2022年复数知识点 .pdf

复 数知识点1. 复数的单位为i，它的平方等于 1，即1i2. 复数及其相关概念： 复数形如 a + bi 的数（其中Rba，） ； 实数当 b = 0 时的复数 a + bi，即 a； 虚数当0b时的复数 a + bi； 纯虚数当 a = 0 且0b时的复数 a + bi，即 bi. 复数 a + bi 的实部与虚部 a 叫做复数的实部， b叫做虚部（注意a，b 都是实数） 复数集 C全体复数的集合，一般用字母C 表示. 复数是实数的充要条件： z=a+bi Rb=0（a、bR） ；zRz=z；ZR22ZZ。复数是纯虚数的充要条件： z=a+bi 是纯虚数a=0 且 b0（a、bR） ；z是纯虚数或 0Z+z=0；z 是纯虚数 z20。两个复数相等的定义：00babiaRdcbadbcadicbia）特别地，（其中，且. 两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小. 注：若21, zz为复数，则1若021zz，则21zz.（） 21, zz为复数，而不是实数 2若21zz，则021zz.（）若Ccba,，则0)()()(222accbba是cba的必要不充分条件 .（当22)(iba，0)(,1)(22accb时，上式成立）2、复数加、减、乘、除法的运算法则：设),(,21Rdcbadiczbiaz，则idbcazz)()(21；ibcadbdaczz)()(21；idcadbcdcbdaczz222221。加法的几何意义：设1OZ，2OZ各与复数z1，z2对应， 以1OZ，2OZ为边的平行四边形的对角线OZ就与 z1+z2对应。减法的几何意义：设1OZ，2OZ各与复数z1，z2对应，则图中向量21ZZ所对应的复数就是z2-z1。 z1-z2的几何意义是分别与Z1， Z2对应的两点间的距离。3. 复平面内的两点间距离公式：21zzd. 其中21zz ，是复平面内的两点21zz 和所对应的复数，21zzd和表示间的距离 . 由上可得：复平面内以0z为圆心，r为半径的圆的复数方程：）（00rrzz. 曲线方程的复数形式：00zrzz表示以为圆心， r 为半径的圆的方程 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 21zzzz表示线段21zz的垂直平分线的方程 .212121202ZZzzaaazzzz，）表示以且（为焦点， 长半轴长为 a 的椭圆的方程 （若212zza，此方程表示线段21ZZ ，）.），（2121202zzaazzzz表示以21ZZ，为焦点，实半轴长为a 的双曲线方程（若212zza，此方程表示两条射线） . 绝对值不等式：设21zz ，是不等于零的复数，则212121zzzzzz. 左边取等号的条件是），且（012Rzz，右边取等号的条件是），（012Rzz.212121zzzzzz. 左边取等号的条件是），（012Rzz，右边取等号的条件是），（012Rzz. 注：nnnAAAAAAAAAA11433221. 4. 共轭复数：两个复数实部相等，虚部互为相反数。即z=a+bi ，则z=a-bi ， （a、bR） ，实数的共轭复数是其本身性质zz2121zzzzazz2，i2bzz（za + bi）22|zzzz2121zzzz2121zzzz2121zzzz（02z）nnzz)(注：两个共轭复数之差是纯虚数. （） 之差可能为零，此时两个复数是相等的 5. 复数的乘方：)(.Nnzzzzznn对任何z，21, zzC及Nnm,有nnnnmnmnmnmzzzzzzzzz2121)( ,)(,注：以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果， 如1, 142ii若由11)(212142ii就会得到11的错误结论 . 在实数集成立的2|xx. 当x为虚数时，2|xx，所以复数集内解方程不能采用两边平方法. 常用的结论：1,1, 143424142nnnniiiiiii)(,0321Zniiiinnnn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - iiiiiiii11,11,2)1(2若是 1 的立方虚数根，即i2321，则. 6. 复数z是实数及纯虚数的充要条件：zzRz. 若0z，z是纯虚数0zz. 模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零. 注：|zz. 7. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x的一元二次方程)0(02acbxax时，应注意下述问题：当Rcba,时，若0，则有二不等实数根abx22,1；若=0，则有二相等实数根abx22,1；若0，则有二相等复数根aibx2|2,1（2,1x为共轭复数） . 当cba,不全为实数时，不能用方程根的情况 . 不论cba,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立. )(0,01 ,1,121223Znnnn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -