2022年抽象函数问题的解题策略(学生版+教师版 .pdf

第 1 页 共 4 页抽象函数问题的解题策略（学生版） 资料整理：邓军民（数学驿站 ） 一、利用特殊模型有些抽象函数问题, 用常规解法很难解决, 但与具体函数“对号入座”后, 问题容易迎刃而解. 这种方法多用于解填空题、选择题、解答题的解题后的检验,但解答题的解答书写过程一般不能用此法 . 例 1 设函数 f(x) 是定义在 R上的减函数, 且满足f(x+y)=f(x)f(y), f(-3)=8, 则不等式f(x)f(x-2) 的解集为 . 例 1 若函数 f(x) 与 g(x) 在 R上有定义, 且 f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y), f(-2)=f(1) 0,则 g(1)+g(-1)= . 二、利用函数性质 函数的特征是通过函数的性质反映出来的 , 抽象函数也不例外, 只有充分利用题设条件所表明的函数的性质, 灵活进行等价转化, 抽象函数问题才能峰回路 转、化难为易. 1. 利用单调性 例 3 设 f(x) 是定义在（0,+ ） 上的增函数, 满足 f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,解不等式 f(x)+f(x-8)2.2561名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 第 2 页 共 4 页2. 利用奇偶性例 4 已知函数 f(x)=ax5+bsinx+3, 且 f(-3)=7, 求 f(3) 的值. 3. 利用周期性 例 5 设函数 f(x) 在 R上是奇函数,f(x+2)=-f(x) ,当00 的 x 的取值区间是 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 第 3 页 共 4 页例 8定义在 （-,+）上的函数 y=f(x) 在 （-,2） 上是增函数, 且函数 y=f(x+2)为偶函数, 则 f(-1),f(4),f(6)的大小关系为 . 三、利用特殊方法 有些抽象函数问题, 用常规方法来解决往往难于奏效, 但用一些非常规方法来求解, 常收到意想不到的效果. 1. 利用赋值法 例 9 函数 f(x) 的定义域为 R,对任意 x、yR,都有 f(x+y)+f(x-y)= 2f(x)f(y),且 f(0) 0. （1）求证:f(0)=1; （2）求证:f(x) 是偶函数; （3） 求证: 对任意xR,有 f(x+c)= -f(x) 成 立; 求证:f(x) 是周期函数. .0)2()0(=cf丆cc使若存在常数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 第 4 页 共 4 页 2. 利用递推法 例 10设函数 f(x)的定义域为 R, 且对任意实数 x,都有 f(x)=f(x+1) - f(x+2),求证： f(x)是周期函数.例 11 f(x)是定义在正整数集的函数, 且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy (x,y N+),f(1)=1,求函数 f(x) 的解析式. 3. 利用反证法 例 12 已知函数 f(x) 在区间(- ,+ ）上是增函数,a,b R,若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).求证:a+b0.例 13 设函数 f(x)对定义域内任意实数都有f(x) 0, 且 f(x+y)=f(x)f(y)成立, 求证: 对定义域内任意x, 都有 f(x) 0.以上我们利用抽象函数的特殊模型、函数性质、特殊方法等途径举例说明了求解抽象函数问题的一些策略. 事实上处理这类问题时, 常将几种解题策略综合使用, “多管齐下”方能游刃有余. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 第 1 页 共 4 页抽象函数问题的解题策略（教师版） 资料整理：邓军民（数学驿站 ） 一、利用特殊模型 有些抽象函数问题, 用常规解法很难解决, 但与具体函数“对号入座”后, 问题容易迎刃而解. 这种方法多用于解填空题、选择题、解答题的解题后的检验,但解答题的解答书写过程一般不能用此法 . 例 1 设函数 f(x) 是定义在 R上的减函数, 且满足f(x+y)=f(x)f(y), f(-3)=8, 则不等式f(x)f(x-2) 的解集为 . 解 因为函数 f(x) 满足 f(x+y)=f(x)f(y),这是指数函数模型, 又 f(-3)=8, 则可取 f(x)f(x-2)8, 解不等式 , 得 x 5, 不等式的解集为 x|x5. 例 2 若函数 f(x) 与 g(x) 在 R上有定义, 且 f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y), f(-2)=f(1) 0,则 g(1)+g(-1)= . 解 因为 f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y), 这是两角差的正弦公式模型, 又 f(-2)=f(1) 0, 则可取xxf32sin)(= 于是 f(-1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1) 二、利用函数性质 函数的特征是通过函数的性质反映出来的 , 抽象函数也不例外, 只有充分利用题设条件所表明的函数的性质, 灵活进行等价转化, 抽象函数问题才能峰回路 转、化难为易. 1. 利用单调性 例 3 设 f(x) 是定义在（0,+ ） 上的增函数, 满足 f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,解不等式 f(x)+f(x-8)2.解 函数 f(x) 满足 f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1, 2=1+1=f(3)+f(3)=f(9), 由f(x)+f(x-8)2,得 fx(x-8)f(9), 函数 f(x) 是定义在（0,+ ）上的增函数, 则 不等式解集为 x|80,x-8 0,x(x-8) 9, ?8x9, 32sin) 1()1 ()32sin()34sin(-=-?gg.1)1()1 () 1(23)1(2323-=-+?-=?gggg名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 第 2 页 共 4 页2. 利用奇偶性例 4 已知函数 f(x)=ax5+bsinx+3, 且 f(-3)=7, 求 f(3) 的值. 分析 f(x)的解析式含有两个参数a、 b,却只有一个条件f(-3)=7, 无法确定a、b的值, 因此 f(x) 仍是抽象函数, 但我们注意到g(x)=ax5+bsinx 是奇函数, 有g(-3)=-g(3). 解 设 g(x)=ax5+bsinx, 显然 g(x) 是奇函数, f(-3)=7, f(-3)=g(-3)+3=-g(3)+3=7 g(3)=-4, f(3)=g(3)+3=-4+3=-1. 3. 利用周期性 例 5 设函数 f(x) 在 R上是奇函数,f(x+2)=-f(x) ,当00 的 x 的取值区间是 . 解 依已知条件作出 f(x) 的大致图象, 如图1所示, 从图象中可看出, 当f(x) 0 时,x 的取值区间是（-1,0 ）（1,+ ）.,)(1)(1)(11)(1)(11)1(1)1(1)2(xfxfxfxfxfxfxfxf-=-+-+=+-+=+),()2(1)4(xfxfxf=+-=+从而所以 f(2011)=f(3)=f(1+2)= -1/f(1)= -1/2. oo x y1-10 图 1 ?名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 第 3 页 共 4 页例 8定义在 （-,+）上的函数 y=f(x) 在 （-,2） 上是增函数, 且函数 y=f(x+2)为偶函数, 则 f(-1),f(4),f(6)的大小关系为 . 解 设 F(x)=f(x+2), F(x) 为偶函数, F(-x)=F(x), 即f(2+x)=f(2-x), 函数 f(x) 的图象关于直线x=2对称, f(-1)=f(5), f(x)在（-,2）上是增函数, f(x)在（ 2,+ ）上是减函数, f(6)f(5) f(4), 即 f(6) f(-1)f(4). 三、利用特殊方法 有些抽象函数问题, 用常规方法来解决往往难于奏效, 但用一些非常规方法来求解, 常收到意想不到的效果. 1. 利用赋值法 例 9 函数 f(x) 的定义域为 R,对任意 x、yR,都有 f(x+y)+f(x-y)= 2f(x)f(y),且 f(0) 0. （1）求证:f(0)=1; （2）求证:f(x) 是偶函数; （3） 求证: 对任意xR,有 f(x+c)= -f(x) 成 立; 求证:f(x) 是周期函数. 解 （1）令 x=y=0,则有 2f(0)=2f2(0), f(0) 0, f(0)=1. （2）令 x=0,则有 f(y)+f(-y)= 2f(0)f(y), f(0)=1, f(-y)=f(y), f(x) 是偶函数. （3） 分别用22c丄cx+ (c 0) 替换 x、 y, 有 f(x+c)+f(x)=2f(2cx+)f(2c). f(2c)=0, f(x+c)= -f(x) . 由知 f(x+c)=-f(x), 用 x+c 替换 x, 有 f(x+2c)=-f(x+c)=f(x), f(x)是以2c 为周期的周期函数. 2. 利用递推法 例 10设函数 f(x)的定义域为 R, 且对任意实数 x,都有 f(x)=f(x+1) - f(x+2),求证： f(x)是周期函数. 解 f(x)=f(x+1) - f(x+2), f(x+1)=f(x+2) -f(x+3), 将以上两式相加, 得 f(x+3)= - f(x), f(x+6)= - f(x +3)=f(x), f(x)是周期函数, 6 是它的一个周期.例 11 f(x)是定义在正整数集的函数, 且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy (x,y N+),f(1)=1,求函数 f(x) 的解析式. 解 令 y=1, f(1)=1, f(x+1)=f(x)+f(1)+x, 即f(x+1)-f(x)=x+1, .0)2()0(=cf丆cc使若存在常数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 第 4 页 共 4 页 则 f （2)-f(1)=2, f（3)-f(2)=3, f(x)-f(x-1)=x. 将以上各式相加, 得 f(x)-f(1)=2+3+4+ +x, f(x)=1+2+3+4+x=21x(x+1) (xN+). 3. 利用反证法 例 12 已知函数 f(x) 在区间(- ,+ ）上是增函数,a,b R,若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).求证:a+b0.证明 假设 a+b0,则 a-b,b -a, 函数 f(x) 在区间(- ,+ ）上是增函数, f(a) f(- b),f(b) f(- a), f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),这与已知矛盾, a+b 0.证明假设在定义域内存在x0,使 f(x0) 0, f(x0) 0, 这与假设的 f(x0) 0 矛盾, 所以假设不成立, 故对定义域内任意x, 都有 f(x) 0.以上我们利用抽象函数的特殊模型、函数性质、特殊方法等途径举例说明了求解抽象函数问题的一些策略. 事实上处理这类问题时, 常将几种解题策略综合使用, “多管齐下”方能游刃有余. , 0)2(),2()2()2()22()(00200000=+=xfxfxfxfxxfxf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -