2022年北师版七年级第七章二元一次方程组 .pdf

第七章二元一次方程组 7.1 谁的包裹多【教学目标】1.了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。2.通过讨论和练习，进一步培养学生的观察、比较、分析的能力。3.通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识。【重点】二元一次方程组的含义【难点】判断一组数是不是某个二元一次方程组的解，培养学生良好的数学应用意识。【教学过程】一、引入、实物投影（P181图）1、师：在一望无际呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说： “累死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮2个”老牛气不过地说： “哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2 倍！ ” ，小马天真而不信地说： “真的？！”同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？2、请每个学习小组讨论（讨论2 分钟，然后发言）这个问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮x 个包裹，小马驮y 个包裹，老牛的包裹数比小马多2 个，由此得方程x-y=2，若老牛从小马背上拿来1 个包裹，这时老牛的包裹是小马的 2 倍， 得方程： x+1=2(y-1) 师：同学们能用方程的方法来发现、解决问题这很好，上面所列方程有几个未知数？含未知数的项的次数是多少？（含有两个未知数，并且所含未知数项的次数是1）师：含有两个未知数，并且含未知数项的次数都是1 的方程叫做二元一次方程注意：这个定义有两个地方要注意、含有两个未知数，、含未知数的次数是一次练习：（投影）下列方程有哪些是二元一次方程x1+2y=1 xy+x=1 3x-2y=5 x2-2=3x 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - xy=1 2x(y+1)=c 2x-y=1 x+y=0 二、议一议、师：上面的方程中x-y=2，x+1=2(y-1) 的 x 含义相同吗？ y 呢？（两个方程中x 的表示老牛驮的包裹数，y 表示小马的包裹数，x、y 的含义分别相同。 ）师：由于 x、y 的含义分别相同，因而必同时满足x-y=2 和 x+1=2(y-1) ，我们把这两个方程用大括号联立起来，写成x-y=2 x+1=2(y-1)像这样含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。如：2x+3y=3 5x+3y=8 x-3y=0 x+y=8 三、做一做、1、 x=6,y=2 适合方程 x+y=8 吗？x=5,y=3 呢？ x=4,y=4 呢？你还能找到其他x,y 值适合 x+y=8 方程吗？2、 X=5,y=3 适合方程 5x+3y=34 吗？ x=2,y=8 呢？3、 你能找到一组值x,y 同时适合方程x+y=8 和 5x+3y=34 吗？各小组合作完成， 各同学分别代入验算，教师巡回参与小组活动，并帮助找到3 题的结论 . 由学生回答上面3 个问题，老师作出结论适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解x=6,y=2 是方程 x+y=8 的一个解，记作x=6 同样，x=5 y=2 y=3 也是方程x+y=8 的一个解，同时x=5 又是方程5x+3y=34 的一个解，y=3 二元一次方程各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。四、随堂练习、 （P184）五、小结：1、 含有两未知数，并且含有未知数的项的次数是一次的整式方程叫做二元一次方程。2、 二元一次方程的解是一个互相关联的两个数值，它有无数个解。3、 含有两个未知数的两个二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组，它的解是两个方程的公共解，是一组确定的值。6. 作业P 188 习题 7.1 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - 教后感： 通过对实际问题的分析、讨论和练习， 了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。进一步培养学生的观察、比较、分析的能力，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识。 7.2 解二元一次方程组（一）【教学目标】1.会用代入消元法解二元一次方程组2.了解解二元一次方程组的消元思想,初步体现数学研究中“ 化未知为已知 ” 的化归思想 ,从而“变陌生为熟悉”3.利用小组合作探讨学习,使学生领会朴素的辩证唯物主义思想【重点】用代入法解二元一次方程组,基本方法是消元化二元为一元. 【难点】用代入法解二元一次方程组的基本思想是化归化陌生为熟悉. 【教学过程】一、引入上节课我们的老牛和小马的包裹谁的多的问题,经过大家的共同努力,得出了二元一次方程组x-y=2 到底谁的包裹多呢? x+1=2(y-1) 这就需要解这个二元一次方程组. 二、一元一次方程我们会解,二元一次方程组如何解呢? 我们大家知道二元一次方程只需要消去一个未知数就可变为一元一次方程,那么我们发现：由得 y=x-2 由于方程组相同的字母表示同一个未知数, 所以方程中的y 也等于 x-2, 可以用 x-2 代替方程中的y. 这样就得到大家会解的一元一次方程了. 三、做一做我们知道了解二元一次方程组的一种思路,下面我们来做一做例1、解方程组3x+ 2y=8 x= 23y解：将代入, 得 3(y+3)+2y = 14 3y+9+2y=14 5y =5 y=1 将 y=1 代入 , 得 x=4 所以原方程组的解是 x=4 y=1例 2、解方程组2x+3y=16 x+4y=13 教师先分析：此题不同于例1, ( 即用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数) ，式不能直接代入 , 那么我们应当怎样处理才能转化为例1式这样的形式呢? 请同学回答( 应先对式进行恒等变化, 把它化为例1 中式那样的形式.)分小组合作完成上述例题,请两个小组的代表上黑板上来板演名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - 解：由，得 x=13-4y 将代入，得2(13-4)S+3y=16 26-8y+3y=16 -5y=-10 y=2 将代入，得 x=5 所以原方程组的解是 x=5 y=2 四、议一议、上面解方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？上面解方程组的基本思路是“消元”把“二元”变为“一元”。主要步骤是：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，将这个代数式代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程式。解这个一元一次方程。把求得的一次方程的解代入方程中，求得另一个未知数值，组成方程组的解。这种解方程组的方法称为代入消元法。简称代入法。五、练一练、1、已知 x+3y-6=0 ，用含 x 的代数式表示y 为，用含 y 的代数式表示x 为 . 2、书本 P188随堂练习六、小结、1、今天我们学习了二元一次方程组的解法，你有什么体会？2、解二元一次方程组的思路是消元，把二元变为一元3、解题步骤概括为三步即：变、代、解、4、方程组的解的表示方法，应用大括号把一对未知数的值连在一起，表示同时成立，不要写成x=？y=？5、由一个方程变形得到的一个含有一个未知数的代数式必须代入另一个方程中去，否则会出现一个恒等式。七、作业、1、已知 x=1 是方程组 ax+by=2 的解，则 a、b 的值是多少？ y=1 x-by=3 2、若方程组 4x+3y=1 的解 x 与 y 相等，则 a 的值是多少？ ax+(a-1)y=3教后感：本节课是利用小组合作探讨学习,使学生正确掌握用代入消元法解二元一次方程组的方法下，通过学生自己的观察、发现,初步体现数学研究中“ 化未知为已知 ” 的化归思想 ,从而“变陌生为熟悉”,使学生领会朴素的辩证唯物主义思想. 7.2 二元一次方程组的解法(二) 一、教学目标设计：1.了解并会用加减消元法解二元一次方程组。2.了解解二元一次方程组的消元思想，体会数学中“化未知为已知”的化归思想。3.初步体验二元一次方程组解法的多样性和选择性。教学重点和难点：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - 二、教学重点：1.会用加减消元法解二元一次方程组。2.会用加减消元法解二元一次方程组。三、教学难点：掌握解二元一次方程组的“消元”思想。四、教学过程设计：1、创设情境 ：怎样解下面的二元一次方程组呢？11-52125y3xyx分析：观察方程组中的两个方程，未知数y 的系数互为相反数，把这两个方程两边分别相加，就可以消去未知数y，得到一个一元一次方程；（3x 5y ）+（2x 5y ）21 + (11) 左边 + 左边 = 左边 + 左边 3X+5y +2x 5y 10 5x+0y 10 5x=10 解: 由 +得 : 5 x=10 x2 把 x2 代入，得 y3 所以原方程组的解是23xy2、探索尝试 : 参考小丽的思路，怎样解下面的二元一次方程组呢？例 1 解下列方程组13275y2xyx分析：观察方程组中的两个方程，未知数x 的系数相等，都是2把这两个方程两边分别相减，就可以消去未知数x，同样得到一个一元一次方程解：把得 :8y 8 y1 把 y 1 代入，得 2x5（ 1） 7 解得 :x 1 所以原方程组的解是11xy3.随堂练习 : 指出下列方程组求解过程中有错误步骤，并给予订正：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - 24544y-7xyx445144y-3xyx解: ，得解，得2x12 2x44，x 6 x0 正确的解是：解: ，得解: ，得8x16 2x 44，x4 x 2 4. 议一议 : 上面这些方程组的特点是什么?解这类方程组基本思路是什么？主要步骤有哪些？这些方程组的特点是同一个未知数的系数相同或互为相反数这类方程组基本思路：加减消元-二元 - 一元主要步骤：加减 -消去一个元求解 -分别求出两个未知数的值写解 -写出方程组的解5. 做一做例 2用加减法解下列各方程组1743123y2xyx分析： (1) 用加减消元法解方程组时，若哪个未知数系数的绝对值正好相等，就可先消哪个未知数；若两个未知数的系数绝对值均不等，则可选定一个未知数，通过变形使其绝对值相等，再进行消元(2) 运用加减消元法解方程组的条件是方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值相等，当方程组中两方程不具备这种特点时，必须用等式性质2 来改变方程组中方程的形式，即得到与原方程组同解的且某未知数系数的绝对值已经相等的新的方程组，从而为加减消元法解方程组创造条件3 得 6x+9y=36 2 得 6x+8y=34 - 得 y=2 把 y 2 代入，得解得 :x 3 所以原方程组的解是11xy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - 说明： 1加减消元法的依据是等式性质1，即在一个方程左右两边分别加上或减去另一个方程的左右两边，所得的结果仍是等式经过这样的运算，其中一个未知数被消去了，原来的“二元”化为“一元”，转化为一元一次方程，从而可求出原方程组的解来2. 对于不是标准的二元一次方程组，可先通过去分母或去括号，将其变为标准的二元一次方程组后再消元5. 试一试 :运用加减消元法解下列方程组：（3）2412x12y31xy6. 探索与思考 ：在解方程组53c2byxyax时，小张正确的解21xy, 小李由于看错了方程组中的C得到方程组的解为13yx，试求方程组中的a、b、c 的值。7. 小结：加减消元法解方程组基本思路是什么？主要步骤有哪些？加减消元法解方程组基本思路：加减消元-二元- 一元主要步骤有：变形 -同一个未知数的系数相同或互为相反数加减 -消去一个元求解 -分别求出两个未知数的值写解 -写出方程组的解8. 作业教后感： 1.本节课是使学生正确掌握用加减法解二元一次方程组的方法下，通过学生自己的观察、发现、总结、归纳，探索加减法解二元一次方程组的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。7.3 鸡兔同笼【教学目标】1.使学生初步掌握列二元一次方程组解应用题2.通过将实际问题转化成纯数学问题的应用训练，培养学生分析问题、解决问题的能力。【教学重点】根据等量关系列二元一次方程组解应用题。【教学难点】根据题意找出等量关系，列出方程。【教学过程】一、我们伟大祖国具有五千年的文明史，在历史的长河中，为科学知识的创新和发展作出了巨大的贡献，特别在数学领域有九章算术 、孙子算经 等古代名著流传于世，普及趋于民众，许多问题浅显易懂，趣味性强，如九章算术 下卷第三题目“雉兔同笼”等，漂洋过海传到了日本等国，对中国古代文明史的传播起了很大作用。“雉兔同笼”题为： “今有雉兔同笼，上有三十五关，下有九十四足，问雉兔各几何？”547965)2(yxyx52534)1(tsts名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - 问题 1、 “上有三十五头”指的意思是什么？“下有九十四足”呢？答： “上有三十五头”指的鸡和兔共有三十五个头，“下有九十四足”指的是鸡和兔共有九十四只脚。问题 2、你能根据问题1 中的的数量关系列出方程吗？并能解决这个有趣的问题吗？（分小组进行讨论，然后请两个小组的代表到黑板上板演）解：设有鸡x 只，兔 y 只，则x+y=35 解之得x=23 2x+4y=94 y=12 答：共有鸡23 只，兔 12 只。这个古老的数学问题，用今天的方程解决，体现了古为今用的原则，为后人理解了数学的过去和现在，当代的著名的数学家陈省生教授在说起“鸡兔同笼”时，曾另有一番别有风趣的延伸：“全体鸡兔立正，兔子提起前面的两只脚，请问现在共有几只脚？”二、中国是一个伟大的四大文明古国，像这样浅显有趣的数学题目还有很多，我们的书上就提供了这样的一个例题例1、以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？接下来老师看一下，那位同学的古文水平好，那位同学能自告奋勇地解释一下，这段古文的意思？（用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等分，一份绳子长比井深多5 尺；如果将绳折成四等份，一份绳子比井深多1 尺，绳子、井深各是多少尺？）（分小组进行讨论，然后请两个小组的代表到黑板上板演）解：设绳子长x 尺，井深 y 尺，则1453yxyx解之得x= 48 y=11 答：绳子长为48 尺，井深 11 尺。三、议一议从上面的两个问题的解决中，你得到了什么感悟，有什么收获？请与同学们交流。用方程组解决实际问题时应该注意下列几个问题：1、 认真读题和审题，弄清古代问题的现实意义2、 正确设出未知数3、 找出相等关系，并列出方程组。4、 解此方程组5、 写出答案四、练一练1、 古代有一个马快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人，在分脏，在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证：隔壁听到人分银，不知人数不知银。只知每人五两多六两，每人六两少五两，问你多少人数多少银？2、 列方程组解古算题：“今有牛五、羊二、直金十两，牛二、羊五，直金八两，牛、羊各直金几何？”题目大意是： 5 头牛、 2 只羊共价值10 两“金”、2 头牛、 5 只羊共价值8 两“金”、每头牛、每只羊共价值多少“金”？可设每头牛值“金”x 两，每只羊值“金”y 两，则有方程组名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - 5x+2y=10 解之得x=21342x+5y=8 y=2120五、小结经过本节课的学习，你有什么收获和体会？六、作业P 199 习题 7.4 。教后感：通过将实际问题转化成纯数学问题的应用训练，使学生根据等量关系列二元一次方程组解应用题。初步掌握列二元一次方程组解应用题培养学生分析问题、解决问题的能力。7.4 增收节支【教学目标】1.会正确地运用表格分析与“增收节支” 相似一类问题的数量关系，会列二元一次方程组这类问题。2.培养学生分析问题和解决问题的能力。3.让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程 （组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力。【教学过程】一、议一议增长（亏损）率问题的公式？原量（ 1+增长率） =新量，或原量（1亏损率） =新量，2、银行利率问题中的公式？利息 =本金利率期数，本息和本金+利息二、新授、某工厂去年的利润（总产值总支出）为200 万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了 10%，今年的利润为780 万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？设去年的总产值为x 万元，总支出为y 万元，则有总产值 /万元总支出 /万元利润 /万元去年x y 200 今年（小组讨论，完成上表）总产值 /万元总支出 /万元利润 /万元去年x y 200 今年（1+20%）x （110%）y 780 根据题意得：xy =200 ，解之得：x=2000 120%90%y=780 y=1800 答：去年的总产值为2000 万元，总支出1800 万元，变式：若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？简析：如果设今年的总产值为万元，总支出为万元，则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - 200%90%120780yxyx让学生动手解这个方程组，体验这种解法的繁琐，再让学生探索， 受上例的启发，应该设间接未知数，设去年的总产值勤x 万元，总支出为y 万元，计算方便。三、做一做例 1、医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5 单位蛋白质和1 单位铁质，每克乙原料含0.7 单位蛋白质和0.4 单位铁质，若病人每餐需要35 单位蛋白质和40 单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？解：设每餐需甲、乙两种原料各x、y 克，则有下表：甲原料各 x 克乙原料各 y 克所配制营养品其中所含营养品0.5x 单位0.7y 单位(0.5x+0.7y) 单位其中所含铁质x 单位0.4y 单位(x+0.4y) 单位根据题意，可得方程组0.5x+0.7y=35 x+0.4y=40 化简，得5x+7y=350 5x+2y=200 ，得 5y=150 y=30 将 y=30 代入，得x=28。所以每餐需要甲原料28 克、乙原料30 克。解此题需要注意以下两点：1、 甲（乙）原料所含蛋白质（铁质）=甲（乙）原料的质量每克所含蛋白质（铁质）的含量。2、 甲原料所含蛋白质（铁质）+乙原料所含蛋白质（铁质）=营养品所含蛋白质（铁质。例 2、甲、乙两相距6 千米，两人同时出发，同向而行，甲3 小时可追上乙；相向而行，1 小时相遇，两人的平均速度各是多少？解：设甲的平均速度是每小时行x 千米，乙的平均速度是每小时行y，根据题意， 得：3x=3y+6 x+y=6 解这个方程组，得：x= 4 y=2 答：平均每小时甲行4 千米，乙行2 千米。四、练一练1、一、二班共有100 名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%，如果一班的学生的体育达标率为87.%，二班的达标率为75%，那么一、二班的学生数各是多少？解：可设班有x 人，二班有y 人，则有方程组x+y=6 x= 48 87.5%+75%=81(x+y) y=52 2、甲、乙两相距36 千米两地相向而行，如果甲比乙先走2 时，那么他们在乙出发2.5 时后相遇；如果乙比甲先走2 时，那么他们在甲出发3 时后相遇，甲、乙两人每时各走多少千米？解：设甲、乙两人每小时分别行走x 千米、 y 千米。根据题意可得：4.5x+2.5y=36 x= 6 3x+5ky=36 解此方程可得：y=4 所以甲每小时走6 千米，乙每小时走4 千米。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - 五、小结1、做应用题时应强调列表分析数量关系的重要性。3、 设未知数有两种方法： （1）直接设元（2）间接设元，当直接设元较繁时应间接设元。六、作业P202习题 7.5 。教后感：让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型， 培养学生的数学应用能力。正确地运用表格分析与“增收节支” 相似一类问题的数量关系，会列二元一次方程组这类问题。 7.5 里程碑上的数【教学目标】【知识目标】1、用二元一次方程式组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题2、归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。【能力目标】让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，让学生学会列方程组解决实际问题的一般步骤【情感目标】在本节课上让学生体验把复杂问题化为简单问题的同时，培养学生克服困难的意志和勇气，鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。【教学重点】用二元一次方程组刻画学问题和行程问题，初步体会列方程组解决实际问题的步骤。【教学难点】将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型。【教学过程】一、想一想，忆一忆：解二元一次方程组的基本思路各基本方法是什么？（解二元一次方程组的基本思路是通过“消元”把“二元”化为“一元”，基本方法是代入法和加减法二、创设情景，引入新课小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一小时看到的里程碑上的数字情况如下： 1200 时，这是两位数，它的两个数字之和为7，1300 时，十位与个位数字与1200 时看到的正好颠倒了；1400 时，比 1200 时看到的两位数中间多了个0，你能确定小明在1200 时看到的里程碑上的数字吗？如果设小明在1200 时看到的十位数字是x，个位数字是y，那么1、 1200 时小明看到的数可表示为根据两个数字和是7，可列出方程（ 10 x+y；x+y=7 ）2、 1300 时小明看到的数可表示为12 001300 间摩托车行驶的路程是 10y+x；(10y+x)-(10 x+y) 3、 1400 时小明看到的数可表示为13001400 间摩托车行驶的路程是10 x+y ；(100 x+y)-(10 x+y) 4、 12001300与 13001400 两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？你能列出相应的方程吗？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - 答：因为都匀速行驶1 小时，所以行驶路程相等，可列方程(100 x+y)-(10 x+y)= (10y+x)-(10 x+y)，根据以上分析，得方程组：x+y=7 (100 x+y)-(10 x+y)= (10y+x)-(10 x+y) 解这个方程组得：x=1 y=6 因此，小明在1200 时看到里程碑上数是16。同学们：你能从此题中得到何种启示？答：从中得到解数字问题常设十位数字为x，个位数字为y，这个两位数为10 x+y。三、练一练例1、两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大 2178，求这两个两位数。设较大的两位为x，较小的两位数为y。分析：问题 1：在较大数的右边写上较小的数，所写的数可表示为 100 x+y 问题 2：在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为 100 y + x 解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y。x+y=68 （100 x+y）-（100 y + x）=2178 化简，得：x+y=68 99x-99y =2178 即，x+y=68 x-y =222 解该方程组得x=45 y =23 四、做一做1、 一个两伯数， 减去它的各位数字之和的3 倍，结果是 23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是 5，余数是 1，这个两位数是多少？解：设十位数为x，个位数为y，则10 x+y-3(x+y)=23 10 x+y=5(x+y)+1 解之得：x=5 所以这个两位数是56 y=6 五、议一议列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？1、 “设”：弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的两个未知数；2、 “列”：找出能够表达应用题全部含义的两个等量关系，根据这两个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；3、 “解”：解这个方程组，求出未知数的值；4、 “验”：检验这个解是否正确，并看它是否符合题意；5、 “答”：与设前后呼应，写出答案，包括单位名称；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - 六、小结通过这节课的学习你有什么收获？（学生分小组讨论，并相互补充交流）1、 本节课主要研究有关数字问题，解题的关键是设各位数字为未知数，用这些未知数表示相关数量，再列出方程。2、 用二元一次方程组解应用题一般步骤有五步：设、列、解、验、答七、作业P205习题 7.6 。教后感： 1.在本节课上让学生体验把复杂问题化为简单问题的同时，培养学生克服困难的意志和勇气，鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。2.用二元一次方程式组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题，让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型 7、6 二元一次方程与一次函数【教学目标】【知识目标】1、使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解. 3、能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式【能力目标】通过学生的思考和操作,在力图提示出方程与图象之间的关系,引入二元一次方程组图象解法,同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力. 【情感目标】通过学生的自主探索,提示出方程和图象之间的对应关系,加强了新旧知识的联系,培养了学生的创新意识 ,激发了学生学习数学的兴趣. 【教学重点】1、二元一次方程和一次函数的关系2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解【教学难点】方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力【教学过程】一、忆一忆1、 同学们 :什么叫二元一次方程的解? 2、 一次函数的图像是什么? 3、 如图 ,求一次函数的图像的解析式二、试一试1、 问题：方程x+y=5 的解有多少个？写出其中的几个解来方程 x+y=5 的解有无数多个，如：x=-1 x=0 x=1 x=2 x=3 y=6 y=5 y=4 y= 3 y=2 等2、 在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5x 的图像上吗？3、 在一次函数y=5x 的图像上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5 吗？4、 以方程 x+y=5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5x 的图像相同吗？x y o 1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - 三、做一做在同一直角坐标系内分别作出一次函数y=5x 和 y=2x 1 的图像，这两个图像有交点吗？交点的坐标与方程组x+y=5 2x y=1 的解有什么关系？你能说明理由吗？一次函数y=5x 和 y=2x1 的图像的交点为（2，3） ，因此，x=2 就是方程组y=3 x+y=5 2x y=1 的解。 例1、用作图象的方法解方程组x-2y= - 2 2x y=2 解：由 x-2y= - 2 可得 y= 12x，同理，由 2x y=2 可得 y=2x 2，在同坐标系中作出一次函数y= 12x的图像和 y=2x 2 的图像，观察图像，得两直线交于点（2，2） ，所以方程组x-2y= - 2 2x y=2 的解是x = 2 y= 3 同学们你从本题中感悟到什么？原来我们解二元一次方程组除了代入法和加减法外还可以用图像法，那么用作图法来解方程组的步骤如下：1、 把二元一次方程化成一次函数的形式2、 在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点。3、 交点坐标就是方程组的解。四、练一练1、用作图象的方法解方程组2x+y=4 2x-3y=12 由 2x+y=4 得y= -2x+4 由 2x-3y=12 可得 y=432x在同一直角坐标系中作出函数y= -2x+4和函数 y=432x的图像，观察图像可得交点为（3，-2） ，所以方程组2x+y=4 的解是x =3 2x-3y=12 y= - 2 2、在图中的两直线l1、l2的交点坐标可以看作的解。答案：y=1+2x y=4 - x x y o 1 x y O 2 4 6 -4 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - 五、 试一试1、有一组数同时适合方程x+y=2 和 x+y=5 吗？2、一次函数y=2 x，y=5 - x 的图像之间有何关系？你能从中“悟”出些什么吗？没有一组数同时适合方程x+y=2 和 x+y=5 ；一次函数y=2 x，y=5 - x 的图像是两条平等的直线。我们可以得到：二元一次方程组无解一次函数的图像平行（无交点）二元一次方程组有一解一次函数的图像相交（有一个交点）二元一次方程组有无数个解一次函数的图像重合（有无数个交点）六、 小结1、 二元一次方程的图像实际上就是一次函数的图像2、用图像法可以解二元一次方程组，原来我们还可以用几何的图像法来解代数问题。七、作业P205习题 7.6 。教后感：1.通过学生的思考和操作、自主探索 ,力图提示出方程与图象之间的关系,引入二元一次方程组图象解法,同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力.使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系并能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解2.通过学生的提示出方程和图象之间的对应关系,加强了新旧知识的联系,培养了学生的创新意识,激发了学生学习数学的兴趣. 7.7 回顾与思考教学目标 ： 1、使学生准确理解二元一次方程（组）理解的概念，并熟练地运用代入消元法、加减消元法、图象法解二元一次方程组； 2、举出生活中用二元一次方程组解决问题的实例，抓住列二元一次方程组解决实际问题中的关键，找到相等关系，熟练建模； 3、进一步掌握二元一次方程与一次函数的联系。教学重点： 1、二元一次方程组的解法：代入消元法、加减消元法、图象法； 2、列二元一次方程组解决实际生活问题； 3、二元一次方程和一次函数的关系。教学难点： 1、列二元一次方程组解决实际生活问题； 2、几种数学思想化归思想、方程思想和数形结合思想。教学方法：交流讨论反逻辑性的师生主动法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 一、回顾与思考 1、用自己的语言回答以下问题：（ 1）举出生活中运用二元一次方程组解决问题的两个例子。（ 2）在列二元一次方程组解决实际问题的过程中，你认为最关键的是什么？（ 3）解二元一次方程组的基本思路是什么？有哪些方法？举例说明在什么情况下采用哪一种方法更为简便，并简要阐述解二元一次方程组的过程。（4）举例说明二元一次方程与一次函数有何关系。 2、实际问题：某商店购进一批衬衫，甲顾客以7 折的优惠价格买了20 件，而乙顾客以8 折的优惠价格买了5 件，结果商店都获得利润200 元，求这批衬衫的进价是多少元？标价是多少元？问：在这个问题你发现有哪些等量关系？这是解决问题的关键。（1）利润 =售价进价（2）甲顾客以7 折买了 20 件后，商店所获的利润=200 元（3）乙顾客以8 折买了 5 件后，商店所获的利润=200 元问：若设这批衬衫的进价为X元，标价为Y元，则根据以上关系，列出方程组？问：用什么方法解以上方程组？（可用代入消元法或加减消元法）练习：某商店出售的某种茶壶每只定价20 元，茶杯每只定价3 元，该商店在营销淡季特规定一项优惠方法，即买一只茶壶赠送一只茶杯，我爸爸的单位里花了170 元，买回茶壶和茶杯一共38 只，问我爸的单位里买回茶壶和茶杯各多少只？问：在以上列方程组解决实际问题中，你认为最关键的是什么？利用方程组解决实际问题中的关键是正确找出问题中的两个等量关系，列出方程组成方程组，并注意检验解的合理性。 3、解二元一次方程组的基本思路消元解方程组分组分别用代入消元法，加减消元法，图象法解以上方程组。三、建立体系：通过以上几个问题的思考，形成本章知识联系图：丰富的问题情境二元一次方程组含义解法应用代入消元法加减消元法图象法四、课堂练习：课本复习题A组五、小结：通过本章的学习，掌握了二元一次方程（组）的解法及应用，提高了解决问题分析问题的能力，进一步体会到数学中的方程思想，化归思想和数形结合思想。六、作业：复习题B 复习题 C组选做教后感：使学生准确理解二元一次方程（组）理解的概念，并熟练地运用代入消元法、加减消元法、图象法解二元一次方程组；举出生活中用二元一次方程组解决问题的实例，抓住列二元一次方程组解决实际问题中的关键，找到相等关系，熟练建模；进一步掌握二元一次方程与一次函数的联系。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -