2022年最新第四华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛第二试 .pdf

精品文档精品文档第四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛第二试答案（1）互为反序的两个自然数的积是92565，求这两个互为反序的自然数。（例如 102和 201；35和 53，11 和 11，称为互为反序的数， 但 120和 21 不是互为反序的数） 解法 1 分解因子 92565=335111117 互为反序的两个自然数中，若其中之一为3 的倍数（或 11 的倍数），另一个也必为3 的倍数（或 11 的倍数），又因乘积是五位数，所以这两个数是三位数，我们有92565（3511）（ 31711）165561 答 这两个数为 165 和 651。 解法 2 因为积是五位数，这两个数都是三位数。积的个位数是5，因此其中第一个乘数的个位数也必是5，经反序后，第二个乘数的百位数为 5。第一个乘数的百位数若不小于2，则积必为六位以上的数，因此，第一个乘数百位数是1，第二个乘数的个位数是1，这样一来，这两个反序数一定形是 3，6，9，0 中之一，计算得531135=71685 561165=92565 591195115215 50110552605 分析与讨论 解法 1 中利用了两个整除性判断准则；（1）一个自然数的各位数字之和为3 的倍数，则这个自然数是3 的倍数，反之亦然； （2）一个自然数奇位数字之和与偶位数字之和的差是11 的倍数，则这个自然数是 11 的倍数。反之亦然。互为反序的两个自然数，它们各位数字之和是相同的； 且奇位数字之和与偶位数字之和的差也是不变的。因此，它们同为 3 和 11 的倍数。将 92565 分解因子之后， 就很容易定出这两个数来。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档有利用 3 的整除性准则。而是用试算法，但他并不从1-9 逐个数进行试算，面对于比 5 小的数就不算了， 而只在 5-9 之间找一数进行试算， 直到确定（2）某工厂的一个生产小组，生产一批零件，当每个工人在自己原岗位工作时， 9 小时可完成这项生产任务。如果交换工人A和 B的工作岗位，其它工人生产效率不变时， 可提前一小时完成这项生产任务；如果交换工人 C和 D的工作岗位， 其它工人生产效率不变时， 也可以提前一小时完成这项生产任务。问：如果同时交换 A与 B，C与 D的工作岗位，其它工人生产效率不变，可以提前几分割完成这项生产任务？效不变，所以这一份就是 A、B二人多干的。同理， C与 D交换后，他们二人每小时也要多干1 份任务。同时交换后， A与 B，C与 D每小时都多干一份任务，所以全组工人每每干 1 份任务，提前 7.5-6=1.5分钟， 72份任务一共提前721.5 108分钟。答可提前 108 分钟。解法 2i ）设总工作量为 1，则原来全组每小时完成1/9 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档iii）C与 D 交换后，他们二人每小时也多干 解法 3A 与 B交换后，全组在 8 小时内完成原来 9 小时的工作，由于其它人工效不变，所以A、B二人在 8 小时中多干了原来全组人1 小时的工作。同理 C与 D交换后，他们二人在 8 小时中多干了原来全组人的一小时工作。A与 B，C与 D同时交换后，他们四人就在4 小时内多干了原来全组人 1 小时的工作。这就是说， A与 B，C与 D同时交换后，全组人工在4小时内干了原来全组人在5 小时内干的工作，即缩短工时1/5 。 分析与讨论 工作效率问题是小学四则运算的典型应用问题之一，但实际的生产计划要复杂得多， 这是因为生产链中某一环节的效率发生变化后，其它的环节的效率也相应地发生改变，利用数学方法安排生产计划是一门专门学科， 是管理科学和运筹学的研究内容，在我们的问题中， 强调A与 B（或 C与 D）交换工作岗位后，其它工人的生产效率不变，就是说交换岗位的工人们是俩俩互相影响对方的工作效率，而对其它工人的效率不发生影响。 如果不是这样， 那么就需要更多的已知条件，应用更为复杂的数学方法将实际问题变成一个数学问题，是一个抽象与简化的过程， 同一实际问题有着不同的方法将其抽象简化成不同的数学问题，即便是最为通常的植树问题也是这样， 因为要植树，就得有挖坑、 裁苗、浇水等工序，这些工序各有各的工效， 互相影响。 若要仔细研究， 则必需运用运筹学方法。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档（3）某校学生中，没有一个学生读过学校图书馆的所有图书，又知道图书馆内任何两本书至少被一个同学都读过，问：能不能找到两个学生甲、乙和三本书 A、B、C ，甲读过 A、B，没读过 C ，乙读过 B、C，没读过A？说明判断过程。 解法 1 首先从读书数最多的学生中找一人叫他为甲，由题设，甲至少有一本书 C未读过，设 B 是甲读过的书中的一本，根据题设，可找到学生乙，乙读过B、C。由于甲是读书数最多的学生之一，乙读书数不能超过甲的读书数， 而乙读过 C书，甲未读过 C书，所以甲一定读过一本书A，乙没读过 A书，否则乙就比甲至少多读过一本书，这样一来，甲读过A、B，未读过 C；乙读过 B、C未读过 A。因此可以找到满足要求的两个学生。 解法 2 将全体同学分成两组。若某丙学生所读的所有的书， 都被另一同学全部读过， 而后一同学读过的书中，至少有一本书，丙未读过，则丙同学就分在第一组。另外，凡一本书也未读过的同学也分在第一组，其余的同学就分在第二组。按照以上分组方法， 不可能将全体同学都分在第一组，因为读书数最多的同学一定在第二组。在第二组中，任找一位同学叫做甲，由题设有书C ，甲未读过。再从甲读过的书中任找一本书叫做B，由题设，可找到同学乙，乙读过B、C书，由于甲属于第二组，所以甲一定读过一本书A，乙未读过 A，否则甲只能分在第一组， 这样，甲读过 A、B，未读过 C；乙读过 B、C，未读过 A。 分析与讨论 这是一个逻辑推理题，目的是考察同学们的推理能力，促进同学们加强逻辑推理能力的训练。解法 1 中从一个读书数最多的同学出发， 也就是从具有某种特殊性的对象着手， 这一方法是推理中常用到的，有些人称为“极端原则”。开始利用这一原则试一试，可以解决我们“无从着手”的难处，解法 2 中将同学们分成两组， 但重要的一步是要说明第二组中一定有同学，正确地分组是解决这一问题的关键。（4）有 6 个棱长分别是 3cm ，4cm ，5cm ，的相同的长方体，把它们的某些面染上红色， 使得有的长方体只有一个面是红色的，有的长方体恰有两个面是红色的， 有的长方体恰有三个面是红色的，有的长方体恰有四个面是红色的， 有的长方体恰有五个面是红色的，还有一个长方体六个面都是红色的， 染色后把所有的长方体分割成棱长为1cm的小正方体， 分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体最多有几个？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档 解 如上图， AD BC=EH=FG=5cm AB CD EF GH 4cm AE BF CG DH 3cm i ）一面染色，将 ABCD 染红，则有 20 个一面是红色的小立方体，而染其它面不能得到多于20 个一面是红的小立方体。ii ）二面染色，将 ABCD 和 EFGH 染红色的，则可得到40 个一面为红色的小立方体，将其它二面染红色的，不能得到多于40 个一面为红色的小立方体。iii）三面染色，将 ABCD ，EFGH 和 ABEF 染红色，将得到 36个一面为红色的小立方体。将其它三面染色，将不可能得到多于36 个一面为红色的小立方体。iv ）四面染色，将 ABCD ，EFGH ，ABFE和 CDHG 染红色，将得到 32 个一面为红色的小立方体，这是最多的可能。v）五面染色，将 ABCD 、EFGH ，ABFE 、CDHG 和 CBFG 染红色，将得到27 个一面为红色的小立方体，这是最多的可能。vi ）六面染色，可得22 个一面染色的小立方体。222732364020=177 答 最多可得到 177 个一面为红色的小立方体。 分析与讨论 这一题的难点在于 “最多有几个？” ，在三面染色的情况，染两个最大面，再染一个次大面，则可得到35 个有一面为红色的小立方体；而染两个最大面，再染一个最小面则可得到36 个有一面为红色的小立方体， 这是因为 3.4.5 这三个数的特殊性。 如果边长不是 3、4、5，而是 l 、m 、n 三个自然数，且 l 、m 、n 三个数中最小的也比3 大，则情况就不一样了， 得到正确答案的同学可能就会多一些。具体问题应该具体分析，不能一概套用成法。（5）小华玩某种游戏，每局可随意玩若干次，每次得分是8，a（自然数），0 这三个数中的一个， 每局各次得分的总和叫做这一局的总积分，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档小华曾得到过这样的总积分：103，104，105，106，107，108，109，110，又知道他不可能得到“ 83 分”这个总积分。问： a 是多少？ 解法 1 由于 103到 110相继八个自然数都是可得分数，所以不小于103 的任何自然数都是可得分数。由于 103 是奇数，所以 a 必为奇数，或（ a，8）1（a，8）表示a 与 8 的最大公约数）。i ）确定 a 的下界。考察八个数：0，a，2a，3a，4a，5a，6a，7a，（）是说，（）中的八个数除8 后，有 8 个不同的余数： 0，1，2，3，4，5，6，7。对于任何一个大于7a 的自然数 N，N除以 8 后的余数，必为 0，1，2，7），使得 N-na=8 的倍数 =8m 0，因此 N=na8m 而 N是可得分数， 7a 当然是可得分数，所以83 必小于 7a，即 837a，ii ）确定 a 的上界若自然数 7a-8 是可得分数，则有7a-88pqa p、q 为自然数或 0，（7-q）a=8（p+1）0 这就是说 8（7-q）a，而（8，a）1，所以 8（7-q）而 77-q0 因此，这是不可能的， 我们得到 7a-8 是不可得分数。 由于不小于 103的自然数都是可得分数，所以，7a-8103，即名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档iii）确定 a 由 i ）和 iii）得到， 11a16，且 a 为奇数，所以 a 只可能是 13或 15，又因838+515 所以 a15，下面检验 a=13是否满足题意，由 i ） 知道，大于 71391 的自然数都是可得分数， 所以 103到 110都是可得分数，另外83-13=70 不是 8 的倍数83-313=44不是 8 的倍数83-51318 不是 8 的倍数所以 83 是不可得分数， a13，满足题意， 答a 13。 解法 2 i ）由于 103 是奇数，所以 a 一定是奇数。ii ）从题设条件中，我们知道83 是不可能得到的总积分，当n 为不大于 10 的任一自然数时， 83-8n 不能有的数 a，否则 83=8n+ma 为可得分数，因此。83-810=3所以 a3 83-89=11所以 a11 83-8819所以 a19 83-872739 所以 a9 83-86=35=57 所以 a5，a7 83-8543所以 a43 83-84=51=317 所以 a17 83-8359所以 a59 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档83-82=67所以 a67 83-875=355 所以 a15，a25 综上所述 a 是大于 11 的奇数，且不能是15，17，19，43，59，67，iii）检验 a=13是否满足题意。由 ii ）可知，当 a=13时，83 是不可能得到的总积分。而10388313 104813 10585513 106810+213 10782713 10887413 109=812+13 110=84+613 满足题意，因此 a=13是问题的解。iv ）说明 a=13是问题的唯一解， 大于 13 的奇数还有很多， 我们不能逐一地去检验。因此，我们还要说明a 的上界。从 103 到 110 八个总积分都是自然数， 它们除 8 后的余数分别是， 7，0，1，2，3，4，5，6 因为 7a 不能被 8 整除， 7a 除 8 后的余数必是 1，到 110 中找到一个数 N使得 N除 8 后的余数与 7a 除 8 后的余数相同所以7a-N=8的倍数 =8m 0 而 N是可得到的总积分数，即Npa8q，p，q 为自然数或 0 所以（ 7-p）a=8（m q）0 77-q0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档这表明 8（7-q）a，而（ 8，a）=1，所以 8（7-p）都不能是问题的解。 分析与讨论 这一题主要是检查同学们整除性的理解程度及培养同学们的严密逻辑思维方法，有的同学从1 开始逐个奇数试算得到13，但这并不能说明只有13 这一个解，因为并没有说明大于13 的奇数一定不是问题的解。在数学问题中，有许多问题是暂时不可能精确地确定某个量的大小的；或不需要知道它的精确大小，而能够知道它的上、下界就足够了，学会从已知条件出发， 给出某个量的界的分析方法对于求解许多数学问题都是十分重要的。另外，我们考虑下面问题：用8 分和 13 分的邮票，可以支付哪些不同的邮资？大家一定看得出来，我们的试题 （5），是“邮资”问题的“反问题”。实际上，在我们学习数学课程中，已经遇到过许多的问题和它们的反问题，同学们可以试一试，从自己做过的习题中，找来几个问题，提出它们相应的反问题做一做。（6）在正方体的 8 个顶点处分别标上1，2，3，4，5，6，7，8，然后再把每条棱两端所标的两个数之和写在这条棱的中点，问各棱中点所写的数是否可能恰有五种不同数值？各棱中点所写的数是否可能恰有四种不同数值？如果可能， 对照图 a 在图 b 的表中填上正确的数字； 如果不可能，说明理由。 解法 1 i ）各棱中点处所写的数恰有五种不同数值是可能的，但填法不唯一。ii ）不可能少于五种不同数值。以 1 所在顶点为端的棱有三条， 不妨设这三条棱的另一端点所填写的数是 a、b，c，满足 abc，则这三条棱的中点处的数为1a，1+b和1c，满足 1+a1+b1+c。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档以 8 所在顶点为端点的棱也有三条， 设这三条棱另一端点所填写的数为 x、y、z，满足 xyz，则这三条棱的中点处的数为8x，8y，8z，满足 8x8y8z。只有当 c=8，x1 时，以上六条棱中点处的数才能恰有五个不同的数值，否则就多于五种不同数值。 而这六条棱中点的六个数不可能少于五种不同的值，因此在12 条棱的中点处所写的数不可能有少于五种不同的数值。 解法 2i ）各棱中点处所写的数恰有五种不同的数值是可能的（见解法 1）ii ）各棱中点处所写的数恰有四种不同的值是不可能的，以下说明理由。首先给出在任一确定的填写法中， 写在顶点的数与写在中点的数的关系及特征：（1） 每一写在中点的数有两个加项， 它们都是写在顶点的数 （题设），若ab，则称“写在顶点的数 a（或 b）为写在中点的数 的组成”。（2）每一写在顶点的数（ 1，2，8）恰为三个写在中点的数的组成，不能多，也不能少。这是因为立方体的每一顶点恰是三条梭的端点，因此， 12 个写在中点的数之和等于8 个写在顶点的数之和的3 倍， 即 108。（3）写在中点的数的可能值，该写在中点的数的可能组成及该写在中点的数最多可能占有的棱的条数满足下表1 所示的关系。如果恰有四种不同的值是可能的，我们可以设这四个数是a，b，c，d。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档若这四个数中， 有一个只写在一条棱上， 则必有另两个数都写在四条棱上，或另一个数写在五条棱上，由表1 可以看出这是不可能的。若有一数，不妨设是a，只写在两条棱上（或称为占有两条梭），则必有一数写在四条棱上，设它为b。由表 1 可知 b9。由特征（ 2）2a3（cd）=108-36=72 可见，a 是 3 的倍数，即 a=6或 12（3 和 15 不可能写在两条棱上）。当 a=6时。cd20 写在 3 条棱上。当 a=12时，c+d=16 综上所述， a，b，c，d 四个数中不可能有一个数只写在两条棱上，也不可能写在一条棱上，也不可能写在四条以上的棱上（因为一共只有12 条棱）因此， a ，b，c，d 每个数只能都写在三条棱上，由特征是3（abc+d）=108 ab+c+d=36 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档由表 1 可知， a，b，c，d 只能是 7，8，9，10，11 这五个数中的四个，这是因为其它的数部不可能写在三条棱上，而，78910 11-（abc+d）=45-36=9 所以 a，b，C ，d 恰是 7，8，10，11这四个数，当这四个数都写在三条棱上时，数 6 必须同时是这四个数的组成（见表1），这与特征（ 2）不符。所以，不可能恰有四个值。 分析与讨沦 解法 1 巧妙而简洁，它不仅证明了取四个值是不可能的，而且标出， 要恰取五个值， 就必须将 1 和 8 这两个数写在一条棱的两个端点上，这一方法的关键在于抓住了通过1 和 8 所在顶点的六条棱。解法 2 是反证法，它虽然显得有些繁琐， 但却给出了更多的信息， 尽管有解法 1 可用，而不需要这许多信息， 但是在求解其它有关问题时，就可能用到。例如问：是否有可能 12 条梭上所写的数恰有12 个不同的值？同学们可以做一做。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -