2022年年上海市普通高等学校春季高考数学试卷 .pdf

1 2017 年全国普通高等学校春季招生统一考试上海卷数学考生注意 : 1. 答卷前 , 考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚, 并在规定的区域内贴上条形码. 2. 本试卷共有23 道试题 , 满分 150 分. 考试时间 20 分钟 . 一 . 真空题（本大题满分54 分）本大题有12 题, 考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果, 第 16题每题 4 分 , 第 712 题每题 5 分, 每个空格填对得分, 否则一律得零分. 1. 设集合1,2,3A =, 集合3,4B =, 则AB =U_. ; 2. 不等式|1|3x -”是“10a”的（）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要 D. 既非充分也非必要15. 过正方体中心的平面截正方体所得的截面中, 不可能的图形是（）A. 三角形B. 长方形C. 对角线不相等的菱形D. 六边形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 2 16. 如图所示 , 正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为 2, 若P为该正八边形边上的动点, 则131A AA Puuu u ruuu r的取值范围为（）A. 0 ,86 2+B. 2 2,86 2-+_. C. 86 2,2 2-D. 86 2,86 2-+三 . 解答题（本大题满分76 分）本大题共5 题, 解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤17. 如图 , 长方体1111ABCDA B C D-中, 2ABBC=, 13AA =; （1）求四棱锥1AABCD-的体积 ; （2）求异面直线1AC与1DD所成角的大小 ; 18. 设aR?, 函数2( )21xxaf x+=+; （1）求 a 的值 , 使得( )f x 为奇函数 ; （2）若2( )2af x+, 直线:lykxm=+(0)km 1, l与G交于P、 Q 两点 , P为P关于y轴的对称点 , 直线 P Q 与y轴交于点(0 , )Nn ; （1）若点(2,0)是G的一个焦点 , 求G的渐近线方程 ; （2）若1b =, 点P的坐标为 (1 ,0)-, 且32NPP Q=uuu u ruuur, 求k的值 ; （3）若2m =, 求 n 关于b的表达式 ; 21. 已知函数21( )log1xf xx+=-; （1）解方程( )1f x =; （2）设(1 ,1)x ?, (1 ,)a ?, 证明 : 1( 1,1)axax-?-, 且11()( )( )axff xfaxa-= -; （3）设数列nx中 , 1( 1 ,1)x ?, 1131( 1)3nnnnxxx+-=-, *nN?, 求1x的取值范围 , 使得3nxx3对任意*nN?成立 ; 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 4 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 5 2017 年上海春考数学参考答案第一部分、填选第二部分、简答题（本大题共5 题, 共 14+14+14+16+18=76分）17. （1）4. （2）2 2arctan318. （1）a=1. （2）0, 2. 19. （12 分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1. M2 （宽度忽略不计）, 如图所示 , 已知AB AC, AB=AC=AD=60（单位 : 米） , 要求圆 M1 与 AB, AD分别相切于点B, D, 圆 M2 与 AC, AD分别相切于点 C, D; （1）若 BAD=60 , 求圆 M1. M2的半径（结果精确到0.1 米）（2）若观景步道M1 与 M2 的造价分别为每米0.8 千元与每米0.9 千元 , 如何设计圆M1. M2的大小 , 使总造价最低 ?最低总造价是多少?（结果精确到0.1 千元）解: （1） M1 半径 =60tan30 34.6, M2半径=60tan15 16.1; （2）设 BAD=2 , 则总造价y=0.8 ?2?60tan +0.9 ?2?60tan （45 ）, 设 1+tan =x, 则 y=12 ? （8x+17）84 , 当且仅当x=, tan =时, 取等号 , M1 半径 30, M2半径 20, 造价 42.0 千元 . 20. （12 分）已知双曲线（b0）, 直线 l: y=kx+m（km 0）, l 与交于 P, Q 两点 , P为 P 关于 y 轴的对称点 , 直线 PQ 与 y 轴交于点 N （0, n）; （1）若点（ 2, 0）是的一个焦点 , 求的渐近线方程; （2）若 b=1, 点 P 的坐标为（ 1, 0）, 且, 求 k 的值 ; （3）若 m=2, 求 n 关于 b 的表达式 . 解: （1）双曲线（b0）, 点（ 2, 0）是 的一个焦点 , c=2, a=1, b2=c2 a2=4 1=3, 1 2 3 4 5 6 1 ,2,3,4(2 , 4)-23i-13-6 107 8 9 10 11 12 232160 6 48 (0,1)13 14 15 16 B C A B 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 6 的标准方程为: =1, 的渐近线方程为. （2） b=1, 双曲线 为: x2 y2=1, P （1, 0 ）, P（ 1, 0 ）, =, 设 Q（x2, y2 ）, 则有定比分点坐标公式, 得: , 解得, , , =. （3）设 P（x1, y1 ）, Q（x2, y2 ）, kPQ=k0, 则, 由, 得（ b2k2 ）x2 4kx 4b2=0, , , 由, 得（）x22k0nx n2 b2=0, x1+x2=, x1x2=, x1x2=, 即, 即=, =, 化简 , 得 2n2+n （4+b2 ）+2b2=0, n=2 或 n=, 当 n= 2, 由=, 得 2b2=k2+k02, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 7 由, 得, 即 Q（, ）, 代入 x2=1, 化简 , 得: , 解得 b2=4 或 b2=kk0, 当 b2=4 时, 满足 n=, 当 b2=kk0时, 由 2b2=k2+k02, 得 k=k0 （舍去） , 综上 , 得 n=. 21. （12 分）已知函数f（x）=log2; （1）解方程f（x） =1; （2）设 x（ 1, 1 ）, a（ 1, + ） , 证明 : （ 1, 1）, 且 f（） f（x）=f（）; （3）设数列 xn 中, x1（ 1, 1）, xn+1= （ 1）n+1, nN*, 求 x1 的取值范围 , 使得 x3xn对任意 nN* 成立 . 解: （1） f（x）=log2=1, =2, 解得; 令 g（x） =, 21( )agxaxa-= -+-a（ 1, + ） , g（x）在（ 1, 1）上是增函数 , 又 g（ 1）=, g（1）=1, 1g（ x） 1, 即（ 1, 1）. f（x） f（）=log2log2=log2log2=log2 （）=log2, f（）=log2=log2. f（） =f（x） f（）, f（） f（x）=f（）. （3） f（x）的定义域为（1, 1）, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 8 f（ x）=log2=log2=f（x）, f（x）是奇函数 . xn+1= （ 1）n+1, xn+1=. 当 n 为奇数时 , f（xn+1 ）=f（）=f （xn ）f（）=f（xn ） 1, f（xn+1 ）=f（xn ） 1; 当 n 为偶数时 , f（xn+1 ）=f（）=f（）=1f（xn ）, f（xn+1 ）=1 f（xn ）. f（x2 ）=f （x1） 1, f（x3 ）=1f（x2）=2f（x1）, f（x4） =f（x3） 1=1 f（x1）, f（x5 ）=1f（x4 ）=f （x1）, f（x6） =f（x5） 1=f （x1） 1, , f（xn ）=f （xn+4 ）, nN+. 设12( )111xh xxx+= -h（x）在（ 1, 1）上是增函数 , f（x）=log2=log2h （x）在（ 1, 1 ）上是增函数 . x3 xn 对任意 nN* 成立, f（x3） f（xn ）恒成立 , , 即, 解得 : f（x1） 1, 即 log21, 02, 解得 : 1x1. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 9 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -