2022年2022年空间距离、空间角专题训练 .pdf

空间距离、空间角专题1.空间距离求解方法有2.线面角求解方法有3.二面角求解方法有一解答题（共30 小题）2如图，在空间中的直角三角形ABC 与直角梯形EFGD 中，平面 ABC 平面 DEFG，AD 平面 DEFG，AB DE，AC DG且AB=AD=DE=DG=2，AC=EF=1 （ ）求证：四点B、C、F、G 共面；（ ）求平面 ADGC 与平面 BCGF 所组成的二面角余弦值 （面 ADGC 有垂面，且面 BCGF 内有点在面 ADGC 的垂面内）5如图，四棱锥PABCD 的底面是 AB=2 ，BC=的矩形， PAB 是等边三角形，侧面PAB 底面 ABCD （ ）证明： BC 面 PAB （ ）求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角（即求点到面 ABCD 的与 PC 之为 PC 与底面 ABCD 所成的角）7 （2011?辽宁）如图，四边形ABCD 为正方形， PD 平面 ABCD ，PD QA ，QA=AB=PD（I）证明：平面PQC 平面 DCQ （II ）求二面角QBPC 的余弦值（面 BPC 有垂面，且面 QBP 内有交线在面 BPC 的垂面内）8 （2013?辽宁）如图， AB 是圆的直径， PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点（I）求证：平面PAC 平面 PBC； （II）若 AB=2 ，AC=1，PA=1，求证：二面角CPBA 的余弦值（面 PBA有垂面，且面 CPB 内有交线在面 PBA 的垂面内）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 42 页 - - - - - - - - - 9如图，直棱柱ABCA1B1C1中， D，E 分别是 AB ，BB1的中点， AA1=AC=CB=AB（ ）证明： BC1 平面 A1CD （ ）求二面角DA1CE 的正弦值（面 DA1C 有垂面，且面 A1CE 内有交线在面 DA1C的垂面内）10 （2013?肇庆一模）如图，PA 垂直 O 所在平面 ABC ，AB 为 O 的直径， PA=AB ，BF=，C 是弧 AB 的中点（1）证明： BC 平面 PAC；（2）证明： CF BP；（3）求二面角FOCB 的平面角的正弦值11 （2013?枣庄二模）一多面体的三视图和直观图如图所示，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）（1）求证： AE 平面 DCF；（2）当时，求二面角AEFB 的余弦值12（2013?温州一模）如图， 已知平面 QBC 与直线 PA 均垂直于 Rt ABC 所在平面，且 PA=AB=AC （ ）求证： PA 平面 QBC； （ ）PQ 平面 QBC，求二面角QPBA 的余弦值（面 PBA 有垂面，且延展面QPB 内有交线在面 PBA 的垂面内）13 （2013?青岛二模）如图，在长方形ABCD 中， AB=2，BC=1 ，E 为 CD 的中点， F 为 AE 的中点 现在沿 AE 将三角形 ADE 向上折起，在折起的图形中解答下列两问：（ ）在线段 AB 上是否存在一点K，使 BC 面 DFK ？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；（ ）若面 ADE 面 ABCE ，求二面角EAD B 的余弦值14 （2013?通州区一模）如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，CC1 底面 ABC，AC=BC=2 ，AB=2，CC1=4，M 是棱 CC1上一点（ ）求证： BC AM；（ ）若 N 是 AB 上一点，且=，求证： CN 平面 AB1M；（ ）若 CM=，求二面角AMB1C 的大小名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 42 页 - - - - - - - - - 15 （2013?嘉兴二模）如图，在 ABC 中， C=90 ，AC=BC=a ，点 P 在 AB上， PE BC 交 AC 于 E，PF AC 交 BC 于 F沿 PE 将 APE 翻折成 A PE，使平面 A PE 平面 ABC； 沿 PF将 BPF 翻折成 B PF， 使平面 B PF 平面 ABC （ ）求证： B C 平面 A PE（ ）设，当 为何值时，二面角CA B P 的大小为 60 ？16 （2013?广州三模）一个三棱锥SABC 的三视图、直观图如图（1）求三棱锥SABC 的体积；（2）求点 C 到平面 SAB 的距离；（3）求二面角SABC 的余弦值17 （2013?广元一模） 如图所示， AF、DE 分别是O 和 O1的直径， AD 与两圆所在平面都垂直，AD=8 ，BC 是 O 的直径， AB=AC=6 ，OE AD 求二面角BADF 的大小； 求异面直线BD 与 EF 所成的角的正弦值18 （2013?广东模拟）在 ABC 中， ACB=90 ， BAC=30 ，AB=4 ，D、E 分别为 AB 、 AC 上的点， AB DE，沿 DE 将 ADE 折起，使得平面 ADE 平面 BDEC ，设 AD=x （1）试将四棱锥ABCED 的体积 u（x）用 x 表示出来（2）当 x 为何值时， u（x）取最大值（3）当 u（x）取最大值时，求二面角ACEB 的某一个三角函数值20 （2012?天门模拟）如图，在四棱柱ABCD PGFE 中，侧棱垂直于底面，底面ABCD 是直角梯形， AB DC， ABC=45 ，DC=1，AB=2 ，PA=1（ ）求 PD 与 BC 所成角的大小；（ ）求证： BC 平面 PAC；（ ）求二面角APCD 的大小22 （2012?浦东新区一模）如图，直三棱柱ABC A1B1C1中， AB=AC=AA1=2， ABC=45 （1）求点 A 到平面A1BC 的距离；（2）求二面角AA1CB 的大小名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 42 页 - - - - - - - - - 23 （2012?临沂一模） 在如图所示的几何体中，四边形 ABDE 为梯形，AE BD，AE 平面 ABC ，AC BC，AC=BC=BD=2AE ，M 为 AB 的中点；（1）求证： CM DE；（2）求锐二面角DECM 的余弦值24 （2012?江西模拟）如图，四棱锥PABCD 中，侧面 PDC 是边长为 2 的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是 ADC=60 的菱形， M 为 PB 的中点（1）求证： PA 平面 CDM ；（2）求二面角DMCB 的余弦值27 （2013?湖南）如图，在直棱柱ABCD A1B1C1D1中， AD BC， BAD=90 ，AC BD，BC=1，AD=AA1=3（I）证明： AC B1D；（II ）求直线 B1C1与平面 ACD1所成的角的正弦值28 （2004?陕西）三棱锥PABC 中，侧面 PAC 与底面 ABC 垂直， PA=PB=PC=3（1）求证 AB BC；（2）如果 AB=BC=2，求 AC 与侧面 PBC 所成角的大小29 （2004?山东）如图，已知四棱锥PABCD ，PB AD 侧面 PAD 为边长等于2 的正三角形，底面 ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为120 （I）求点 P 到平面 ABCD 的距离，（II ）求面 APB 与面 CPB 所成二面角的大小30 （2010?新疆模拟）多面体EFABCD 中， ABCD 为正方形， BE 平面 ABCD ，CF 平面 ABCD ，AB= CF=2BE（ ）求证： DE AC；（ ）求平面 EFD 与平面 ABCD 所成的锐二面角名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 42 页 - - - - - - - - - 空间距离、空间角专题参考答案与试题解析一解答题（共30 小题）1如图，在三棱锥SABC 中， OA=OB ，O 为 BC 中点， SO 平面 ABC ，E 为 SC 中点， F 为 AB 中点（1）求证： OE 平面 SAB；（2）求证：平面SOF 平面 SAB考点 ： 平面与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定专题 ： 证明题分析：（1）由 O 为 BC 中点， E为 SC 中点，可以得出OE SB，下用线面平行的判断定理证OE 平面 SAB ；（ 2）用面面垂直的判定定理证明平面SOF 平面 SAB先证 AB 平面 SOF再由面面垂直的判定定理证明结论解答：证明：（1）取 AC 的中点 G，连接 OG， EG， OG AB ，EG AS，EG OG=G，SA AB=A ， 平面 EGO 平面 SAB，OE? 平面 OEG OE 平面 SAB（ 2） SO 平面 ABC ， SO OB，SO OA，又 OA=OB ，SA2=SO2+OA2， SB2=SO2+OB2， SA=SB ，又 F 为 AB 中点， SF AB，又 SO AB ，SF SO=S， AB 平面 SOF， AB? 平面 SAB， 平面 SOF 平面 SAB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 42 页 - - - - - - - - - 点评：本题考查线面平行的判定定理与面面垂直的判定定理，主要训练答题都对两个定理掌握的程度及运用的格式2如图，在空间中的直角三角形ABC 与直角梯形EFGD 中，平面ABC 平面 DEFG，AD 平面 DEFG，AB DE，AC DG且 AB=AD=DE=DG=2，AC=EF=1 （ ）求证：四点B、C、F、G 共面；（ ）求平面 ADGC 与平面 BCGF 所组成的二面角余弦值考点 ： 平面与平面垂直的性质；直线与平面垂直的性质；与二面角有关的立体几何综合题专题 ： 证明题；综合题分析：（1）设 DG 的中点为 M，连接 AM 、FM，根据条件可证明BF AM ，BF=AM ，AM CG， AM=CG 从而得到 GC BF，且 GC=BF ，根据平行线可确定一平面可得四点B、C、F、G 共面；（ 2）在平面 ADGC 中，过 M 作 MN GC，垂足为 N，连接 NF，根据二面角的平面角的定义可知MNF 是所求二面角的平面角，在直角三角形MNF 中，先求出此角的正切值，然后再求出余弦值解答：解（ 1）设 DG 的中点为 M，连接 AM 、FM，则由已知条件易证四边形DEFM 是平行四边形，所以MF DE，且 MF=DE 又 AB DE，且 AB=DE MF AB ，且 MF=AB 四边形 ABMF 是平行四边形，即BF AM ，且 BF=AM 又 M 为 DG 的中点， DG=2 ，AC=1 ，面 ABC 面 DEFG AC MG ，且 AC=MG ，即四边形ACGM 是平行四边形 GC AM ，且 GC=AM 故 GC BF，且 GC=BF ，即四点 B、C、F、G 共面；（ 2） 四边形 EFGD 是直角梯形， AD 面 DEFG DE DG，DE AD ，即 DE 面 ADGC ， MF DE，且 MF=DE ， MF 面 ADGC 在平面 ADGC 中，过 M 作 MN GC，垂足为 N，连接 NF，则显然MNF 是所求二面角的平面角 在四边形 ADGC 中， AD AC ，AD DG，AC=DM=MG=1 CD=CG=， cos DGC= sin DGC=， MN=MG ?sin DGC=在直角三角形MNF 中， MF=2 ，MN tan MNF=，cos MNF=故面 ADGC 与面 BCGF 所组成的二面角余弦值为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 42 页 - - - - - - - - - 点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力3如图， V 是平面 ABC 外一点， VB 平面 ABC ，平面 VAB 平面 VAC，求证： ABC 是直角三角形考点 ： 平面与平面垂直的性质；三角形的形状判断专题 ： 计算题分析：作 BD AV 于 D，由平面 VAB 平面 VAC，知 BD 平面 VAC ，BD AC ，同理 VB AC所以 AC 平面 VAB ，由此能够证明 ABC 是直角三角形解答：解：作 BD AV 于 D， 平面 VAB 平面 VAC， BD 平面 VAC ， BD AC ，同理 VB AC ， AC 平面 VAB ， AC AB ， ABC 是直角三角形点评：本题考查平面与平面垂直的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化4如图 1，在直角梯形ABCD 中， ADC=90 ， CD AB，AB=2 ，AD=CD=1 将 ADC 沿 AC 折起，使平面ADC 平面 ABC ，得到几何体DABC ，如图 2所示求几何体DABC 的体积考点 ： 平面与平面垂直的性质专题 ： 空间位置关系与距离分析：取 AC 中点 O，连接 DO，则 OD 平面 ABC ，再利用三棱锥体积公式，即可求得结论解答：解：取 AC 中点 O，连接 DO，则 DO AC， 面 ADC 面 ABC ，面 ADC 面 ABC=AC ，DO? 面 ACD ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 42 页 - - - - - - - - - OD 平面 ABC ， （3 分） OD 为三棱锥 DABC 的高， （4 分）在图 1 中，可得，从而 AC2+BC2=AB2，故 AC BC，S ABC=1（6 分） （8 分）点评：本题考查三棱锥体积的计算，考查学生的计算能力，正确求三棱锥的高是关键5如图，四棱锥PABCD 的底面是 AB=2 ，BC=的矩形， PAB 是等边三角形，侧面PAB 底面 ABCD （ ）证明： BC 面 PAB （ ）求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角考点 ： 平面与平面垂直的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角专题 ： 空间位置关系与距离分析：（ ）根据平面与平面垂直的性质定理，结合已知可证得BC 侧面 PAB；（ ）在侧面 PAB 内，过点 P 做 PE AB 垂足为 E，连接 EC，根据线面所成角的定义可知PCE 为侧棱 PC与底面 ABCD 所成的角，在Rt PEC 中，求出此角即可解答：证明：（ ） 侧面 PAB 垂直于底面ABCD ，且侧面 PAB 与底面 ABCD 的交线是 AB，在矩形 ABCD 中， BC AB ， BC 侧面 PAB （ 5 分）解： （ ）在侧面PAB 内，过点 P 做 PE AB 垂足为 E，连接 EC， 侧面 PAB 与底面 ABCD 的交线是 AB ，PE AB PE 底面 ABCD 于是 EC 为 PC 在底面 ABCD 内的射影，（8 分） PCE 为侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角，（10 分）在 PAB 和 BEC 中，易求得PE=，在 Rt PEC 中， PCE=45 （12 分）故所求线面角为45点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及平面与平面垂直的判定和直线与平面所成的角，属于基础题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 42 页 - - - - - - - - - 6 （2013?牡丹江一模）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，其中PA=PD=AD=2 ， BAD=60 ，Q为 AD 的中点（1）求证： AD 平面 PQB；（2）若平面 PAD 平面 ABCD ，且，求四棱锥MABCD 的体积考点 ： 平面与平面垂直的性质；直线与平面垂直的判定专题 ： 计算题；空间位置关系与距离分析：（1）连接 BD，等边三角形PAD 中，中线 PQ AD ；因为菱形ABCD 中 BAD=60 ，所以 AD BQ，最后由线面垂直的判定定理即可证出AD 平面 PQB；（ 2）连接 QC，作 MH QC 于 H因为平面PAD 平面 ABCD ，PQ AD ，结合面面垂直性质定理证出PQ平面 ABCD 而平面 PQC 中， PQ MH ，可得 MH 平面 ABCD ，即 MH 就是四棱锥MABCD 的高线最后利用锥体体积公式结合题中数据即可算出四棱锥MABCD 的体积解答：解： （1）连接 BD PA=PD=AD=2 ，Q 为 AD 的中点， PQ AD 又 BAD=60 ，底面 ABCD 为菱形， ABD 是等边三角形， Q 为 AD 的中点，AD BQ PQ、BQ 是平面 PQB 内的相交直线， AD 平面 PQB（ 2）连接 QC，作 MH QC 于 H 平面 PAD 平面 ABCD ，平面 PAD 平面 ABCD=AD ，PQ AD PQ 平面 ABCD ，结合 QC? 平面 ABCD ，可得 PQ QC 平面 PQC 中，MH QC 且 PQ QC， PQ MH ，可得 MH 平面 ABCD ，即 MH 就是四棱锥MABCD 的高线，可得， 四棱锥 MABCD 的体积为 VMABCD=点评：本题给出特殊四棱锥，求证线面垂直并求锥体体积，着重考查了直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质和体积公式等知识，属于中档题7 （2011?辽宁）如图，四边形ABCD 为正方形， PD 平面 ABCD ，PD QA ，QA=AB=PD（I）证明：平面PQC 平面 DCQ （II）求二面角QBPC 的余弦值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 42 页 - - - - - - - - - 考点 ： 与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；向量语言表述面面的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角专题 ： 计算题；证明题分析：首先根据题意以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz；（ ） 根据坐标系， 求出则、的坐标，由向量积的运算易得?=0，?=0； 进而可得 PQ DQ，PQ DC，由面面垂直的判定方法，可得证明；（ ）依题意结合坐标系，可得B、的坐标，进而求出平面的PBC 的法向量与平面 PBQ 法向量，进而求出cos，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案解答：解：如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz；（ ）依题意有Q（1，1，0） ，C（0， 0，1） ， P（0，2，0） ；则=（1， 1，0） ，=（0， 0，1） ，=（1， 1，0） ，所以?=0，?=0；即 PQ DQ，PQ DC，故 PQ 平面 DCQ，又 PQ? 平面 PQC，所以平面PQC 平面 DCQ；（ ）依题意，有B（1，0， 1） ，=（1，0，0） ，=（ 1， 2， 1） ；设=（x，y，z）是平面的PBC 法向量，则即，因此可取=（ 0， 1， 2） ；设是平面 PBQ 的法向量，则，可取=（1，1，1） ，所以 cos， =，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 42 页 - - - - - - - - - 故二面角角QBPC 的余弦值为点评：本题用向量法解决立体几何的常见问题，面面垂直的判定与二面角的求法；注意建立坐标系要容易求出点的坐标，顶点一般选在有两两垂直的三条直线的交点处，这样才有助于下一步的计算8 （2013?辽宁）如图， AB 是圆的直径， PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点（I）求证：平面PAC 平面 PBC；（II）若 AB=2 ，AC=1 ，PA=1，求证：二面角C PBA 的余弦值考点 ： 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定专题 ： 空间位置关系与距离；空间角分析：（ ）要证平面 PAC 平面 PBC，只要证明平面PBC 经过平面PAC 的一条垂线BC 即可，利用题目给出的条件借助于线面垂直的判定定理能够证明BC 平面 PAC；（ ）因为平面PAB 和平面 ABC 垂直，只要在平面ABC 内过 C 作两面的郊县AB 的垂线，然后过垂足再作 PB 的垂线，连结C 和后一个垂足即可得到二面角CPBA 的平面角，然后在作出的直角三角形中通过解直角三角形即可求得二面角CPBA 的余弦值解答：（ ）证明：如图，由 AB 是圆的直径，得AC BC由 PA 平面 ABC ，BC? 平面 ABC ，得 PA BC又 PA AC=A ，PA? 平面 ABC ，AC ? 平面 PAC，所以 BC 平面 PAC因为 BC? 平面 PBC，所以平面 PAC 平面 PBC；（ ）解：过C 作 CM AB 于 M，因为 PA 平面 ABC ，CM ? 平面 ABC ，所以 PA CM ，故 CM 平面 PAB过 M 作 MN PB 于 N，链接 NC由三垂线定理得CN PB所以CNM 为二面角 CPB A 的平面角在 Rt ABC 中，由 AB=2 ，AC=1 ，得，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 42 页 - - - - - - - - - 在 Rt ABP 中，由 AB=2 ，AP=1，得因为 Rt BNM Rt BAP，所以故 MN=又在 Rt CNM 中，故 cos所以二面角CPBA 的余弦值为点评：本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，“ 寻找垂面， 构造垂线 ” 是找二面角的平面角常用的方法，此题是中档题9如图，直棱柱ABC A1B1C1中， D，E 分别是 AB，BB1的中点， AA1=AC=CB=AB （ ）证明： BC1 平面 A1CD （ ）求二面角DA1CE 的正弦值考点 ： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定专题 ： 计算题；证明题；空间角分析：（ ）通过证明BC1平行平面 A1CD 内的直线 DF，利用直线与平面平行的判定定理证明BC1 平面 A1CD （ ）证明 DE 平面 A1DC，作出二面角D A1CE 的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可解答：解： （ ）证明：连结AC1交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1的中点，又 D 是 AB 中点，连结DF，则 BC1 DF，因为 DF? 平面 A1CD，BC1? 平面 A1CD，所以 BC1 平面 A1CD（ ）因为直棱柱ABC A1B1C1，所以 AA1 CD，由已知 AC=CB ，D 为 AB 的中点，所以CD AB，又 AA1 AB=A ，于是， CD 平面 ABB1A1，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 42 页 - - - - - - - - - 设 AB=2，则 AA1=AC=CB=2 ，得ACB=90 ，CD=，A1D=，DE=，A1E=3 故 A1D2+DE2=A1E2，即 DE A1D，所以 DE 平面 A1DC，又 A1C=2，过 D 作 DF A1C 于 F， DFE 为二面角 DA1CE 的平面角，在 A1DC 中， DF=，EF=，所以二面角DA1C E 的正弦值 sin DFE=点评：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力与计算能力10 （2013?肇庆一模）如图， PA 垂直 O 所在平面 ABC ，AB 为 O 的直径， PA=AB ，BF=，C 是弧 AB 的中点（1）证明： BC 平面 PAC；（2）证明： CF BP；（3）求二面角FOC B 的平面角的正弦值考点 ： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质专题 ： 空间位置关系与距离；空间角分析：（1）利用线面垂直的性质及已知PA 平面 ABC ，可得 BC PA再利用ACB 是直径所对的圆周角，可得BC AC 再利用线面垂直的判定定理即可证明结论；（ 2）由于 PA 平面 ABC ，利用线面垂直的性质即可得到OC PA再利用等腰三角形的性质可得OC AB ，得到 OC 平面 PAB，取 BP 的中点为 E，连接 AE，可得 OF AE，AE BP，进而得到BP 平面 CFO 即可（ 3）利用（ 2）知 OC 平面 PAB，可得 OF OC，OC OB，于是BOF 是二面角FOC B 的平面角由已知可得FOB=45 即可得出解答：（1）证明：PA 平面 ABC ，BC? 平面 ABC ， BC PA ACB 是直径所对的圆周角，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 42 页 - - - - - - - - - ACB=90 ，即 BC AC又 PA AC=A ， BC 平面 PAC（ 2） PA 平面 ABC ，OC? 平面 ABC ， OC PA C 是弧 AB 的中点， ABC 是等腰三角形，AC=BC ，又 O 是 AB 的中点，OC AB又 PA AB=A ， OC 平面 PAB，又 PB? 平面 PAB， BP OC设 BP 的中点为 E，连接 AE，则 OF AE，AE BP， BP OF OC OF=O， BP 平面 CFO又 CF? 平面 CFO， CF BP（ 3）解：由（ 2）知 OC 平面 PAB， OF OC，OC OB， BOF 是二面角 FOCB 的平面角又 BP OF， FBO=45 ， FOB=45 ，即二面角FOOCB 的平面角的正弦值为点评：本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、圆的性质、三角形的中位线定理、等腰三角形的性质、二面角等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力11 （2013?枣庄二模）一多面体的三视图和直观图如图所示，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）（1）求证： AE 平面 DCF；（2）当时，求二面角AEFB 的余弦值考点 ： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定专题 ： 计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角分析：（1）过点 E 作 EG CF 于 G，连结 DG根据四边形BCEG、四边形ABCD 是矩形，证出四边形ADEG 是平行四边形，从而AE DG 结合线面平行的判定定理，证出AE 平面 DCF；（ 2）过点 B 作 BH EF 交 FE 的延长线于点H，连结 AH 根据线面垂直的判定与性质，证出 HF 平面 ABH ，可得AHB 就是二面角AEFB 的平面角， Rt EFG 中根据 EG=且 EF=2，得出GFE=60 且 FG=1，从而在 Rt CEF 中算出 CF=4， 进而得到 BE=CG=3 最后在 Rt BEH 中， 算出 BH=， 在 Rt ABH中， AHB 的正切值， 由同角三角函数的关系算出AHB 的余弦之值， 即可得到二面角AEFB 的余弦值等于解答：解： （1）过点 E 作 EG CF 于 G，连结 DG 由题设条件可得四边形BCEG 为矩形， 四边形 ABCD 是矩形，AD EG 且 AD=EG 由此可得四边形ADEG 是平行四边形，得AE DG 又 AE? 平面 DCF，DG? 平面 DCF AE 平面 DCF；（ 2）过点 B 作 BH EF 交 FE 的延长线于点H，连结 AH 由三视图可知AB 平面 BCEF，结合 HF? 平面 BCEF，得 AB HF 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 42 页 - - - - - - - - - HF BH ，且 AB 、BH 是平面 ABH 内的相交直线 HF 平面 ABH ，可得 AH HF 因此，AHB 就是二面角AEF B 的平面角 Rt EFG 中， EG=BC=， EF=2， GFE=60 且 FG=1 又 CEF=90 ， CF=4 由此可得 BE=CG=3 Rt BEH 中，由 sin BEH=得 BH=BEsin60 =Rt ABH 中，tan AHB=2，可得 cos AHB=因此，二面角A EFB 的余弦值等于点评：本题给出三视图，求证线面平行并求二面角的余弦之值着重考查了直线与平面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质和二面角的大小求法等知识，属于中档题12 （2013?温州一模）如图，已知平面QBC 与直线 PA 均垂直于 Rt ABC 所在平面，且PA=AB=AC （ ）求证： PA 平面 QBC ；（ ）PQ 平面 QBC，求二面角QPBA 的余弦值考点 ： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定专题 ： 空间角名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 42 页 - - - - - - - - - 分析：（ ）利用线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理即可证明；（ ）方法一：利用三角形的中位线定理及二面角的平面角的定义即可求出方法二：通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量所成的夹角来求两平面的二面角的平面角解答：解： （I）证明：过点Q 作 QD BC 于点 D， 平面 QBC 平面 ABC ， QD 平面 ABC ，又 PA 平面 ABC ， QD PA，又 QD? 平面 QBC，PA? 平面 QBC， PA 平面 QBC（ ）方法一： PQ 平面 QBC， PQB= PQC=90 ，又 PB=PC，PQ=PQ， PQB PQC， BQ=CQ 点 D 是 BC 的中点，连接AD ，则 AD BC， AD 平面 QBC， PQ AD ，AD QD， 四边形 PADQ 是矩形设 PA=2a， PB=2a，过 Q 作 QR PB 于点 R，=，=，取 PB 中点 M，连接 AM ，取 PA 的中点 N，连接 RN， PR=， MA RN PA=AB ， AM PB， RN PB QRN 为二面角 QPBA 的平面角连接 QN，则 QN=又， cos QRN=即二面角 QPBA 的余弦值为（ ）方法二： PQ 平面 QBC， PQB= PQC=90 ，又 PB=PC，PQ=PQ， PQB PQC， BQ=CQ 点 D 是 BC 的中点，连AD ，则 AD BC AD 平面 QBC， PQ AD ，AD QD， 四边形 PADQ 是矩形分别以 AC 、AB、 AP 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz不妨设 PA=2，则 Q（1，1，2） ，B（0，2，0） ，P（0，0，2） ，设平面 QPB 的法向量为=（1，1，0） ，=（0，2， 2） 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 42 页 - - - - - - - - - 令 x=1，则 y=z= 1又 平面 PAB 的法向量为设二面角 QPBA 为 ，则 |cos |=又 二面角 QPBA 是钝角点评：熟练掌握线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理、二面角的定义及通过建立空间直角坐标系并利用平面的法向量所成的夹角来求二面角的平面角是解题的关键13 （2013?青岛二模）如图，在长方形ABCD 中， AB=2 ，BC=1 ，E 为 CD 的中点， F 为 AE 的中点现在沿AE将三角形 ADE 向上折起，在折起的图形中解答下列两问：（ ）在线段 AB 上是否存在一点K，使 BC 面 DFK ？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；（ ）若面 ADE 面 ABCE ，求二面角EAD B 的余弦值考点 ： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定专题 ： 空间位置关系与距离；空间角分析：（ ） 线段 AB 上存在一点K，且当时，BC 面 DFK 取 H 为 AB 的中点，连接 EH ， 可得 BC EH 利用三角形的中位线定理可证明FK EH，于是得到FK BC，再利用线面平行的判定定理即可证明；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 42 页 - - - - - - - - - （ II）通过建立如图所示的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量的夹角即可得出二面角解答：解： （ ）线段 AB 上存在一点K，且当时， BC 面 DFK证明如下：设 H 为 AB 的中点，连接EH，则 BC EH 又，F 为 AE 的中点 KF EH ， KF BC ， KF? 面 DFK ，BC? 面 DFK ， BC 面 DFK （ ） H 为 AB 的中点，AH=HE=BC=1 ， F 为 AE 的中点，FH AE DA=DE=1 ， DF AE， 面 ADE 面 ABCE ， DF 面 ABCE 由此可以FA，FH，FD 分别为 x， y，z 轴，建立坐标系如图 DF 面 ABCE ， DF FH，又 FH AE，DF AE=F ， FH 面 ADE ，则为面 ADE 的一个法向量 AB=2 ，BC=1 ，又可得：，设面 ADB 的法向量为由，即，令 x=1，则所以，故二面角 EAD B 的余弦值为点评：熟练掌握三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、通过建立如图所示的空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角得出二面角是解题的关键14 （2013?通州区一模）如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，CC1 底面 ABC ，AC=BC=2 ，AB=2，CC1=4，M 是棱 CC1上一点（ ）求证： BC AM ；（ ）若 N 是 AB 上一点，且=，求证： CN 平面 AB1M ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 42 页 - - - - - - - - - （ ）若 CM=，求二面角AMB1C 的大小考点 ： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质专题 ： 空间位置关系与距离；空间角分析：（ ）证明 BC AM ，可证 BC 面 ACM ，由 CC1 底面 ABC 得到 BC CM，在三角形ABC 中由勾股定理得到 AC BC，由线面垂直的判定定理得到BC 面 ACM ，则问题得证；（ ）过 N 作 NP BB1交 AB1于 P，连结 MP，由已知及三角形相似可证得四边形MCNP 是平行四边形，从而得到线