2022年大学微积分l知识点总结3.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高校微积分 l 学问点总结【第一部分】高校阶段预备学问1、不等式：a2baba 引 申 .ann aa1 a2.ana2b22ababc3 abca 13a 1 na 2.nna 1 a 2.anna33 bc33abca22 bx1两侧均在 ab0 或 ab0时取等号121aba2b2abba 双向不等式：-b a ba扩展：如有yx1x2.xn,且x2.xnpp为常数就y的最大值为：x1x2.xnnn柯西不等式：设 a1、a2、.an,b1、b2、. bn 均是实数,就有：a 1b 1a2 b2.a nb n2a 12ia22.a n2b 12b 22.b n2当且仅当,aibi为常数,1,23 . n时取等号2、函数周期性和对称性的常用结论1、如 f （x+a）=± f （x+b）,就 f （x）具有周期性；如 就 f （x）具有对称性；f （a+x）=± f （b-x ）,名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 口诀：“ 内同表示周期性,内反表示对称性”2、周期性（1）如 f （x+a）=f （b+x）,就 T=|b-a| （2）如 f （x+a）=-f （b+x）,就 T=2|b-a| （3）如 f （x+a）=± 1/f （x）,就 T=2a （4）如 f （x+a）=【1-f （x）】 / 【1+f （x）】,就 T=2a （5）如 f （x+a）=【1+f （x）】 / 【1-f （x）】,就 T=4a 3、对称性（1）如 f （a+x）=f （b-x ）,就 f （x）的对称轴为 x=（a+b）/2 （2）如 f （a+x）=-f （b-x ）+c,就 f （x）的图像关于（ a+b）/2 ,c/2 ）对称 4、函数图象同时具备两种对称性,即两条对称轴,两个对称中心,一条对称轴 和一个对称中心,就函数必定为周期函数,反之亦然；（1）如 f （x）的图像有两条对称轴 中一个周期为 2|b-a| ；x=a 和 x=b,就 f （x）必定为周期函数,其（2）如 f （x）的图像有两个对称中心（ a,0）和（b,0）,（a b）,就 f （x）必定为周期函数,其中一个周期为 2|b-a| ；（3）如 f （x）的图像有一个对称轴x=a 和一个对称中心（ b,0）,（ a b）,就 f （x）必定为周期函数,其中一个周期为 4|b-a| ；3、三角函数m sinnL cosm正切tann正弦n 余弦llm名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 余切cotm正割secl余割csclnmn倒数关系：tan1sin1cos1cotcscsec商的关系：sintanseccoscotcsccoscscsinsec平方关系：sin222 cos11tan11cot21平常针对不同条件的两个常用公式：sin22 cos11tancot一个特殊公式：sinsinsin-sinsinsin-二倍角公式：sin2A2 sin Acos A1-2 sin2Acos 2A2 cosA-sin2Atan 2A2 tan A1-2 tanA半角公式：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - sin2a11-cosa222 cosa11cosa22tanasina1-cosa21cosasinacotasina1cosa21-cosasina三倍角公式：sin3a4 sinasin3asin3-aacos 3 a4 cosacos3acos3-tan 3atanatan3atan3-a万能公式：sinacosatana2 tana 212 tana21-2 tana212 tana22 tana 21-2 tana2两角和公式：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - sinsincoscossinsin-sincos-cossincos-coscos-sinsincoscoscossinsintan-tantan1-tantantantan-tan1tantan和差化积公式：sinsin2 sin1cos-122sin-sin2cos1sin-122cos-cos2cos1cos-122coscos-2sin1 2sin-1 2tan A-tanBsinABtanABcosAcosB1tanAtanBtan Atan BsinA-BtanA-BcosAcos B1tanAtanB积化和差公式：sinsin-cos-cos-12coscoscoscos-12sincossinsin12口诀：奇变偶不变,符号看象限名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证明：acoa Absin Aa2b2sinAM,其中tan Mab证：设acos Absin AxsinAMbacos Absin Axacos Ab xsin Ax由题,a2b21,sin Ma,cos Mxxxxxa 2b2原式得证4、数学归纳法数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法, 它主要用来争论与正整数有关的数学问题,在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立；例如：前 n 个奇数的总和是 n 2,那么前 n 个偶数的总和是： n 2+n 最简洁和最常见的数学归纳法证明方法是证明当 表达式成立,这种方法由下面两步组成：递推的基础：证明当 n=1 时表达式成立n 属于全部正整数时一个递推的依据：证明假如当 n=m时成立,那么当 n=m+1时同样成立（1）第一数学归纳法证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立, n0对于一般数列取值为 0 或 1,但也有特殊情形假设 n=k（kn0,k 为自然数）时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立（2）其次数学归纳法对于某个与自然数有关的命题 P（n）验证 n=n0 时 P（n）成立假设 n0nk 时 P（n）成立,并在此基础上,推出 P（k+1）成立（3）倒推归纳法名师归纳总结 验证对于无穷多个自然数n 命题 P（n）成立第 6 页,共 29 页假设 P（k+1）成立,并在此基础上,推出P（n）成立- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （4）螺旋式归纳法对两个与自然数有关的命题验证 n=n0 时 P（n）成立假设 P（k）（kn0）成立,能推出 成立；5、初等函数的含义Q（k）成立,假设 Q（k）成立,能推出 P（k）概念：初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算以及有限次数函数复合所产生,示的函数；并且能用一个解析式表【有理运算：加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方】【基本初等函数：对数函数、指数函数、幂函数、三角函数、反三角函数】6、二项式定理：即二项绽开式,即（a+b ）n的绽开式abnCn0anCn1 an-1b.Cnka nk-bk.CnnbnT k1表示其中Cnk称为二次项系数项,它是第k1 项,用Cnkan-kbk叫做二次项绽开式的通其中,Cnknn-1.n-k-1Cnk-1n-k1k-1！kk7、高等数学中代换法运用技巧 倒代换把原式中的一个变元或原式中的一部分用另一个变元的倒数来代替,此种方法被称为“ 倒代换” 法增量代换如题目中已知 xm,就引入帮助元x=m+a（a0）,再将帮助元代入题中解题；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 此种代换方法称为“ 增量代换法”三角代换x2a2、a2x2、x2a2双代换lim nxn：引入两个帮助元进行代换yn8、其他一些学问点（1）0 不是正数,不是负数；是自然数；和 0 （2）正偶数称为“ 双数”（3）正常数：常数中的正数0 是偶数,偶数分为：正偶数、负偶数（4）质数：又称“ 素数” ；一个大于 1 的自然数,假如除了 1 和它自身以外,不能被其他自然数整除的数,否就称为“ 合数” ；最小的质（素）数是 2；1 既不是素数,也不是合数；（5）exp：高等数学中,以自然对数 e 为底的指数函数（6）在数学符号中, sup 表示上界； inf 表示下界（7）：表示恒等于（8）0 的阶乘是 1. 阶乘是一个递推定义,递推公式为：的阶乘为 1,即 1！=1× 0！,故 0！=1 【其次部分】函数与极限常用结论 （等价无穷小很重要）n！=n（n-1 ）！ 由于 1名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1xn1nx11 nx1 时成立e 即依据此公式得到,1xn1ex1x1xx11x e-x1xxln1xxn111ne1-1nne其中,11ne,e 为初等函数,又称“ 幂指函数” ,ne2.718 名师归纳总结 1-1n12n1,就lim x x0uxvxab第 9 页,共 29 页n22 122.n2nn1623 13 2.n3nn12saa2.n asan1-aa-1b.bn1-an-bna-ban1-an-2a1-b1am-1ama-bmm.bm-1-2b如lim x x0uxa0,limx x0vxba、b为常数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1fxf1ex一些重要数列的极限：ln1x-xex-1xax-1xxlnax1x1xarcsinxarctanx另一些重要的数列极限：n lim10k0lim nq n0q1 为常数lim nna1a1nklim nn a0a 为常数lim nnn11 2x2n！x0时,sinxxtanxx1-cosx列举一些趋向于0 的函数：q1,qn0a0,b0,nba0-cna1,abn010lnn柯西极限存在准就：柯西极限存在准就又叫柯西收敛原理；给出了极限收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 ,存在这样的正整数N,使得当 mN,nN时就有 |xn-x m| ；这个准就的几何意义表示,数列Xn 收敛的充分必要条件是：该数列中足够靠后的任意两项都无限接近；夹逼定理的两个条件： 左右极限存在；左右极限相等【极限运算的技巧总结 （不包含教材介绍的方法以及公式）：】（1）洛比达法就名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设函数 fx ）和 Fx）满意以下条件：xa 时, lim fx=0, lim Fx=0; 在点 a 的某去心邻域内 fx ）与 Fx ）都可导,且 Fx ）的导数不等于 0; xa 时, lim f'x/F'x）存在或为无穷大 就 x a 时, lim fx/Fx= lim f'x/F'x （2）等价无穷小一般要将变量的取值变为趋向于 无穷小的概念：0 的代数式,如 x,令 t=1/x 高阶无穷小： 当limA=0 时,假如 lim （B/A=0, 就说 B是比 A高阶的无穷小低阶无穷小： 当limA=0 时,假如 lim （B/A= , 就说 B是比 A低阶的无穷小假如 lim （B/A=K（K 0,1 ）,就说 B 是 A 的同阶非等价无穷小 等价无穷小： lim （B/A）=1,就说 B为 A的等价无穷小（3）斯托尔茨定理设数列y 单调增加到无穷大,就fx lim x 0gxalim nx nlim nxnx n1ynyny n14 .fx 是连续函数：x lim x 0fgx（5）求两个数列之商的极限,在两数列都具有高次项的情形下,可以直接比较 最高次项而忽视较低次项,该原理仅仅限于无穷数列,对于有穷数列不能直取；（6）分母趋近于 0,而分子不为 0,其极限不存在或无穷名师归纳总结 （7）xncc.c,lim nxn114 cclim nxn1第 11 页,共 29 页2证明：xnAcx n1,所以lim nx nlim nxn1）设lim nx n知lim nxn,对（）两侧求极限可所以,ACA,A114 c2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （8）在运算极限题目中, 如题目中同时显现sinx、arcsin 、或者cosx、arcsosx时,令 t=sinx或cosx（9）在求极限的过程中假如遇到n 次项等高次项而无法解题时,一般可以通过借助 e 进行消去高次项的运算,有的也可以使用泰勒公式；x（10）运算极限时显现显现 tantan x 或者 sinsin x 的形式,应用泰勒公式运算；（11）三个重要的结果如lim na na ,就lim na 1a 2n.a naaa na如lim na na a n0 ,就lim nna 1a 2. a n如a n0,n,1 2 3, ,.,lim na n1a ,就lim nna n（12）有的题目涉及递推公式、数列问题如：S n135.2n132223 2n 2解题思路：2 S nS n函数的连续性和间断点问题（1）如何争论并确定函数的连续性？如该函数是初等函数,就该函数在其定义域区间均连续 如是一元函数, 就可对其求导, 其导数在某点上有意义就函数在该点必定连续（可导必连续）求助极限,函数在该点极限等于函数在该点函数值,运算时留意左右极限（2）间断点问题 间断点的分类：名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如x lim x 0fx A ,而fx 在xx 0 处没有定义或者有定义但fx A,就称为fx 的可去间断点；如 x x 0 为函数 f x 的可去间断点,只需补 充定义或转变 f x 在 x x 0的函数值,使 f x 在 x x 0 处连续,此时 f x 已经不是原函数；如 lim f x f x 0 , lim f x f x 0 ；但 f x 0 f x 0 , 就称 x x 0 为函数 f x x x 0 x x 0的跳动间断点,f x 0 f x 0 称为跳动度可去间断点和跳动间断 点统称第一类间断点；第一类间断点的特点是 左右极限均存在如fx 在xx 0 的左右极限至少有一个不存在时,xx 0称为函数fx 的其次类间断点假如函数fx 在区间a,b上仅有有限个第一类间断点,就函数fx 在区间a ,b上按段连续（3）一样连续与不一样连续一样连续（匀称连续）：设函数 f x 定义在集合 x 上,如.0（）0 当 x '、x '' x 且满意 x ' x ''时,就有 f x ' f x '',就称 f x 在 x 上一样连续；定义说明,无论 x 中的两点 x ' 和 x '' 位置怎样,只要二者充 分靠近,相应函数值差的肯定值就可以任意地 小；不一样连续：设函数 f x 定义在集合 x 上,存在 00,无论对多么小的0,总存在 x '、x '',尽管 x ' x '',但是 f x ' f x '' 0lim f x A充要条件 x x 0x lim x 0 f x Alim f x Ax x 0【第三部分】导数与微分法线斜率和切线斜率相乘等于-1 （切线与法线垂直）名师归纳总结 u1u2.un'u 1'u2'.un'.u1u2. un'第 13 页,共 29 页u1u2.un'u1'u2. unu1u2'.un反函数求导：反函数导数× 原函数导数=1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 或写成：dyxx0dx1y0dxydy常见的函数的导数（基础函数求导）：1-x xc ' 0 c 为常数 x ' x a ' a lnae x' e x log ax' 1 lnx ' 1x lna xx 1ln ' sinx ' cosx cosx '-sinxx2 2 2tan x ' 1 tan x sec x cotx '-csc xsecx ' secx tanx cscx '-cscx cotxarcsinex ' 12 arccosx '-121-x 1-x1 1arctanx ' 2 arccotx '-21 x 1 x特殊复合函数：y u x v（x）的求导方法：转化yevxlnux'yuvvlnuvu'uy=f（x）亦称为“零阶导数 ” （函数的零阶导数就是其本身）隐函数： F（x,y）=0,y=f（x）带入即可得到 F【x,f（x）】=0,满意该恒等式即为隐函数国际数学通用标记：名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - Ca、bfxfx是a、b上的连续函数Da、bffxffx在a、b上可导的区间上连续C2a、bxx的二阶导数在a、bD2a、bfxfx在a、b内二次可导易错点： 求导时,不能将 y 与 f（x）等同；二者导数未必一样【带有肯定值的函数该如何求导？】带有肯定值的函数脱掉肯定值符号后是一个分段函数,意的是,分段点的导数严格来讲,应当按定义来求；【经典题型总结】（1）设函数 f（x）在 x 0 时可导,且对任何非零数 又 f1存在；证明当 x 0 时, fx可导；应当分段求导； 特殊应注x,y 均有 fx· y=fx+fy,证：令 x=1,由 fx· y=fx+fy得： fy=f1+fy,所以： f1=0 对任何 x 0,由题设及导数定义知,lim x0fxxfxlim x0fx1xfxlim x0fxf1x-fxx01xx）-ff' 1 xx1 1f 1lim xxxxx所以函数在fx不等于0 的时候到处可导2y0 a 1,a2为常数）中令x1,证明可将（2）在方程x2d2ya1xdya 1xdyaetdx2dxdx方程化成如下的形式：d2ya 11 dya 2y0dyet'etdt2dtdy'1证：dydxdydtdyet;d2ydy'dtdtdxdtdx2dtdxdtdxdtdt名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - d2yetdyetetd2ye2tdye2tdt2dtdt2dt原式e2td2ye2tdye2tt a 1 edyeta2y0dx2dxdx2 所以：ddtya 11 dya2y02dt（3）化简：ddxdx1dy解：原式2ddx1ddx1dydxdy1dydyd2xdx3d2xdxdxdxdydy2dydydy2高阶导数：（1）高阶导数的运算法就uvnncunnvn.C nnu0vnkn0Cnkun-kvkcuu其中c 为常数vuvnC n0un0C n1un-1v1（2）【浅谈高阶导数的求法】高阶导数求法一般包括6 种方法,即依据高阶导数定义求之； 利用高阶导数公式求之；利用莱布尼茨公式求之；用复合函数的求导法就求之；用泰 勒公式求之；交叉法 ,等等；定义法： 运用求导公式,求导法就求导,n 阶导数一般比较其规律性高阶求导公式： 把高阶求导公式化为代函数之和,分别求之名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 莱布尼茨公式求导： 当所求导数的函数是两个函数的乘积时,宜用莱布尼茨公式求之；特殊地,当其中一个函数的高阶导数为0,可以用此公式求之； 两个因子中,其中有一个函数的各阶导数有明显的规律性时,可以用此公式；复合函数求导法： 复合函数求导法就仍可以推广到多次复合的情形；在求导时,能从外层向内层逐层求导,始终求到对自变量求导数为止；如存在单值反函数,常用复合函数求导法就,求其反函数的高阶导数；【名词释义】 单值反函数： 如对定义域每一个自变量 x,其对应的函数值 f（x）是唯独的,就称 f（x）是单值函数；反过来,对于任何一个函数值 y,都有唯独的一个自变量 x 与之相对应,就此时称 泰勒公式求导法fxx3sinx,利用泰勒公式求f60解：fxx4-x68 x-5！x10.3！7！f60-1,3！f60-1206！证明题：y=f（ x）为单值反函数；证明一函数（隐函数）到处可导：就应先依据题意找出几个关键的点,然后根据导数的基本公式：lim x 0 f（xxx）f-（x）进行判定证明 f（x）=a,即证 F（x）=f（ x）-a=0（3）部分初等函数的高阶导数名师归纳总结 xnnx-n-1.1-n-1第 17 页,共 29 页x anaxlnann-1！x-nx enx eln1x-1n-1lnxnn-1n-1n-1！x-nsinxsinxn2cosxncosxn2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 线性复合公式：faxbnanfnaxb一阶导数：切线斜率二阶导数：曲线曲率关于曲线凹凸性的两个定理及应用设ax1x 2ba ,b上是凸的,就ff'x 1ffx2fx 1f'x 2（1）如fx 的图形在x 2x 12 如fx 的图形在a,b上是凹的,就'x 1x 2fx 1f'x2x2x 1【经典题型总结】（1）设dyX=f（t）f（t）存在且 f（t） 0,求d3ydx3解答：Y=t·f（ t）-f（t）'ftt''ft'f-tt''ftttdx''ft''f2 dydd2ydtdx2t'1dx2ddx'ft'''ftdtd2y1t'f'''t3 dydtdx2''fdx3dx'ft'''ft3dt（2）函数的二阶导数等于原函数,求该函数表达式名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：设'yp,y''ydp dp dy dp dpy' ' p , p ''y ydx dy dx dy dyp dp y dy绽开：1p 2 1y 2 aa 是任意常数2 2 2就 p y 2a,即 dyy 2adxdy2 dx,即 dy2 t dxy a y aln y y 2a tx lnb（其中 b 是任意常数）通解为：y y 2a b e xx-x y y 2a b e x,可得 y b e-a e2 2 b-x x y y 2a b e-x,可得 y b e-a e2 2 b令 c 1 b,c 2-a, 得通解：y c 1 e xc 2 e-x2 2 b亦可写为：y c 1 shx c 2 chx其中,双曲正弦shxx e-ex,双曲余弦chxex2e