142,aaa21121325,23aabaa由142nnSa， 则当2n时，有142nnSa 得111144,22(2)nnnnnnnaaaaaaa又12nnnbaa，12nnbbnb是首项13b，公比为的等比数列（II）由（ I）可得1123 2nnnnbaa，113224nnnnaa数列2nna是首项为12，公差为34的等比数列1331(1 )22444nnann，2(31) 2nnan(20XX 年高考全国2 卷理数 18） （本小题满分12 分）【命题意图】本试题主要考查数列基本公式11(1)(2)nnns nassn的运用，数列极限和数列不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力.【解析】（）1limlimnnnnnnnaSSSS1lim(1)nnnSS11limnnnSS，11 11limlim1 33nnnnSnSn，所以2lim3nnnaS. （）当1n时，112631aS；当1n时，1222212naaan112122212nnSSaSSn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载【2010 重庆卷】 （18） （本小题满分 13 分， （）小问 5 分， （）小问 8 分. ）已知函数) 1ln(1)(xaxxxf，其中实数1a. （）若2a，求曲线)(xfy在点)0(,0(f处的切线方程；（）若)(xf在1x处取得极值，试讨论)(xf的单调性 . 【2009 北京 18】 （本小题共 14 分）设函数( )(0)kxfxxek（）求曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程；（）求函数( )f x的单调区间；（）若函数( )f x在区间( 1,1)内单调递增，求k的取值范围 . 【2011 江西理】 19 （本小题满分 12 分）设( )fxxxax（1）若( )f x在(,）上存在单调递增区间，求a的取值范围；（2）当a时，( )f x在 , 上的最小值为，求( )f x在该区间上的最大值【2011 安徽理】 （16） （本小题满分 12 分）设21)(axexfx，其中 a 为正实数 . （）当34a时，求)(xf的极值点；（）若)(xf为 R上的单调函数，求a 的取值范围【2011 北京理】 18（本小题共 13 分）已知函数2( )()xkf xxke 。（）求( )f x的单调区间；（）若对于任意的(0,)x，都有( )f x1e，求 k 的取值范围。【2009 安徽卷理】（本小题满分 12 分）已知函数2( )(2ln ),(0)f xxaxax，讨论( )f x的单调性 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载【2010 重庆卷】解：（）11)(111)()1()(22/xaxaxaxxaxxf. 当1a时，47101)20(12)0(2/f，而21)0(f，因此曲线)(xfy在点)0(,0(f处的切线方程为)0(47)21(xy即0247yx. （）1a，由（）知2111111)1 (1)(2/aaaxf，即02111a，解得3a. 此时) 1ln(31)(xxxxf，其定义域为),3()3, 1(，且) 1()3()7)(1(11)3(2)(22/xxxxxxxf，由0)(/xf得7, 121xx. 当11x或7x时，0)(/xf；当71x且3x时，0)(/xf. 由以上讨论知，)(xf在区间),7,1 ,1(上是增函数，在区间7 ,3(),3 , 1上是减函数 . 【2009 北京 18】（）1,01,00kxfxkx eff, 曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程为yx（）由10kxfxkx e，得10 xkk，若0k，则当1,xk时，0fx，函数fx单调递减，当1,xk时，0fx，函数fx单调递增，若0k，则当1,xk时，0fx，函数fx单调递增，当1,xk时，0fx，函数fx单调递减，（）由（）知，若0k，则当且仅当11k，即1k时，函数fx在1,1内单调递增；若0k，则当且仅当11k，即1k时，函数fx在1,1内单调递增，综上可知，函数fx在区间1,1内单调递增时，k的取值范围是1,00,1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载【2011 江西理】解：（1）由2211( )2()224fxxxaxa当222,),( )( )2 ;339xfxfa时的最大值为令2120,99aa得所以，当12,( )(,)93af x时在上存在单调递增区间（2）令12118118( )0,.22aafxxx得两根所以12( )(,),(,)f xxx在上单调递减，在12(,)x x上单调递增当1202,14,( )axxf x时 有所以在1 ，4 上的最大值为2()f x又27(4)(1)60,(4)(1)2ffaff即所以( )f x在1 ，4 上的最小值为4016(4)833fa得21,2ax，从而( )f x在1 ，4 上的最大值为10(2).3f【2011 安徽理】 ）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关系。求解一元二次不等式等基本知识，考查运算求解能力，综合分析和解决问题的能力。解：对)(xf求导得222)1(21)(axaxaxexfx（）当34a时，若0)(xf，则03842xx，解得21,2321xx结合，可知x )21,(21)23,21(23),23()(xf+ 0 _ 0 + )(xf极大值极小值所以，231x是极小值点，212x是极大值点。（）若)(xf为 R上的单调函数，则)(xf在 R上不变号，结合与条件a0，知0122axax在 R上恒成立，因此0)1(4442aaaa，由此并结合 a0，知10a. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载【2011 北京理】解：（）.)(1)(122xekxkxf令00f，得kx.当 k0 时，)()(xfxf与的情况如下x (k,) k(k,k) k ),(k)(xf+ 0 0 + )(xf124ek0 所以，)(xf的单调递减区间是（k,）和),(k；单高层区间是),(kk当 k0 时，因为eekfk1)1(11，所以不会有.1)(), 0(exfx当 k0 时，由（）知)(xf在（0，+）上的最大值是.4)(2ekkf所以exfx1)(),0(等价于.14)(2eekkf解得021k. 故当.1)(),0(exfx时，k 的取值范围是).0 ,21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载【2009 安徽理】解：( )f x的定义域是 (0,+),22222( )1.axaxfxxxx设2( )2g xxax, 二次方程( )0g x的判别式28a. 当280a，即02 2a时，对一切0 x都有( )0fx, 此时( )f x在(0,)上是增函数。 当280a, 即22a时，仅对2x有( )0fx, 对其余的0 x都有( )0fx, 此时( )f x在(0,)上也是增函数。 当280a，即2 2a时，方程( )0g x有两个不同的实根2182aax,2282aax,120 xx. x1(0,)x1x12(,)x x2x2(,)x( )fx+ 0 _ 0 + ( )f x单调递增极大单调递减极小单调递增此 时( )f x在28(0,)2aa上 单 调 递 增 , 在2288(,)22aaaa是 上 单 调 递 减 , 在28(,)2aa上单调递增 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
