2022年平面向量的数量积的坐标表示模夹角 .pdf

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【学习目标】1. 在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）；2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性. 【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习 ：1.向量a与b的数量积a b= . 2.设a、b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与b的夹角，则aba b；a；cos. （二）自主探究： （预习教材P106P108）探究 ：平面向量数量积的坐标表示问题 1：已知两个非零向量1122,axybxy， 怎样用a与b的坐标表示a b呢？1. 平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量1122a= xy,b= xy,a b=（坐标形式）。这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于。问题 2：如何求向量,ax y的模a和两点11,A x y，22,B xy间的距离？2. 平面内两点间的距离公式（）设a=(x,y),则2a =_或a_。（）若11,A xy，22,B xy，则AB=_（平面内两点间的距离公式）。问题 3：如何求1122,axybxy的夹角和判断两个向量垂直？3两向量夹角的余弦：设是a与b的夹角，则cos_向量垂直的判定：设1122a= x ,y,b= x ,y,则ba_ 二、合作探究1、已知,4, 1,2,3,1 ,2CBA（1）试判断ABC的形状，并给出证明. （2）若 ABDC 是矩形，求D 点的坐标。2、已知1 ,3,3, 1ba，求a与b的夹角. 变式：已知a=(3,0),b=(k,5)ab且 与 的夹角为3,k=4则_.三、交流展示名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 1、若4,3a，5,6b，则234aa b= 2、已知3, 2a，4,bk，若5355abba，试求k的值. 3、已知，(1,2),(3,2)ab，当 k 为何值时，（1）3kabab与垂直？ （2）3kabab与平行吗？它们是同向还是反向？四、达标检测 （A组必做， B组选做）A组：1. 已知3,4a，5,2b，则a b等于（）A.23B.7C.23D.72. 若3,4a，5,12b，则a与b夹角的余弦为（）A.6365B.3365C.3365D.63653. 2,3a，2,4b，则abab= ，4.已知向量1,2OA，3,OBm，若OAAB，则m。5. 已知四点1,3A，1,1B，4,4C，3,5D求证：四边形ABCD是直角梯形 .B 组：1. 已知3, 4a，2,bx，2,cy，且/ab，ac，求：（1）b c；（2）b、c的夹角 . 2. 已知点1,2A和4, 1B， 问能否在y轴上找到一点C， 使90ACB， 若不能，说明理由；若能，求C点坐标 . 3. 已知a( 3，1)，b12，32. (1)求证：ab；(2)若存在不同时为 0的实数 k和 t， 使xa(t3) b， y katb， 且x y ，试求函数关系式 kf(t)；(3) 求函数 kf ( t ) 的最小值 2.5.1平面几何中的向量方法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 主编：江劲松班级姓名【学习目标】1. 掌握向量理论在平面几何中的初步运用；会用向量知识解决几何问题；2. 能通过向量运算研究几何问题中点，线段，夹角之间的关系. 【学习过程】一、自主学习 （预习教材P109P111）问题1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型. 如下图，ACABAD，DBABAD，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？结论：问题 2：平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？结论：问题 3：用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？；。二、合作探究1、在ABC中，若0CACBCACB，判断ABC的形状 .2、设ABCD是四边形，若ACBD，证明：2222ABCDBCDA三、交流展示名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 1、在梯形 ABCD 中，CD AB,E、F 分别是 AD 、BC的中点，且 EF 12（AB CD ）. 求证： EFAB CD.2、求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。四、达标检测 （A组必做， B组选做）A组：1. 在ABC中，若0CACBCACB，则ABC为（）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.无法确定2. 已知在ABC中，2, 1A，3,2B，3, 1C,AD为BC边上的高，则点D的坐标为（）A.1,1B.1,1C.1, 1D.1, 13. 已知1,2A，4,1B，0, 1C，则 ABC 的形状为. 4. 求通过点1,2A，且平行于向量3,2a的直线方程 . 5. 已知 ABC 是直角三角形， CA CB ，D是 CB的中点， E是 AB上的一点，且 AE 2EB . 求证： AD CE . B组：1. 已知直线 axbyc0 与圆 O ：x2y24 相交于 A、B 两点，且 | AB |2 3，则OA OB_. 2. (2010 江苏) 在平面直角坐标系xOy中，已知点 A( 1, 2)，B(2,3) ， C(2, 1) (1) 求以线段 AB 、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2) 设实数 t 满足( ABtOC) OC0，求 t 的值 2.5.2 向量在物理中的应用举例名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 主编：江劲松班级姓名【学习目标】掌握向量理论在相关物理问题中的初步运用，实现学科与学科之间的融合，会用向量知识解决一些物理问题. 【学习过程】一、自主学习 （预习教材P111P112）问题 1：向量与力有什么相同点和不同点？结论 ： 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一的. 用向量知识解决力的问题，往往是把向量到同一作用点上. 问题 2：向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？结论 ：速度、 加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成 . 问题 3：向量的数量积与功、动量有什么联系？结论 ： 物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积. 力的做功涉及到两个向量及这两个向量的夹角，即cos,WF SF S，功是一个实数，它可正，也可负. 在解决问题时要注意数形结合. 二、合作探究1、用两条成120角的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量10N，则每根绳子的拉力大小是多少？2、一条河宽为400m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20/km h.水速为12/km h，则船到达B处所需时间为多少分钟？3、已知两恒力13,4F、26, 5F作用于同一质点，使之由点20,15A移动到点7,0B，试求：12,F F分别对质点所做的功；12,F F的合力F对质点所做的功. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 三、交流展示1、 点 P在平面上作匀速直线运动， 速度 v(4， 3) ， 设开始时点 P的坐标为 (10,10) ，则 5 秒后点 P的坐标为 (速度单位： m/s，长度单位： m)( ) A( 2,4) B(30,25) C(10，5) D (5，10) 2、作用于原点的两个力12(1,1),(2,3)FF，为使它们平衡，需要加力3F=_3、已知一物体在共点力F1(lg2 ，lg2) ，F2(lg5 ，lg2) 的作用下产生位移S(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为( ) Alg2 Blg5 C1 D 2 四、达标检测 （A组必做， B组选做）A 组：1. 当两人提起重量为G的书包时，夹角为，用力为F，则三者的关系式为（）A.FsB.cosFsC.sinFsD.cosFs2. 人骑自行车的速度为1v，风速为2v，则逆风行使的速度大小为（）A.12vvB. 12vvC.12vvD.12vv3. 用两条成60的绳索拉船，每条索上的拉力为12N，则合力为. 4. 某人以时速akm向东行走，此时正刮着时速akm的南风，那么此人感到的风向为，风速为. B组：1. 一物体受到相互垂直的两个力f1、f2的作用，两力大小都为53N ，则两个力的合力的大小为 ( ) A10 3N B0N C56N D.5 62N2. 一条宽为3km的河，水流速度为 2km/h，在河两岸有两个码头A、B，已知 AB3km ，船在水中最大航速为4km/h，问该船从 A码头到 B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 第二章平面向量单元测试题主编：江劲松班级姓名一、选择 (5 分7=35分) ：1、下列命题正确的个数是（）0ABBA；00AB；ABACBC；00ABA、1 B、2 C、3 D、4 2、若向量(1,1)a,(1, 1)b,( 1,2)c, 则c等于（）A、1322ab B、1322ab C 、3122ab D 、3122ab3、已知(1,2)a,(2 ,3)bx且ab, 则x（）A、3 B、34 C 、0 D 、344、下列命题中：若0a b, 则0a或0b; 若不平行的两个非零向量a,b满足ab, 则() ()0abab; 若a与b平行, 则a bab；若ab,bc, 则ac; 其中真命题的个数是（）A、1 B、2 C、3 D、4 5、已知3a，2 3b，3a b，则a与b的夹角是（）A、150 B、120 C、60 D、306、若)()(),1,2(),4 , 3(babxaba且, 则实数 x= （）A、23 B、223 C、323 D、4237、在ABC 中, 若060,4,3BACACAB, 则ACBA（）A、6 B、4 C、-6 D、-4 二、填空（ 5 分4=20分） ：8、已知xaxa则,13), 5(9、已知( 2, 4),(2,6)MAMB，则12AB10、若 A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且 A、B、C三点共线 , 则 x11、已知向量(6,2)a与( 3, )bk的夹角是钝角 , 则 k 的取值范围是三、解答（共 45 分） ：12、已知 A（1，0） ，B（4，3） ，C（2，4） ，D（0，2） ，试证明四边形 ABCD 是梯形。 （10分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 13、在直角 ABC 中，AB（2,3 ） ，AC（1，k） ，求实数 k 的值。 （10 分）14、已知1e 、2e 是夹角为 60的两个单位向量，1232aee ，1223bee(1) 求a b; (2)求ab与ab的夹角 . （12 分）15、已知向量33(cos,sin)22xxa，(cos,sin)22xxb，2,2x，(1) 求证：()ab()ab； (2)13ab，求cosx的值。 （13 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -