【创新设计】2011届高三数学一轮复习 第5知识块第3讲等比数列课件 北师大版.ppt

第第3 3讲讲 等比数列等比数列1. 理解等比数列的概念理解等比数列的概念2掌握等比数列的通项公式与前掌握等比数列的通项公式与前n项和公式项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应 的问题的问题4了解等比数列与指数函数的关系了解等比数列与指数函数的关系.【考纲下载考纲下载】1等比数列的有关概念等比数列的有关概念 (1)等比数列的定义：如果一个数列从第等比数列的定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比项起，每一项与它的前一项的比等于等于 ， 这个数列就叫做等比数列，其中常数叫做等比数列的这个数列就叫做等比数列，其中常数叫做等比数列的 ， 记作记作q. (2)通项公式：等比数列通项公式：等比数列an的首项为的首项为a1，公比为，公比为q，则称，则称an 为为数列数列 an的通项公式的通项公式 (3)等比中项：如果等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么成等比数列，那么 叫做叫做a与与b的等比中项，且的等比中项，且 ab.2同一个常数同一个常数 a1qn1G公比公比G2提示：提示：等比数列的定义与等差数列的定义从字面上看相似，就是等比数列的定义与等差数列的定义从字面上看相似，就是“比比”与与“差差”的区别，但等比数列隐含着数列的各项不为零，公比不为零，项与公的区别，但等比数列隐含着数列的各项不为零，公比不为零，项与公式的正负号有着密切的关系等等式的正负号有着密切的关系等等【思考思考】 推导等比数列的前推导等比数列的前n项和公式的方法是什么？你掌握了吗？不项和公式的方法是什么？你掌握了吗？不 妨看一下课本妨看一下课本 答案：答案：错位相减法错位相减法3等比数列的重要性质等比数列的重要性质 (1)若若mnpq，则，则amanapaq(m，n，p，qN*) (2)ana1qn1可推广为可推广为anamqnm. (3)设等比数列设等比数列an的首项为的首项为a1，公比为，公比为q. 当当q1，a10或或0q1，a11，a10或或0q0时，数列时，数列an为递减数列；为递减数列； 当当q1时，数列时，数列an是是(非零非零)常数列；常数列； 当当q2pq，又，又a1、b1不为零，不为零， 因此因此c c1c3，故，故cn不是等比数列不是等比数列.巧用性质，可以减少计算量，同时需要有敏锐的观察能力和应对能力巧用性质，可以减少计算量，同时需要有敏锐的观察能力和应对能力 【例例3】 等比数列等比数列an的前的前n项和等于项和等于2，紧接在后面的，紧接在后面的2n项和等于项和等于12，再紧接其后的，再紧接其后的3n项和为项和为S，求出，求出S.思维点拨：思维点拨：利用等比数列的性质求解或利用整体代换，通过利用等比数列的性质求解或利用整体代换，通过求求 qn和和 来解决问题来解决问题解：解法一：解：解法一：设依次设依次n项之和分别为项之和分别为：A1，A2，A3则有则有A12，A2A312，A4A5A6S，而数列而数列An为等比数列，公比为为等比数列，公比为qn，A2A32qn2q2n，2qn2q2n12，q2nqn60，qn2或或qn3.当当qn2时时，SA4A5A6223224225112；当当qn3时时，SA4A5A62(3)32(3)42(3)5378.所以所以S的值为的值为112或或378.解法二：解法二：由题意得由题意得q1，且且qn(qn1)6，qn2或或qn3.S223(123)112或或S (3)31(3)3378.拓展拓展3：将本例中条件改为前将本例中条件改为前n项和为项和为2，前，前2n项为项为12，求前，求前3n项和项和解：解：由等比数列的性质可知，由等比数列的性质可知，Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列仍成等比数列(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，即即1022(S3n12)，S3n62.由于数列和函数之间有着密切的联系，所以在解决许多数列问题时，应善于运由于数列和函数之间有着密切的联系，所以在解决许多数列问题时，应善于运用函数与方程的思想方法解决问题用函数与方程的思想方法解决问题【例例4】 设数列设数列an，a1 若以若以a1，a2，an为系数的二次方程为系数的二次方程an1x2anx 10(nN*且且n2)都有根都有根、满足满足331. (1)求证：求证： 为等比数列；为等比数列； (2)求求an； (3)求求an的前的前n项和项和Sn.证明：证明：(1)将将 代入代入331，得得an 为定值为定值数列数列 是等比数列是等比数列(2)解：解：a1 an【方法规律方法规律】等比数列的定义，通项公式，前等比数列的定义，通项公式，前n项和公式是解决等比数列中的有关计算、讨项和公式是解决等比数列中的有关计算、讨论等比数列的有关性质的问题的基础和出发点论等比数列的有关性质的问题的基础和出发点1确定等比数列的关键是确定首项确定等比数列的关键是确定首项a1和公比和公比q.2在等比数列通项公式和前在等比数列通项公式和前n项和公式中共涉及五个量项和公式中共涉及五个量an，a1，n，q，Sn， 可可“知三求二知三求二”3等比数列求和公式的推导的思想可用于等比数列与等差数列对应项之积等比数列求和公式的推导的思想可用于等比数列与等差数列对应项之积 构成的数列求和问题，即利用错位相消的方法去求数列的前构成的数列求和问题，即利用错位相消的方法去求数列的前n项和项和4在利用等比数列前在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比项和公式时，一定要对公比q1或或q1作出判断；作出判断； 计算过程中要注意整体代入的思想方法计算过程中要注意整体代入的思想方法5等差数列与等比数列的关系是：等差数列与等比数列的关系是： (1)若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列； (2)若若an是等比数列，且是等比数列，且an0，则，则lg an构成等差数列构成等差数列【高考真题高考真题】(2009山东卷山东卷)等比数列等比数列an的前的前n项和为项和为Sn，已知对任意的，已知对任意的nN*，点，点 (n，Sn)均在函数均在函数ybxr(b0且且b1，b，r均为常数均为常数)的图象上的图象上(1)求求r的值；的值；(2)当当b2时，记时，记bn (nN*)，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Tn.【规范解答规范解答】解：解：(1)由题意由题意，Snbnr，当当n2时时，Sn1bn1r，所以所以anSnSn1bn1(b1)，由于由于b0且且b1，所以当所以当n2时时，an是以是以b为公比的等比数列，为公比的等比数列，又又a1br，a2b(b1)，(2)由由(1)知，知，nN*，an(b1)bn1，当当b2时，时，an2n1，所以，所以bn两式相减得两式相减得故故Tn (nN*)【探究与研究探究与研究】创新是高考命题的要求，创新是高考命题的要求，考试大纲考试大纲提出命题要提出命题要“创设比较新颖的问题情创设比较新颖的问题情境境”，同时，同时，“在知识的交汇点处设计命题在知识的交汇点处设计命题”是近年来高考命题的一种趋势，是近年来高考命题的一种趋势，本题将数列的递推关系式以点在函数图象上的方式给出，体现了这种命题理念，本题将数列的递推关系式以点在函数图象上的方式给出，体现了这种命题理念，也渗透了数列是定义在正整数集上的函数观念第也渗透了数列是定义在正整数集上的函数观念第(2)问中对问中对b的赋值，旨的赋值，旨在使问题变得简捷，也使设置的数列求和问题降低难度，达到在使问题变得简捷，也使设置的数列求和问题降低难度，达到“不求在细节不求在细节上人为地设置障碍，而是在大方向上考查考生的数学能力上人为地设置障碍，而是在大方向上考查考生的数学能力”的命题指导思想的命题指导思想本题在设置等比数列的递推关系式时，以点本题在设置等比数列的递推关系式时，以点(n，Sn)在函数在函数ybxr的图象上的的图象上的方式给出，这种命题方式与方式给出，这种命题方式与2008年福建一道文科题有相似之处：年福建一道文科题有相似之处：“已知已知an是是正数组成的数列，正数组成的数列，a11，且点，且点( an1)(nN*)在函数在函数yx21的图象的图象上上(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)若数列若数列bn满足满足b11，bn1bn2an，求证：，求证：bnbn2 本题中增加了对参数本题中增加了对参数r的求解，因此，如何正确求出的求解，因此，如何正确求出r的值，的值，成为本题的解题思考点，这恰好需要对递推关系式成为本题的解题思考点，这恰好需要对递推关系式an的正确理解的正确理解(理解题目的条件：数列理解题目的条件：数列an是等比数列，则是等比数列，则a1S1满足数列递满足数列递推式推式)第第(2)问求数列问求数列bn的前的前n项和项和Tn，所用的方法是错位相减法，也是，所用的方法是错位相减法，也是课本中推导等比数列前课本中推导等比数列前n项和公式时所用的方法高考复习历来提倡回归项和公式时所用的方法高考复习历来提倡回归课本，理解教材，例题的求解方法、公式的推导方法，都需要我们在回课本，理解教材，例题的求解方法、公式的推导方法，都需要我们在回归课本中积累知识，提炼方法，形成能力归课本中积累知识，提炼方法，形成能力在解答本题容易出错的地方：一是忽视了由在解答本题容易出错的地方：一是忽视了由Sn求求an时的分段，没有办法求出时的分段，没有办法求出r的值；二是在用错位相减求和时忽视了对的值；二是在用错位相减求和时忽视了对“开头的项开头的项”和和“结尾的项结尾的项”的的仔细处理，计算漏项或添项在解决这类数列问题时一定要有分类的思想，仔细处理，计算漏项或添项在解决这类数列问题时一定要有分类的思想，在进行计算时要注意做到不漏项也不添加项在进行计算时要注意做到不漏项也不添加项【技巧点拨技巧点拨】已知已知Sn求求an时是分段的，第一段是针对时是分段的，第一段是针对n1的情况，第二段对的情况，第二段对n2都成都成立，这样当立，这样当n2时数列的通项就具备了一个规律，它可能是等差数列，时数列的通项就具备了一个规律，它可能是等差数列，也可能是等比数列，要想使整个数列都具备这个规律，只要使也可能是等比数列，要想使整个数列都具备这个规律，只要使a2，a1之之间再具备这个规律即可间再具备这个规律即可.点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册