《电磁场与电磁波》第1章课件.ppt

电磁理论的发展历程电磁理论的发展历程18201820年，奥斯特发现电流的磁效应，随后安培得年，奥斯特发现电流的磁效应，随后安培得出安培力定律；出安培力定律；18311831年，法拉第发现电磁感应定律；年，法拉第发现电磁感应定律；18451845年，法拉第引入年，法拉第引入“场场”的概念；的概念；18641864年，麦克斯韦以年，麦克斯韦以“麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组”建立了建立了系统的电磁理论系统的电磁理论18871887年，赫兹用实验证实电磁波的存在及其光的特性年，赫兹用实验证实电磁波的存在及其光的特性18951895年，波波夫和马可尼实现了无线通信。年，波波夫和马可尼实现了无线通信。静静电电场场恒恒定定电电场场恒恒定定磁磁场场时时谐谐场场平平面面波波麦麦克克斯斯韦韦方方程程组组基基 本本 要要 求求 深刻理解标量场和矢量场的概念；深刻理解标量场和矢量场的概念； 深刻理解散度、旋度和梯度的物理意义并熟深刻理解散度、旋度和梯度的物理意义并熟练计算这三个度；练计算这三个度； 熟练使用直角坐标、圆柱坐标和球坐标进行熟练使用直角坐标、圆柱坐标和球坐标进行矢量的微积分运算矢量的微积分运算； 了解亥姆霍兹定理的内容了解亥姆霍兹定理的内容重重 点点 要要 求求在直角坐标、圆柱坐标和球坐标中计算矢量场在直角坐标、圆柱坐标和球坐标中计算矢量场的散度和旋度、标量场的梯度以及矢量的线积的散度和旋度、标量场的梯度以及矢量的线积分、面积分和体积分。分、面积分和体积分。l 又称数学场论又称数学场论; ;l是研究各种类型场运动规律的数学工具是研究各种类型场运动规律的数学工具; ;l它的数学公式与场的物理概念紧密相关它的数学公式与场的物理概念紧密相关; ;l把各种物理的场在数学上抽象成矢量场和把各种物理的场在数学上抽象成矢量场和标量场来研究标量场来研究。矢量运算矢量运算矢矢 量量 分分 析析矢量加法矢量加法矢量乘法矢量乘法矢量微积分矢量微积分 场的重要属性场的重要属性：占有一个空间，且在该区域占有一个空间，且在该区域中，除开有限个点和某些表面外，场量是处处连续、中，除开有限个点和某些表面外，场量是处处连续、可微的。可微的。一一. . 什什 么么 是是 场场 如果在我们讨论的空间中的每一点都对应着某如果在我们讨论的空间中的每一点都对应着某个物理量（场量）的一个确定的值，就说在这个空个物理量（场量）的一个确定的值，就说在这个空间里确定了该物理量的一个间里确定了该物理量的一个场场。 在数学上在数学上，任何一个可以表示成空间和时间函，任何一个可以表示成空间和时间函数的量都可以称为数的量都可以称为场场。二二. . 场场 的的 分分 类类动态场动态场：场量与时间有关：场量与时间有关 （时变场）（时变场） f ( x, y, z, t ) A( x, y, z ,t )标量场标量场：场量是标量：场量是标量 如：温度场如：温度场T(x,y,z)、密度场、密度场(x,y,z)静态场静态场：场量与时间无关：场量与时间无关 （恒定场）（恒定场） f ( x, y, z ) A( x, y, z)矢量场矢量场：场量是矢量：场量是矢量如：速度场如：速度场v(x,y,z)、力场、力场F(x,y,z)2. 2. 图示法：图示法：u(x,y,z)： 等值面、等值线等值面、等值线u(x,y,z)=c1u(x,y,z)=c2u(x,y,z)=c3A(x,y,z)：矢线矢线 切向切向场量的场量的方向，疏密程度方向，疏密程度场量的大小。场量的大小。三三. . 场场 的的 表表 示示 方方 法法1. 1.数学法数学法： f = f ( x, y, z )F(x,y,z)=exFx(x,y,z)+eyFy(x,y,z)+ezFz(x,y,z)手写体：手写体：FeFF标量场标量场矢量场矢量场复习：矢量的代数运算复习：矢量的代数运算1. 1. 矢量加法：矢量加法： 定义定义：按平行四边形或三角形法则相加：按平行四边形或三角形法则相加ABA+BAB-BA-BA-B-BBAAA+BB 运算法则运算法则：a. A + B = B + Ab. A + B + C = ( A + B ) + C = A+( B + C )c. A B = A + ( -B )d. 若若 A=ex Ax(x,y,z) + ey Ay(x,y,z) + ez Az(x,y,z) B= ex Bx(x,y,z) + ey By(x,y,z) + ez Bz(x,y,z) 则则 AB =ex (AxBy) +ey(AyBy )+ ez(AzBz) A=ex ( Ax) + ey ( Ay ) + ez ( Az )2. 2. 两个矢量的标量积两个矢量的标量积（点积，点乘点积，点乘）： 结果是标量结果是标量 定义定义：A B = A B cos 其中其中为为A 、 B间的夹角间的夹角 运算法则运算法则：A B = B A ( A+ B ) C = A C + B C b. A A = A 2直角坐标中直角坐标中， A A = Ax2 + Ay2 + Az2A A 在在 B B 方向上的投影方向上的投影 AB c. 正交系中正交系中 ei ej =1 i = j0 i j 直角系中直角系中 A B = AxBx + AyBy +AzBzABBABABAABzzyyxx11coscosBAA B = 0 A B （可作为两矢量相互垂直的判据可作为两矢量相互垂直的判据）3. 两个矢量的矢量积两个矢量的矢量积（叉积、叉乘叉积、叉乘）： 结果是矢量结果是矢量 定义定义：C = A B 模值模值 C = A B =A B sin 方向方向 CA, CB 且 A ,B,C成右手螺旋关系成右手螺旋关系ABBsinC = A B 运算法则运算法则：AB = -BA A(B+C)=AB+ACb. A A = 0 c. 正交系中正交系中 ei ej = 1 i j0 i = j直角系中直角系中 AB = ex(AyBz AzBy)+ey(AzBx-AxBz)+ez( AxBy- AyBx) zyxzyxzyxBBBAAAeeeABBA1sind. A B = 0 A B （可作为两矢量相互平行的判据）（可作为两矢量相互平行的判据）4. 4. 三个矢量的混合积：三个矢量的混合积：AB C)(zzyyxxzyxzyxzyxCeCeCeBBBAAAeeezyxzyxzyxBBBAAACCC 由行列式交换法则可得由行列式交换法则可得： (AB)C = (BC) A =(CA)B =-(BA)C = -(CB) A =- - (AC)B 物理意义：物理意义：以以 A、B 、C为邻边的平行六面体的体积为邻边的平行六面体的体积ABC 正正 交交 坐坐 标标 系系 简简 介介常用的正交坐标系有常用的正交坐标系有3 3种：种：直角直角圆柱圆柱球球 一一. . 直角坐标系直角坐标系xeyeze单位矢量单位矢量任意矢量任意矢量A在直角坐标系下的表达式在直角坐标系下的表达式zzyyxxeAeAeAA直角坐标系中直角坐标系中x yz长度元、面积元、体积元长度元、面积元、体积元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd体积元体积元面积元面积元zzyyxxedledledll d长度元矢量长度元矢量zyxedzedyedx直角坐标系中直角坐标系中A矢量：矢量： xxyyzzAe Ae Ae A B矢量：矢量：xxyyzzBe Be Be B ()()()xxxyyyzzzABeABeABe AB xxyyzzA BA BA BA B ()()()xyyxyzzyyzxxzzxyyxxyzxyzeeeA B e ABABe ABABe ABABAAABBB （圆柱坐标系及（圆柱坐标系及 球坐标系下相应知识）类似球坐标系下相应知识）类似二二. . 圆圆 柱柱 坐坐 标标 系系P ( , , z ) P到到z轴垂直距离轴垂直距离 与与+x轴的夹角轴的夹角z xzyOezeezP 叉乘关系叉乘关系： (e)( e )(ez)1 i = j0 i j ei ej =2. 2. 点乘关系点乘关系：3. 3. 换算关系换算关系：sincosyxxyyxtan22cossinsincosyxyxeeeeeecossinsincoseeeeeeyxexyxyOex eyecossinsincosyxyxeeeeee注意注意： nex 、 ey 、ez是常矢量，模值为是常矢量，模值为1，方向不变。，方向不变。ne、 e 模值为模值为1，但方向随，但方向随 变化，是变化，是 的函数，是变矢。的函数，是变矢。 exyxyOeeeeeyxcossineeeeyxsincos4. 4. 位置矢量位置矢量r ：（从原点指向某点）从原点指向某点）直角直角：r = ex x + ey y + ezz 圆柱圆柱：r = e + ezz5. 5.线元矢量线元矢量: :（位移矢量）（位移矢量）)(ddzeezrdrr+drrxyOezzrzeeddzdPzedeezddddlddddzeeez6. 6. 面元矢量面元矢量：方向的定义：方向的定义： 开表面开表面与面积外沿的绕向呈右手螺旋关系与面积外沿的绕向呈右手螺旋关系dS 闭合面闭合面外法线方向外法线方向dSdS例如直角系中例如直角系中：dS = ex dSx + eydSy + ezdSz 其中其中 dSx =dydz，dSy =dxdz，dSz =dxdy 分别是分别是dS在在yOz面面，xOz面和面和xOy面上的投影面上的投影7. 7. 体积元体积元：直角系中直角系中圆柱系中圆柱系中dV=dx dy dzdV= d d dzxyOezzrzeeddzdP圆柱系中圆柱系中： dS = e dS+ edS + ezdSzdS= d dz， dS =ddz，dSz=dd二球坐标系二球坐标系ezxyereOrPP ( r， )r P到球心距离到球心距离 叉乘关系叉乘关系： (er)(e )(e ) 0 r与与+z轴的夹角轴的夹角j r在在xOy面上的面上的投影投影（）与与 +x 轴的夹角轴的夹角1 i = j0 i j ei ej =2. 2. 点乘关系点乘关系：3. 3. 换算关系换算关系：cossinsinsincoscossinrzryrxxyzzyxzzyxrtantan2222222zxereOrPyecossinsincossincoscoscossinsinsincosyxzyxzyxreeeeeeeeeeezxereOrPyesincoscossincossinsinsincoscoscossineeeeeeeeeeerzryrx注意注意： er (，）、 e (，） 、e (）均不均不是常矢量是常矢量zxereOrPyecossin0cossineeeeeeeeeeeerrrr4. 4. 位置矢量位置矢量： r = e r r5. 5. 线元矢量线元矢量: :)dd(drrreerre)(ddrerrlddsinddrerererzxyereeOd d rdr6. 6. 矢量面元：矢量面元：dS = er dSr+ edS + edSdS =rsinddr7. 7. 体积元体积元：dV = r2 sin drd dlrddsindddrerererdSr=r2sind d dS=rd drzxyereeOd d rdrxeyezeeezecossin0cossin0001直角坐标直角坐标与与圆柱坐标系圆柱坐标系eezereeesin0cossincos0001圆柱坐标圆柱坐标与与球坐标系球坐标系zereeecossincossinsincos0直角坐标直角坐标与与球坐标系球坐标系xeyesinsinsincoscossinoz单位圆单位圆 柱坐标系与球坐标系之间柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系 oxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系 xeyeeezeeree四四. .坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系 一一. . 方向导数方向导数 定义定义：ludd 标量场标量场 u ( r ) 在在l l方向上的变化率方向上的变化率在直角坐标系中，在直角坐标系中，dl dx、dy、dz，全微分：全微分：zzuyyuxxuudddd则则 u（r）在在dl方向上的方向导数为方向上的方向导数为lzzulyyulxxuludddddddd u 沿沿x方向的变化率方向的变化率xudd例如：例如：在直角坐标系中在直角坐标系中zueyuexueuzyx在圆柱坐标系中在圆柱坐标系中zueueueuz在球坐标系中在球坐标系中sinrueruerueur二标量场的梯度二标量场的梯度三梯度的性质三梯度的性质1. 1. 一个标量场的梯度构成一个矢量场。一个标量场的梯度构成一个矢量场。 u 矢量矢量2. 2. 在空间任何一点，梯度的方向总是与过该点的在空间任何一点，梯度的方向总是与过该点的等值面相垂直，即梯度的方向与等值面的法线方等值面相垂直，即梯度的方向与等值面的法线方向是一致的。向是一致的。u0 u0+dudlu3. 3. 在空间任何一点，梯度的模都等于标量场在在空间任何一点，梯度的模都等于标量场在 该点的方向导数可能取得的最大值。该点的方向导数可能取得的最大值。证：证：cosddueulul其中其中为为 u与与dl之间的夹角之间的夹角ludd最大最大即即ulumaxdd当当 = 0时，时，u0 u0+dudlumaxddluu 4. 4. 在空间任何一点，梯度的方向都指向标量场在空间任何一点，梯度的方向都指向标量场 场量增加的方向。场量增加的方向。u0 u0+dudlu5. 5. 一个单值标量场梯度的线积分仅与曲线的起止点一个单值标量场梯度的线积分仅与曲线的起止点 有关，而与曲线的形状无关。即一个单值标量场有关，而与曲线的形状无关。即一个单值标量场 的梯度是一个保守的矢量场。的梯度是一个保守的矢量场。证：证：ldddduueulul)()(dd1221PuPuuuPPcl得得若若P1、P2重合，则重合，则0d culP1P2由由0d cul6. 6. 运算法则：运算法则：(uv) = (vu) = vu + uv（f A）= Af + f A（f A）= f A + f A u = 0( u + v ) = ( v + u ) = u + v四四. . 梯度的物理意义梯度的物理意义 在空间任何一点，标量场梯度的在空间任何一点，标量场梯度的方向方向是该是该点标量场场量增加最快的方向；它的点标量场场量增加最快的方向；它的模模是由该是由该点向各个不同方向移动时场量可能有的最大增点向各个不同方向移动时场量可能有的最大增加率。加率。标量场的梯度是标量场的场量空间变化率。标量场的梯度是标量场的场量空间变化率。u0 u0+dudlu例1.3.1 已知 R=ex(x-x)+ey(y-y)+ez(z-z)RR 求证： )()(3)1(213RfRfRRRR RR证： 222)()()(1zzyyxxRRRxxzzyyxxxxxR222)()()(同理可得：RyyyRRzzzRzReyRexReRzyxRRRzzeyyexxeRzyx)()()( )1()1()1()1(2RzeRyeRxeRzyxxRRRx21)1(yRRRy21)1(zRRRz21)1(RRzReyRexReRRzyx221)(1)1(321)1(RRRRRRRRR(3)设有标量场，求证：以设有标量场，求证：以(x,y,z)为动点的梯度为动点的梯度f（R）与以与以（x，y，z）为动点时的梯度为动点时的梯度f（R）之间有如下关系：之间有如下关系：f（R）= - f（R）zfeyfexfefzyxzfeyfexfefzyxO rrR(x, y, z)(x，y，z)其中：RxxRfxRRfxfxfRxxRfxRRfxf)(O rrR(x, y, z)(x，y，z)同理同理zfzfyfyf)()(RRfzfeyfexfefzyx证明：一一. . 矢量场的矢量线矢量场的矢量线1. 1. 矢量线的定义矢量线的定义: :形象的描述矢量在空间分布的有形象的描述矢量在空间分布的有向曲线向曲线静电场中的电场线 rE磁场中的磁场线 rB例如：例如：2. 2. 矢量线的特点矢量线的特点: :在矢量线上任意一点的切线方向都与该点的场矢在矢量线上任意一点的切线方向都与该点的场矢量方向相同量方向相同3. 3. 矢量线的微分方程矢量线的微分方程: :0)(rFrd（1）定义式）定义式：rd：矢量切线方向上的微分矢量：矢量切线方向上的微分矢量物理意义物理意义： 与与 夹角为零。夹角为零。即，二者方向相同即，二者方向相同rd)(rF（2）在直角坐标系下的形式）在直角坐标系下的形式)()()(rFdzrFdyrFdxzyx例例1.4.11.4.1已知：已知：点电荷位于坐标原点，任意场点的点电荷位于坐标原点，任意场点的（x,y,zx,y,z）处的电场强度，）处的电场强度， rrqrE304)(其中其中 为介电常数，位置矢量：为介电常数，位置矢量：求：求： 的矢量线的矢量线0zeyexerzyxE解：解：)(443030zeyexerqrrqEzyx代入方程组代入方程组 得得zyxEdzEdyEdxzdzydyxdx即即zdzxdxzdzydy解方程组得解方程组得1lnlnczx2lnlnczy1lnczx2lnczy11cezxc22cezyczcx1zcy2一一. . 矢量场的通量矢量场的通量1. 1. 通量的定义通量的定义: :(1)(1)矢量场矢量场A A穿过面元穿过面元dS S的通量：的通量：SAdcosdSA(2)(2)矢量场矢量场A A穿过开表面穿过开表面S S的通量的通量：SSSAdcosdSA(3)(3)矢量场矢量场A A穿过闭合面穿过闭合面S S的通量的通量：SSSAdcosdSA2. 2. 通量的物理意义通量的物理意义：以流体为例，若以流体为例，若0dSSv每秒有净流量每秒有净流量流出，包面内流出，包面内有有正源正源0dSSv每秒有净流量每秒有净流量流入，包面内流入，包面内有有负源负源每秒流入包面和流每秒流入包面和流出包面的净流量相出包面的净流量相等，包面内等，包面内无源无源，或正源与负源相等或正源与负源相等0dSSv二二. . 矢量场的散度矢量场的散度1. 1. 散度的定义散度的定义: :VSSVdlimdiv0AA2. 2. 散度的数学计算式散度的数学计算式: :PAzAxAyzxyPOyxz123zAyAxAzyxVSSVdlimdiv0AAzAyAxAzyxA)()(zzyyxxzyxAeAeAezeyexe式中式中zeyexezyx定义为定义为矢量矢量微分算子，也叫汉密顿算符。微分算子，也叫汉密顿算符。VSSVdlimdiv0AA圆柱系中：圆柱系中：zAAAz1)(1A球系中：球系中：ArArrArrrsin1)(sinsin1)(122A3. 3. 矢量场散度的性质：矢量场散度的性质：a. . 一个矢量场的散度在空间构成一个标量场。一个矢量场的散度在空间构成一个标量场。b. 矢量场的散度反映了矢量场在空间各点的净通量状态矢量场的散度反映了矢量场在空间各点的净通量状态有散场有散场 有散场有散场 无散场无散场0A0A0Ac. 散度具有通量体密度的量纲。散度具有通量体密度的量纲。d. BAABBA)()(三三. . 散度定理（高斯定理）散度定理（高斯定理） 定理内容定理内容：设在空间有一闭合曲面设在空间有一闭合曲面S S，它所包围的空，它所包围的空 间体积为间体积为V，如果矢量场，如果矢量场A A在在S S和和V上都是连续可导的，上都是连续可导的，则则VSVddASA 表明了矢量场通过闭合面发出的净通量与矢量表明了矢量场通过闭合面发出的净通量与矢量场在曲面内的通量源之间的关系。场在曲面内的通量源之间的关系。一一. . 矢量场的环量（环流）矢量场的环量（环流）1. 1. 矢量场做功：矢量场做功：llFdP1 P22. 2. 环流的定义：环流的定义：cclAdcosdlA直角系中直角系中czyxczAyAxA)ddd(dlA圆柱系中圆柱系中czczAAA)ddd(dlA球系中球系中crcrArArA)dsindd(dlA3 3 环量的物理意义：环量的物理意义：0dclA表明表明c包围涡旋源包围涡旋源0dclA表明表明c不包含涡旋源不包含涡旋源水流沿平行于水管轴线方向流动水流沿平行于水管轴线方向流动 =0，无涡旋运动无涡旋运动流体做涡旋运动流体做涡旋运动0，有产生涡旋的源有产生涡旋的源例：例：流速场流速场二二. . 矢量场的旋度矢量场的旋度1. 1. 旋度的定义：旋度的定义：对对M点，仿照散度的定义，取点，仿照散度的定义，取ScMSlAdlim)(0（环流面密度）环流面密度）显然，上面的算式与积分路径的选取有关显然，上面的算式与积分路径的选取有关SSScMScMScMS123dlimdlimdlim)(0)(0)(0lAlAlAM Ac1c2c3n3n2n定义：定义：dlimmaxrot)(0ScMSlAnA其中其中n是最大环流密度所在环路的单位法线方向是最大环流密度所在环路的单位法线方向(rotation)柱坐标：柱坐标：AzzAAAzeee2. 2. 旋度的数学计算式：旋度的数学计算式：zyxzyxAAAzyxeeeA直角坐标：直角坐标：AArot球坐标：球坐标：ArrAArrererersinsinsin2A 求求A= exx2 + eyy2 + ezz2 沿着沿着 xy面上的一个闭合回路面上的一个闭合回路c的线积的线积 分。如图所示，再计算分。如图所示，再计算A。P(2,)2y2=xOyx解：解： 回路回路c在在xOy面上面上，dz = 0 0224202202d)2(dddyyyyyyxxclAyyxxddd22 lA0236203203)33(33yyyx= 0例例1.61.60222zyxzyxeeezyxA讨论讨论： A = ex x2 + ey y2 + ez z2 = er r2是辐射状的场，是辐射状的场，必定是无旋的。必定是无旋的。A= exx2 + eyy2 + ezz2P(2,)2y2=xOyx3. 3. 旋度的性质：旋度的性质：a. 一个矢量场的旋度构成一个新的矢量场。一个矢量场的旋度构成一个新的矢量场。b. . 分类：有旋场、分类：有旋场、无旋场无旋场c. . 旋度具有环流面密度的量纲。旋度具有环流面密度的量纲。d. ( A + B ) = A + B ( A ) = 0说明任一矢量场的旋度一定是无散的。反过来也成立，即说明任一矢量场的旋度一定是无散的。反过来也成立，即若若 B B=0 ，则一定对应着一个矢量场则一定对应着一个矢量场A A，使，使B B= A A。三三. . 斯托克斯斯托克斯（stockes)定理定理ScSAlAdd 1 1、定义、定义：一个矢量场：一个矢量场 ，对任意闭合路径都有，对任意闭合路径都有0d clFF无旋场对应着一个标量场无旋场对应着一个标量场uuF0 F则称其为无旋场则称其为无旋场一、无旋场一、无旋场2 2、恒等式、恒等式：梯度的旋度恒为零：梯度的旋度恒为零 0)(0)(证明证明：xyzdddeeedxdydz 222222()()()()()0 xyzxyzeeedddeeedxdydzz yz yx zx zx yx yddddxdydz 1、定义、定义：一个矢量场一个矢量场F F，对任意闭合面都有，对任意闭合面都有0d SSF则称其为无散场则称其为无散场0 F无散场对应着一个矢量场无散场对应着一个矢量场A-AF二、无散场二、无散场2 2、恒等式、恒等式：旋度的散度恒为零：旋度的散度恒为零 0)(A证明证明：0)(AAzyxzyxAAAzyxeee)(A)(zeyexezyx)()()(yAxAexAzAezAyAexyzzxyyzx)()()(yAxAzxAzAyzAyAxxyzxyz=0 源是场的因，场同源一起出现。源是场的因，场同源一起出现。若若F=0，则则F0散度源（通量源）散度源（通量源）若若F=0 ，则则F0旋度源（涡旋源）旋度源（涡旋源）例：例：判断矢量场的性质判断矢量场的性质FFFFFF000000一、场与源的关系一、场与源的关系二、亥姆霍兹定理的基本内容二、亥姆霍兹定理的基本内容 一个矢量场只一个矢量场只可能有两种源可能有两种源旋度源旋度源和和散散度源度源，此外，再无其它类型的源。若在给定边界空间，此外，再无其它类型的源。若在给定边界空间中，一个矢量场的旋度和散度都给定了，则该矢量场中，一个矢量场的旋度和散度都给定了，则该矢量场的解是唯一确定的。的解是唯一确定的。已知已知在电磁场中在电磁场中矢量矢量A的散的散度源密度度源密度矢量矢量A的旋的旋度源密度度源密度场域边界条件场域边界条件电流密度电流密度J矢矢量量A唯唯一一地地确确定定电荷密度电荷密度场域边界条件场域边界条件假设：假设：F = Fl + Fc ( Fl 0 Fc 0 )则则ccllclFFFFFFFF)()(三、亥姆霍兹定理的结论三、亥姆霍兹定理的结论亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质：亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质：从从微观微观角度分析矢量场：从研究它的角度分析矢量场：从研究它的散度散度和和旋度旋度开始着手；开始着手；从从宏观宏观角度分析矢量场：从研究它的角度分析矢量场：从研究它的通量通量和和环流环流开始着手。开始着手。 则则FF微分形式的基本方程微分形式的基本方程三、亥姆霍兹定理的结论三、亥姆霍兹定理的结论亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质：亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质：从从微观微观角度分析矢量场：从研究它的角度分析矢量场：从研究它的散度散度和和旋旋度开始着手；度开始着手；从从宏观宏观角度分析矢量场：从研究它的角度分析矢量场：从研究它的通量通量和和环流环流开始着手。开始着手。 cSlFSFdd积分形式的基本方程积分形式的基本方程ScVSVSFlFFSFd)(dd)(d-高斯定理高斯定理-斯托克斯定理斯托克斯定理则则习题习题：8 8、9 9、1818、2121、2323、2828