2022年高等数学知识在生物化学工程中的应用举例 .pdf
高等数学知识在生物化学工程中的应用举例高等数学是生命科学学院校开设的重要基础课程，数学方法为生物化学的深入研究发展提供了强有力的工具。下面仅举一些用高等数学基础知识解决生物化学工程中的一些实际问题的例子，旨在启发学生怎样正确理解和稳固加深所学的知识，并且强化应用数学解决实际问题的意识。例1在化工原理中常用的柏努利方程式中的应用化工生产过程中常于密闭管道内输送液体，使液体流动的主要因素有1流体本身的位差；2两截面间的压强差；3输送机械向流体外作的外功。流动系统的能量衡量常用柏努利方程式，下面来介绍柏努利方程式。定态流动时液体的机械能衡量式为fepphWvdpuzg21221该式队可压缩液体和不可压缩液体均适用。对不可压缩液体，1式中2ppvdp项应视过程性质等温、绝热或 多 变 过 程 按 热 力 学 原 则 处 理 ， 对 不 可 压 缩 液 体 ， 其 比 容v或 者 密 度为 常 数 ， 故pppdpvdppppp21221，代入 1式有：fehWpuzg22或fehpugzWpugz222212112222式称为柏努利方程式。需要注明的是，22u为动能， gz为位能，p为静态能，eW为有效能，fh 为能量损耗，z为高度差。例 2 混合气体粘度的计算常温下混合气体的计算式为niiiniiiimMyMy1211213其中m为常温下混合气体的粘合度Pa.s ；iy为纯组分 i 的摩尔分率；i为混合气体的温度下，纯组分i的粘度 Pa.s ；iM为组分 i 的分子量 Kg/kmol 。例如：空气组分约为01.0,78.0,21.022ArNO均为体积积分率，试利用ArNO,22的粘度数量，计算常温下C020时空气的粘度？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页解：常温下空气可视为理想气体，故各组分的体积积分率等于摩尔分率，ArNO,22的分子量分别为 32，28 及 39.9，经查表知道常温下C020时各组分的粘度为sPaArsPaNsPaO552521009.2107 .11003.2代入 3式计算空气的粘度，即sPaMyMyniiiniiiim52121212152152151211211078.19 .3901.02878.03221.09.391009.201.028107.178.0321003.221.0例 3. 在细胞生长计算中的应用随着细胞的生成繁殖，培养基中的营养物质被消耗，一些有害的代谢产物在培养液中累积起来，细胞的生长速度开始下降，最终细胞浓度不再增加，进入静止期，在静止期细胞的浓度到达最大值。如果细胞的生长速率的下降是由于营养物质的消耗造成的，可以通过以下的分析来统计分批培养可能到达的最大细胞浓度。设限制性基质为A，其浓度为 a，且 A 的消耗速度与细胞浓度成正比：XKdtdaa44式中aK为常数，假定接种后培养液中细胞浓度为0X，且立即进入指数生长阶段，且一直保持到静止期，则)exp(0tXXmm5其中mX为分批培养到达的最大细胞浓度，即A 完全耗尽时细胞浓度，由3式和 4式可得)(00XXKamma整理得00aKXXmam也就是说分批培养过程中获得的最大细胞浓度与限制性基质的厨师浓度存在着线性关系。如果细胞及生长速度的下降是由于有害物质的积累，可以认为KXdtdX1-f( 有害物质浓度 ) 为方便起见，假定细胞生长速率与有害物质浓度有线性关系)1(tbCKXdtdX5其中 k, b 为常数，tC为有害物质浓度。由于有害物质有细胞产生，可以认为qXdtdCtt=0 时，tC=0 6精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页式中 q 为常数，由 6式可得ttqXdtC0，代入 5式有：tqXdtbKXdtdX01(因此有效生长速度为)1 (10tXdtbqKdtdXX随着时间急剧下降，当tXdtbq01时，细胞的生长停止。例 4 细胞团内的氧传递细胞集成团时，氧在细胞团中边扩散边备细胞消耗，为方便起见，把细胞团看作一个均匀的耗氧球体，设它的半径为 R，密度为，取其半径为 r，厚度为 dr 的一层球壳进行稳态时的物料衡量drrQrdrdCDrdrdCDodrrr2224|)4(|)4(2其中 D 为氧在细胞内的扩散系数，C 为半径 r 处的氧浓度，将上式整理，可得到2222)|(ordrrQrdrdrdCrdrdCrD当0dr时，222)(oQrdrdCrdrdD因此2)2(22oQdrdCrdrCdD7细胞的比耗氧速率与耗氧浓度的关系适用米氏方程CKCQQmmoo)(22式中moQ)(2为最大耗氧速率，mK为米氏常数，代入7式中，有CKCQdrdCrdrCdDmmo)()2(2228边界条件为r=R 时，LCCR=0 时，0drdC取LmLCKRrXCCy,代入 8式，有yaydxdyxdxyd2229其中moLQDCRa)(662。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页边界条件则改为x=1 时，y=1 x=0 时，1dxdy。设细胞团的表现比耗氧速率为Q，drCKCQrdrrQRmmoR)()(343420333，整理得1023)(2dxyyxQQmo，9式可写作yyaxdxdyxdxd22)(，因此有1102|3)(3)(2xmodxdyadxdyxaQQ假设取细胞团外表的比耗氧速率1)()(22moLmLmoQCKCQQ作为比较，则细胞元的耗氧有效因子为1|) 1(3xdxdyaQQ， a则反映了细胞团中最大反应速率与最大传输速率之比，反应速率越大，传递速率越小，细胞团内部缺氧就越重，有效因子也就越低。例 5 在中心导体模型中的应用长柱状细胞，如神经轴突和肌纤维细胞，其长度尺寸远大于细胞直径，电流横跨细胞膜的电阻往往比朱庄方向流经一段细胞内介质所代表的中心电阻高出很多，从而细胞流内流动的电流在溢出膜以前在柱轴方向内部导体中流过相当长距离， 这种中心导体概念成为用电缆理论分析长纤维状细胞中电流、电位分布的基础。 假设设mr为单位长膜电阻，mC为单位长膜电容，eirr ,分别为胞内、外液单位长介质电阻。令胞内、外电位分别为eiVV ,，于是膜两侧电位差eimVVV。经推导可得：tVCrVxVrrrmmmmmeim22令mmmeimCrrrr,2则得到标准的电缆方程形式：tVVxVmmmm222假设细胞膜处于电绝缘状态，单位长度膜面积上的电流0mi，即22xVm=0，上式成为一阶常微分方程：0dtdVVmmm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页解得：mtmeVV/0，其中0V为 t=0 时的mV值。显然时间常数m表征均匀膜电位差的自然衰减性质。对非均匀性质莫而言，mV的被动衰减较为复杂，m仅是一个主要衰减因子。当输入为直流稳态电压时，上式简化为mmVdxVd222。如果在x=0 处维持0VVm，其余地方均不加任何电压，即x处mV为有限值，则方程的解为/0 xmeVV。描述了中心导体中电压稳态分布将随距离而自然衰减。对于x到x的双无限长电缆，x=0 处维持0VVm稳定值要求外加电流加倍。无限与半无限长电缆上的稳态分布，为实验确定细胞参数提供了依据。例 6 在动力学猝灭与静态猝死中的应用激发态分子或荧光团由于加入像I 与2O等猝死剂，彼此发生碰撞而造成荧光的猝死，又叫做动力学猝死或动态猝灭。这种猝死服从 Stern-Volmer 方程。此方程从荧光量子效率或从激发衰变率都可导出。假设 r 为衰变率，则其与有猝灭剂时的总衰变率的比值即0QKrrFFq或者写成1100QKQKFFdq(10) 式中FF ,0分别为没有和有猝死时的荧光，Q为猝灭剂的浓度，qK为双分子猝死常数，0是荧光团在无猝灭剂时的荧光寿命，dK就是 Stern-Volmer 猝灭常数，这说明荧光团的寿命愈长，它与猝灭剂碰撞的几率。此几率则决定于它们的扩散速率、分子大小与浓度等：310/4 aADKqD 为荧光团与猝灭剂扩散系数之和，a为分子半径之和， A 为亚氏常数，测定qK可以给出扩散系数的情况。测定qK最好用荧光寿命而不用荧光强度，因为后者可能被其他因素干扰，其中一种就是下面要表达的静态猝灭。碰撞猝灭可使激发态去布局(depopulation)，假设激发态在有和无猝灭剂时的寿命分别为0和，则110)(QKrrq因此，1/00QKq(11) 此式与 (10)式相似。它说明动态猝死的一个重要特性，即荧光强度的降低与荧光寿命的减少是等价的。因为FF /0的测定较方便，通常还是常用此参量。又因为FF /0的猝灭剂浓度呈线性关系，所以FF /0对Q左图可得到一条直线，其斜率就等于dK或0qK，从而可得到猝灭常数的数值。Stern-Volmer 的线性关系只适用于溶液中只有一类荧光团的情况，并且它们对猝灭剂易感性是相同的。假设细筒中含有两类荧光团，并且其中只有一类对猝灭剂易感，则用 Stern-Volmer 方程得到的是像X 轴弯曲的曲线。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页静态猝死是荧光团与猝灭剂在基态时就形成的不发荧光的络合物，当此络合物种荧光团吸收光能激发时，即刻回到基态而不发光，所以此时荧光强度与猝灭剂浓度的关系可从络合物形成时的络合常数qK推导出来。静态猝灭的方程式与动态猝灭相似，只是在此以sK代替0qK，则有10QKFFs假设在一溶液中同时存在静态和动态猝死，这时 S-V 曲线就是向 Y 轴弯曲的曲线。 因为发光的分数0/ FF是未络合的部分 (f)以及未被碰撞猝灭的部分两者的乘积，因此0QKrrfFFq而11QKfs，则：)1(10QKQKFFsd这个修改过的 Stern-Volmer 方程是 Q的二次方程)(120QKKQKKFFsdsd令)(2QKKQKKKsdsdapp则10QKFFapp用appK对Q作图亦可得到一条直线， 此直线的截距为sdKK，斜率为sdKK。至于动态部分则可用来测定， 即10QKd。例 7 在三维重建中的应用目前用于研究三维重建的生物原料有单科蛋白、噬菌体、单纯疱疹病毒核衣壳和膜蛋白结晶体，从二维投影到三维重构的方法很多，但最适于TEM 的方法是傅里叶变换，下面分别介绍：(1) 傅里叶变换假设函数 f(x)满足傅氏积分定理的要求，则在其连续处有aaxiaaxidedxexfxf)(21)(假设令aaxidxexfF)()(频域则aaxideFxf)(21)(空域时域则)(F和 f(x)可通过积分相互表达， 称为傅里叶变换对。 假设扩展到三维，),(zyxF和 f(x,y,z)也一样是傅里叶变换对。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页三维重构的目的是要得到f(x,y,z)，如能得到),(zyxF，则可通过傅氏变换的到 f(x,y,z)。电镜的二维图像相当于s(x,y)通过傅氏变换得到),(yxS，如果能在),(yxS和),(zyxF之间建立联系，则问题得到解决。(2) 中央界面定理 (central slice theorem) 一个无力二维投影的傅里叶变换严格等于该物体的三维傅里叶变换中与投影方向垂直的通过原点的截面中央界面 。这个定理告诉我们，二维投影的傅里叶变换是三维傅里叶变换的一个特例。可具体为，假设物体二维投影以下面的函数表示：dzzyxfyxs),(),(令其二傅里叶变换为),(yxS，则有dxdyyxiyxsSyxyx)2exp(),(),(令样品二维像 f(x,y,z)的三维傅里叶变换为),(zyxF，则有dxdydzzyxizyxfFzyxzyx)2exp(),(),(当0z时，得到yx,轴的傅里叶空间中间界面),(zyxF。根据上等式可得到dxdyyxiyxsdxdydzyxizyxfFyxyxyx)2exp(),()2exp(),()0,(所以)0,(yxF=),(yxS。这就证明了物体在z 方向的投影的二维傅里叶变换),(yxS与其三维像f(x,y,z)的三维傅里叶变换),(zyxF在0z时的截面相等。如果我们能得到各个方向投影的一系列is，就可以整合出F。再利用傅里叶变换的反变换，就可以从频率域回到空间域重建出样品的三维图像zyxzyxiazyxdeFzyxfzyx)(),(),(以上是重建的基本理论。(3) 三维重建的步骤00570倾角范围内记录了18 张样品照片， 15 张电子衍射图。通常获得一个分辨率为的结构所需要的最少观察面数 N 由下式给出：/DN式中 D 为样品的线度。如前所述，在电子衍射图中，由于透过样品的电子束直接落在照相底片上，不受电镜分辨率的约束，因此根据规则的电子衍射把戏，可精确计算出结构因子的振幅，而从高分辨电子显微镜的密度分布可容易计算出相位。为了从照片中抽取出结构信息，需要进行傅里叶变换。实验中是将电镜照片通过光学衍射仪完成如下公式：dxdykyhxiyxIkhF)(2exp),(),(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页的傅里叶变换，产生明显的晶体衍射图，即从像平面返回到衍射平面，由此得到相应的像素点阵，再利用光密度扫描仪扫描，即得到密度的傅里叶变换。最终把电镜图像转化成数字信号。综合从电子衍生图得到的傅里叶项振幅和从电镜显微像得到的相位，再经傅里叶合成得到晶体的一个晶电子密度图。由电子光学线性成像原理可知，电子波经过薄晶样品以后，携带了样品沿电子束方向投影信息，衍射到达物镜的后焦面，这个过程在数学上等于进行了一次傅里叶变换，也就是说在TEM 物镜后焦面上得到的电子衍射像就是前述的),(yxS，只要改变样品的倾角就可以得到一系列的), 2, 1(, iSi。根据中央界面定理就可以得到),(zyxF，再通过傅里叶的反变换则得到f(x,y,z)。例 8 在振动光谱中的应用一般说来，蛋白质含有多种不同的二级结构，而特征振动频率则反映了多肽或蛋白质的特定二级结构，下面介绍从谐振子模型来说明双原子分子的振动光谱：假设设21, mm分别为相连的两个原子1 和 2 的质量， x 为在时间 t 离开中心的位移，则有：恢复力：22dtxdmmaFkxF化简上两式，可得到022kxdtxdm12K 为键力常数，它是键强度的度量。解12 ，得到：)2cos(vtAx，对 x 两次微分得到22dtxd代入(12)是得：振动频率mkv21其中 m 用代入，2121mmmm为折合质量。则有kv21以波数表示为：kcv21即分子的伸展振动频率取决于两个因素：键力常数k 和折合质量。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
