2022年小学五年级奥数教程3.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学校五年级奥数教程 1 13006+3006+3006+3006： 2202220228÷ 2 008 如商取 10001 余数是 3一个小数的小数点向右移一位与向左移一位所得的两个数,其差为 792,就原先的小数是 4有红、黄、绿、白四种颜色的小球各很多个,每个人可以从中任意挑选两个,那么需要 个人才能保证至少有两人选的小球颜色相同5小明前几次数学测验的平均分是 80 分,最近这次测验假如是 100 分,他的平均分就会提高到 84 分那么,最近这次测验是第 次6,大勇和小云有同样多的钱大勇买卡通书用去 22 元；小云买彩色笔用去 7元这时小云剩下的钱是大勇剩下的钱的4 倍那么,大勇和小云原先各有 元7由 3、4、5 所组成的全部三位数的和除以这三个数的和,商是 8,右图中,共有长方形 个；9大伟家在学校东边,小红家在学校西边,两家相距1420 米上学时,大伟每分钟走 75 米,小红每分钟走 65 米假如大伟比小红提前 4 分钟上学, 两人就可以同时到校 请回答： 大伟家离学校有 米·10全班同学参与野外露营活动,领到帐莲如干个假如少领一个,每个帐蓬 9人用；假如多领一个,每个帐蓬 6 人用请回答：该班有 11已知：令 +令：O十十O+O+O：+ 令+O+：400 人参与活动算出：令： ；O： ；二 512小红、小华和小刚各有一些奥运小福娃,小红给小华3 个,小华给小刚个后,三个人的福娃个数同样多,小华原先比小刚多 个13一个阶梯电教室一共有 前一排多 2 个24 排座位 第一排的座位有 36 个,往后每一排都比 座位那么,最终一排有座位 个,这个电教室一共有座位 个14甲、乙、丙三人各出同样多的钱一起买回一批练习本安排时,甲要的练习本比乙多 16 本,元乙要的练习本比丙少2 本甲退仍给丙 240 元,仍要退仍给乙 15. 长方形 ABED被分成六个正方形 如下列图 ,假如其中最小的正方形的面积是 4 平方厘米,算一算,长方形ABED的面积是 平方厘米 注：图中 AF：FE 名师归纳总结 1A× B 3927,A+B（ ）；其中 A、B 都是两位数的整数；雪帆提示：将第 1 页,共 37 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3927 分解成两个两位数的成果, 你可以先试着分解质因数；提示,分解质因数,一般用一些常见数的整除特点来判定,这样会很简洁；例如, 3927 肯定是 3 的倍数,但不是 9 的倍数；2、分母是 1996 的全部最简真分数的和是多少？雪帆提示：两种方法,一种方法是通过容斥原理结合数列求和解决 另外一种方法,可以通过容斥原理求出最简真分数的个数,然后用一种特别特别的规律处理；3、一部 83 集的韩国电视连续剧, 从星期三开头在中心8 台每天播出 1 集,但是周六周日不播,那么大结局会在星期（）播出； 雪帆提示：这道题属于周期问题,不难,做做吧 4 、由 35 个基本小长方形组成的大长方形中,就包含两个阴影在内的由小长方形组成的长方形有（）个；简洁统筹规划例谈我国闻名数学家华罗庚教授生前特别重视数学的应用,并亲自带领小分队推广优选法、统筹法,取得了可喜可贺的成果,使数学直接为国民经济进展服务；在这 一讲,我们通过几个简洁的“ 最优化” 问题使大家对统筹规划思想方法有个初步 明白；例 1 一只平底锅上只能煎两只饼,用它煎 1 只饼需要 2 分钟（正面、反面各 1 分钟）；问：煎三只饼需几分钟？怎样煎？由于这只平底锅上可煎两只饼, 所以简洁想到： 先把两饼一起煎, 需 2 分钟；解 再煎第 3 只,仍需 2 分钟,共需 4 分钟；但这不是最省时间的方法；由于每只饼 都有正反两面, 3 只饼共 6 面,1 分钟可煎 2 面,煎 6 面只需 3 钟；例 2 6 个人各拿一只水桶到水龙头接水,水龙头注满6 个人的水桶所需时间分别是 5 分钟、 4 分钟、 3 分钟、 10 分钟、 7 分钟、 6 分钟；现在只有这一个水龙 头可用,问怎样支配这 6 人的打水次序, 可使他们总的等候时间最短？这个最短 时间是多少？解 第一个人接水时,包括他本人在内,共有 6 个人等候,其次个人接水时,有 5 个人等候； , 第 6 个人接水时, 只有他 1 个人等候；可见,等候的人越多 （一开头时）,接水时间应当越短,这样总的等候时间才会最少,因此,应当把接水时间按从少到多次序排列等候接水,这个最短时间是7× 2 10=100（分）；3× 64× 55× 46× 3例 3 如右图,有甲乙两个工厂各自需要 15 吨钢材,而丙丁两个仓库正好分别有 12 吨、18 吨这种钢材,问如何调运可使甲乙两个工厂都正好得到各自所需要的钢材而又能使运输费用最省（假设钢材的运费每吨公里相同）；解 由于运费的多少打算于每吨钢材所运的路程,所以只需计算全部钢材被运的路程,并使总路程尽可能的少；设全部钢材被运路程为 位：吨公里）；S（单设从丙仓库运往甲工厂钢材m吨,就所剩（ 12-m）吨钢材将运往乙工厂,且丁仓库将运往甲工厂（ 15m）吨,剩余的（ 1815m）吨应运往乙工厂；所以 S800m500.（12m）400.（15-m）300.（18-15 m）200m12900 名师归纳总结 由上式可看出要使运费最省而又要两个工厂都得到所需钢材,只需 S 最小即第 2 页,共 37 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 可,而 S 的大小取决于 m；故 m最小时 S最小,所以 m应为 0；3 吨钢材到乙这时的详细调运方案为：由丁仓库运15 吨钢材到甲工厂,运工厂,丙运 12 吨钢材到乙工厂；说明 此题数量关系比较简洁, 凭借直观亦能得出正确的答案； 然而此题旨在介绍一下统筹规划的一般争论方法：即对详细问题进行抽象, 列出满意题目条件的关 系 式 , 利 用 数 学 方 法 研 究 使 关 系 式 达 到 最 大 或 最 小 的 条 件,实际问题的数学模型方法；想想练练1. 妈妈让小明给客人烧水沏茶,洗开水要1 分钟,烧开水要 15 分钟,洗茶壶要 1 分钟,洗茶杯要 1 分钟,拿茶叶要 2 分钟,为了使客人早点喝上茶,按你 认为最合理的支配,多少分钟就能彻好茶了？2. 在一条大路上有4 个工厂,任意相邻的两个工厂距离相等（如下列图）；现在要在这条大路上设一车站, 使得这 4 个工厂的全部工人步行到车站的总路程最少,这个车站应设在 _号工厂门口；3. 北京和上海同时制成了电子运算机如干台,除本地应用外, 北京可以支援外地 10 台,上海可以支援外地4 台,现在打算给重庆8 台,汉口 6 台,如每台运算机的运费如下表： （单位：百天）上海和北京制造的机器完全相同,应当怎样调运,才能使总的运费最省？借来仍去 小宁在运算 19998199819818 这道运算题时,只用 20 秒钟就报出了得数是 22212；她为什么算得这么快呢？小宁告知小兵：“ 我用了借来仍去的方法” ；原先,小宁一看 19998,1998,198,18 分别接近 20000,2000,200,20；她就先借来了 4 个 2,分别加到 19998,1998,198,18 上得到 20000+2000+200+2022220 可是借来的 4 个 2（=8）要“ 仍” ,也就是要从 的答案应当是：22220-822212 小宁的摸索方法可以从下面的式中看出来：199981998+19818 22220 中减去,这样,正确名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - =（199982）（ 19982）（ 1982）+（182）- （2222）=20000+200020020- 2× 4这种“ 借来仍去” 的摸索方法不仅在运算上,上也很有用！而且在解决一些实际生活问题问题 1 一位农夫卖鸡蛋,第一次卖去篮中的一半又半个,其次次卖去剩下的一 半又半个后,剩下一个；请问：篮中原有多少个鸡蛋？这道题的解法有好几个,但是只有一个是最简洁的；你想想看, 一篮子鸡蛋分了一半显现了半个,说明鸡蛋个数是奇数； 为了避免显现半个鸡蛋, 这位农夫应当事先向别人借 1 个鸡蛋放在篮子里, 这样,每一次都不会显现半个鸡蛋了； 也就是说, 第一次卖去篮中的一半, 其次次卖去剩下的一半,剩下 2 个；于是,篮中的鸡蛋为（2× 2× 2=）8（个）；刚才借了一个鸡蛋再仍给人家,这位农夫篮子中原先有（81=）7（个）鸡蛋；当然,农夫卖鸡蛋不会只卖7 个；但是,从上面巧算中,我们能找出一个规律；比如说每次卖一半又半个, 共卖了五次后剩一个, 那么农夫篮子里原有鸡蛋 数为（ 261641） 63（个）；借一仍一,大大简化了运算；少元？这道题可以假定会计把张师付和李师付应得钱数的零头借来放在剩余款中；这样剩余款为（ 84162） 102（元）；这时,这个量所对应的再仍给他 2 元,共（ 242） 26（元）；这道题会计把张、 李二位师付劳务费的零头先不发,关系了,题目就好解了；先算这篮桃有多少个；就简洁得到量率的对应假如小明向奶奶借来 2 个桃,借给小聪 4 个桃,那小明仍有（ 62哥,名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 自己分 4 个,问这篮桃有多少个？依据题意,可得这篮桃共有这道题假如不用借来仍去的方法解,解起来是相当费事的；无论真借真仍, 仍是假借假仍, 目的是一个,使问题中的数量关系更加明晰,使解法由复杂变简洁；想想练练2卖冷饮的小店规定： 5 个空汽水瓶可换 1 瓶汽水；某班同学喝了 161 瓶汽水,其中有一些是用喝剩的空瓶换来的；那么,他们至少要买多少瓶汽水？提示：用“ 借来仍去” 法可求得,每买4 瓶汽水,加上“ 借” 来的一只空瓶,又可喝到 1 瓶汽水；假如买 120 瓶,实际可喝到（ 120120÷ 4） 150 瓶；假如买 128 瓶,实际可喝到（ 128128÷ 4） 160 瓶,仍差 1 瓶古怪的无穷多 整数有多少个？无穷个；偶数有多少个？无穷个；这样的回答是正确的；假如我问你：整数与偶数,哪一种数多？唯恐不少同学都会说, 当然整数比偶数多了； 进一步, 唯恐仍会有同学告知我,“ 偶数的个数等于整数个数的一半” ；什么道理呢？那是由于“ 奇数与偶数合起来就是整数； 而奇数与偶数是相同排列的, 所以奇数与偶数一样多, 大家都 是整数的一半；”整数包括偶数,偶数是整数的一部分,全体大于部分,整数比偶数多,这不 是显而易见、再明白不过的事吗？你认为这样的回答有道理吗？16 世纪意大利闻名科学家伽利略的看法却与此相反,他曾提出过一个闻名 的悖论,叫做“ 伽利略悖论” ,悖论的内容是：“ 整数和偶数一样多” ；这好像 违反常识；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 不过,伽利略所说的,也绝不是没有道理；第一,我们论述的对象都是无穷 个,而不是有限个,对于有限个来说,“ 全体大于部分” 无可争议；从 1 到 10 的整数比从 1 到 10 的偶数就是多；但是,把这个用到无穷上就要重新考虑了；对于有限来说, 说两堆物体数量一样多, 只要把各堆物体数一下, 看看两堆物体 的数量是否相等就可以； 这个方法对“ 无穷” 来说是不适用的,由于“ 无穷” 本 身就包括“ 数不完” 的意思在内；看起来,我们得另想方法；据说,居住在非洲的有些部族,数数最多不超过3,但是他们却知道自己放牧的牛羊是否有丢失；方法是,早上开圈放羊时,让羊一只一只往外出；每出一 只羊,牧羊人就拾一块小石头；明显,羊的个数和小石头的个数一样多；傍晚,放牧归来, 每进圈一只羊, 牧羊人从小石头堆中仍掉一块石头；假如羊全部进了 圈,而小石头一个没剩, 说明羊一只也没丢； 非洲牧羊人实际上实行了“ 一对一”的方法,两堆物体只要能建立起这种一对一的关系,一样多；就可以说明两堆物体的数量这种方法同样可以用在无穷上, 看看要比较的两部分之间能否建立起这种一 对一的关系；伽利略在整数与偶数之间建立的对应关系是：0 1 2 3 4 ,给出的2 4 6 8 10 , 按这样的一种关系, 给出一个整数, 就可以找出一个偶数与之对应,整数不同,与之相对应的偶数也不同；反过来,对于每一个偶数,都可以找到一 个自然数与之对应, 偶数不同, 所对应的整数也不同, 由此我们称整数与偶数之 间建立了一对一的关系,所以我们说：“ 整数与偶数一样多” 是正确的；这告知我们,“ 无穷” 是不能用“ 有限” 中的法就来衡量的,很多对“ 有 限” 成立的性质,对“ 无穷” 却未必成立；柳暗花明又一村有些问题乍一看不像是数学问题,又觉得难以入手, 解题无门, 真是“ 山穷水尽疑无路” ；但我们经过分析,把问题中的不同事物进行分类,加以染色,把问题数学化,把“ 非数学” 的问题转化为数学问题,解题的途径豁然开朗, “ 柳暗花明又一村” ；因此,染色是我们把问题数学化、简洁化的重要手段,在解题中经 常使用；问题如图 1 是一个展览馆,有24 个展室,只有出入口两个展室与外面相通,能否设计一条既不重复又不遗漏的参观路线？分析与解 参观的路线情形很多,要找到符合条件的路线,好像难以入手,留意到条件“ 既不重复又不遗漏” ,即走出一个展室 （除出入口外） 必进入与之相邻又有门相通的另一展室, 我们把“ 进” 与“ 出” 这两个“ 性质” 不同的展室涂上黑、白不同的颜色,如图2 所示,共有 12 个展室涂白, 12 个展现涂黑,如名师归纳总结 符合条件,就参观路线必定是（入口）白黑白黑, 黑（出口）,即第 6 页,共 37 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 出入口两展室必异色,因此是不行能找到这样一条符合条件的路线的；请读者摸索：该展览馆的出入口应怎样设置,才会显现一条符合条件的参观路线？并把它找出来；称球趣题 称球问题是一类传统的趣味数学问题, 它锤炼着一代又一代人的智力, 历久不衰；下面几道称球趣题, 请你先认真考虑一番, 然后再阅读解答, 想来你肯定会有所 收成；例 1 有 4 堆外表上一样的球,每堆4 个；已知其中三堆是正品、一堆是次品,正品球每个重 10 克,次品球每个重 11 克,请你用天平只称一次, 把是次品的那堆找出来；解 依次从第一、二、三、四堆球中,各取 1、2、3、4 个球,这 10 个球一起放到天平上去称,总重量比 100 克多几克,第几堆就是次品球；例 2 有 27 个外表上一样的球,其中只有一个是次品,重量比正品轻,请你用天平只称三次（不用砝码） ,把次品球找出来；解第一次：把 27 个球分为三堆,每堆9 个,取其中两堆分别放在天平的两个盘上；如天平不平稳,可找到较轻的一堆；如天平平稳,就剩下来称的一堆必定较轻,次品必在较轻的一堆中；其次次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆,中两堆,又可找出次品在其中较轻的那一堆；每堆 3 个球,按上法称其第三次：从其次次找出的较轻的一堆 3 个球中取出 2 个称一次,如天平不平衡,就较轻的就是次品,如天平平稳,就剩下一个未称的就是次品；例 3 把 10 个外表上一样的球,其中只有一个是次品,请你用天平只称三次,把次品找出来；解把 10 个球分成 3 个、3 个、3 个、1 个四组,将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示；把 A、B两组分别放在天平的两个盘上去称,就（1）如 A=B,就 A、B 中都是正品,再称 B、C；如 B=C,明显 D中的那个球是次品；如 BC,就次品在 C 中且次品比正品轻,再在C 中取出 2 个球来称,便可得出结论；如 BC,仿照 BC的情形也可得出结论；（2）如 AB,就 C、D中都是正品,再称B、C,就有 B=C,或 BC（BC不行能,为什么？）如B=C,就次品在 A中且次品比正品重,再在A 中取出 2 个球来称,便可得出结论；如BC,仿前也可得出结论；练习（3）如 AB,类似于 AB的情形,可分析得出结论；有 12 个外表上一样的球,其中只有一个是次品,用天平只称三次,你能找 出次品吗？连续数名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 变换 任给一个自然数 n,假如 n 是偶数,就将它除以2；假如 n 是奇数,就将它乘以3,再加上 1,我们称这种作法为对于数 n 的变换 . 例如,对于数 5,依据上述规就进行一次变换得到；3× 5 116. 对 16 施行变换得 16÷ 2 8. 将这种变换连续下去,有8÷ 2 4,4÷ 2 2,2÷ 2 1,1× 3 14,4÷ 2 2,2÷ 2 1,好玩的是,对于数 5,依据上面所要求的规章不断变换下去,最终显现形如421421, 的重复 . 仍可以以 6 为例按上述指定规章进行变换,得到63105168421421,再如 18,18928147221134175226134020105168我们发觉在这种指定变换下,无论开头是哪个自然数,最终总得到形如421421 的循环、重复 . 遗憾的是我们不能仅凭列举如干自然数,就肯定对任何自然数n 都具备这种性质；事实上,到目前为止,仍没有谁能证明这一点；在竞赛中我们会遇到一些类似的变换,有时候是对一个数连续进行某种指定变换,有时候是对一组数连续进行某种指定变换；在纷乱多样的变化中, 却隐匿着某种规律, 而我们解决这些问题的关键,就在于透过表面现象, 从“ 万变” 中揭示出“ 不变” 的数量关系；例 1 对任意两个不同的自然数,将其中较大的数换成这两数之差,称为一 次变换；如对 18 和 42 可进行这样的连续变换：18,4218,2418,612,66, 6；直到两数相同为止； 问：对 12345 和 54321 进行这样的连续变换, 最终得到 的两个相同的数是几？为什么？解假如两个数的最大公约数是a,那么这两个数之差与这两个数中的任何一个数的最大公约数也是a；因此在每次变换的过程中,所得两数的最大公约数始终不变,所以最终得到的两个相同的数就是它们的最大公约数；由于 12345和 54321 的最大约数是 3,所以最终得到的两个相同的数是 3；说明 这个变换的过程实际上就是求两数最大公约数的辗转相除法；例 2 在图 1 中,对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加 1 或减 1,这算作一次变换；经过如干次变换后,图 是几？1 变为图 2；问：图 2 中 A 格中的数字名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解每次变换都是在相邻的两格, 我们将相邻的两格染上不同的颜色（如图3）；由于每次变换总是一个黑格与一个白格的数字同时加上或减 1,所以全部黑格内的数字之和与全部白格内数字之和的差保持不变；由于图 1 的这个差是 13,所以图 2 的这个差也是 13；由（ A12） 1213 得 A13；例 3 黑板上写着三个整数,任意擦去其中一个,将它改写成为其它两数之和减 1,这样连续下去,最终得到 3,1997,1999,问原先的三个数能否是 2,2,2？解 答案是否定的；留意到 2,2,2 依据题设中的方式第一变换为2,2,3,再变换下去必定其中两个为偶数,一个为奇数（数值可以转变,但奇偶性不变）；但 3,1997,1999是三个奇数,所以 2,2,2 永久不会依据所述方式变为 3,1997,1999；想想练练1. 黑板上写着 115 共 15 个数,每次任意擦去两个数,再写上这两个数的和减 1；例如,擦掉 5 和 11,要写上 15；经过如干次后,黑板上就会剩下一个数,这个数是几？2. 在黑板上任意写一个自然数, 然后用与这个自然数互质并且大于 1 的最小自然数替换这个数, 称为一次变换；问最多经过多少次变换, 黑板上就会显现 2？3. 口袋里装有 101 张小纸片, 上面分别写着 1101；每次从袋中任意摸出 5张小纸片, 然后算出这 5 张小纸片上各数的和, 再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中； 经过如干次这样做后, 袋中仍剩下一张纸片, 这张纸片上的数是几？4. 在一个圆上标出一些数：第一次先把圆周二等分,在两个分点分别标上 2和 4；其次次把两段半弧分别二等分,在分点标上相邻两数的平均数 3（图 4）；第三次把四段弧再分别二等分,在四个分点分别标上相邻两分点两数的平均数；如此下去,当第 8 次标完后,圆周上全部标出的数的总和是多少？三角形的分割名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 图形中的部分与整体名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 五年级奥数 牛吃草问题 1 牛吃草问题是英国大物理学家牛顿提出来的数学名题, 也叫牛顿问题；这类题是讲牛在一片匀速生长的草地上吃草,假设每头牛每天的吃草量相同, 那么草地上 除了原有的草, 仍有新长出来的草, 而且又被牛每天消耗一部分,也就是说随着 时间的变化, 我们考察的量也在不断的变化, 这就给我们解答这类应用题带来了 难度；此类问题,由于解题思路具有肯定的规律和模式,只要认真学习,认真分 析,就能把握这类问题的特点和解答方法,正确解答；解答这类问题, 困难在于草的总量在变, 它每天、 每周都在匀称地生 长,时间愈长,草的总量越多；草的总量是由两部分组成的：某个时间期限前 草场上原有的草量； 一段时间内草场匀称生长而新增的草量；因此,我们在解 答这类题时必需设法找出这两个量来：即原有的草量和牧场上新增的草量；然后 将牛分出一部分吃新生长的草, 另一部分牛吃原有的草, 吃原有草所用的时间就 是这片草地能吃多少时间；分析解答这类应用题时,可以将一头牛单位时间的吃草量设为 1 份；预备题：有一堆草 , 可供 8 头牛吃 6 天, 那么这堆草可供 12 头牛吃几天 . 例 1 牧场上有一片匀速生长的草地,可供27 头牛吃 6 周,假如这片牧场每周生长的草量恰好能满意 周？15 头牛的吃草量,那么这片草地够 21 头牛吃多少练习 1：小军家的一片牧场上长满了草,每天草都在匀速生长,这片牧场可供 10 头羊吃 20 天,假如牧场每天新长的草够4 头羊吃；小军家养了24 只羊,这片牧场可以吃几天？例 2 牧场上有一片匀速生长的草地,可供 27 头牛吃 6 周,或供 23 头牛吃 9 周. 那么这片草地够 21 头牛吃多少周？练习 : 2. 一块牧场长满草,每天牧草都匀称生长. 这片牧场可供10 头牛吃20 天,可供 15 头牛吃 10 天. 问：可供 25 头牛吃多少天？3. 牧场上长满了青草, 而且每天仍在匀速生长, 这片牧场上的草可 供 9 头牛吃 20 天,可供 15 头牛吃 10 天,假如要供 18 头牛吃,可吃几天？4. 一个牧场可供 58 头牛吃 7 天,或者可供 50 头牛吃 9 天；假设草的生长量每天相等,每头牛的吃草量也相等,那么,可供多少头牛吃 6 天？5. 有一口水井, 连续不断地涌出泉水, 每分钟涌出的泉水量相等, 如果使用 8 架抽水机抽水, 30 分钟可以抽完；假如使用5 架抽水机抽水, 60 分钟可以抽完；现在要在 18 分钟内抽完水,需要多少抽水机？复习 : 第一讲练习 4 一个牧场可供 58 头牛吃 7 天,或者可供 50 头牛吃 9 天；假设草的生长量每天相等,每头牛的吃草量也相等,那么,可供多少头牛吃6 天？例 1： 第一讲练习 5 有一口水井,连续不断地涌出泉水,每分钟涌 出的泉水量相等,假如使用 8 架抽水机抽水, 30 分钟可以抽完；假如使用 5 架 抽水机抽水,60 分钟可以抽完；现在要在 18 分钟内抽完水, 需要多少台抽水机？例 2 一块草地,每天生长的速度相同. 现在这片牧草可供16 头牛吃 20 天,或者供 80 只羊吃 12 天. 假如一头牛一天的吃草量等于 么 10 头牛与 60 只羊一起吃可以吃多少天？4 只羊一天的吃草量,那名师归纳总结 例 3 人民商场 9 时开门营业,开门前就有人等候入场,假如从第一个顾客来第 14 页,共 37 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 时起,每分钟来的顾客人数都同样多；那么开4 个门等候的人全部进入商场要8分钟,开 6 个门等候的人全部进入商场只要4 分钟,问第一个顾客到达时是几时几分？例 4：两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走,男孩每秒可走 3 级阶梯,女孩每秒可走 2 级阶梯,结果从阶梯的一端到达另一端男孩走了 100 秒,女孩走了 300 秒；问该扶梯共有多少级？练习题 : 1、一水库原有存水量肯定,河水每天匀称入库；5 台抽水机连续 20 天可抽干； 6 台同样的抽水机连续 15 天可抽干；如要求 6 天抽干,需要多少台同样的抽水机？2、自动扶梯以匀速由下往上行驶 , 两个性急的孩子嫌扶梯走得慢 ,于是在行驶的扶梯上 , 男孩每秒种向上走 1 级, 女孩每 3 秒走 2 级；结果男孩 50秒到达楼上,女孩 60 秒到达楼上；该扶梯共有多少级？3、某天早晨 8 点,东方火车站进站处已有450 名旅客等候检票进站；此时,每分钟仍有如干人（每分钟同样多）前来进站处预备进站；这样,如 果设立 4 个检票口, 15 分钟可以放完旅客, 假如设立 8 个检票口, 7 分钟可以放完旅客,现在要求5 分钟放完旅客,就需要设立多少个检票口？共走了 100 级,4、冬冬沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走究竟,相同的时间内,恬恬沿着自动扶梯从底走到顶共走了50 级；假如冬冬同一时间内走的级数是恬恬的 2 倍,那么当自动扶梯静止时, 自动扶梯能看到的部分有多少级？5、工人文化宫开设了一个邮展,上午 8 时 30 分开门入场； 每分钟到达工人文化宫门口的人数相等；假如开 4 个门, 8 时 35 分门口的观众可全部 进入展厅；假如开 5 个门, 8 时 33 分观众就可以全部进入展厅；问第一个到达 邮展门口的观众是几时几分到达的？同一片牧场中的牛吃草问题；一般的解法是：两种吃草方式的草总量之差÷ 时间差 =生长速度 一种吃法的草总量 - 一段时间草生长总量 =原有草量 原有草量÷ （牛的头数 - 吃新生草牛头数） =能吃的时间或：原有草量所需牛的头数 +吃新草头数 = 所需牛的头数 例 1: 东升牧场南面一块 2000平方米的牧场上长满牧草 , 牧草每天都在匀速生长 , 这片牧场可供 18 头牛吃 16 天, 或者供 27 头牛吃 8 天；假如东升牧场的西侧有一 块 6000 平方米的牧场 ,6 天中可供多少头牛吃草 . 例 2 12 头牛 28 天可以吃完 10 公亩牧场上全部牧草, 21 头牛 63 天可以吃完 30 公亩牧场上全部牧草 . 多少头牛 126 天可以吃完 72 公亩牧场上全部牧草（每 公亩牧场上原有草量相等,且每公亩牧场上每天生长草量相等）？例 3: 甲、乙、丙三个仓库,各存放着数量相同的煤炭,甲仓库用一台电动输送 机和 12 个工人, 5 小时可将甲仓库里的煤炭搬完；乙仓库用一台电动输送机和 28 个工人, 3 小时可将仓库内的煤炭搬完；丙仓库现有 2 台电动输送机, 假如要 在 2 小时内把丙仓库内的煤炭搬完, 仍要多少工人？ （每个工人每小时工作效率相等,每台电动输送机每小时工作效率相等,运煤炭；）另外电动输送机与工人同时往外搬名师归纳总结 1. 三块牧场,场上的草长得一样密, 而且长得一样快, 它们的面积分别是3 公顷、第 15 页,共 37 页10 公顷和 24 公顷；第一块牧场饲养12 头牛,可以维护4 周；其次块牧场饲养- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 21 头牛,可以维护 9 周；问第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维护 18 周？2有一块 1200 平方米的牧场,每天都有一些草在匀速生长,这块牧场可供 10头牛吃 20 天,或可供 15 头牛吃 10 天,另有一块 3600 平方米的牧场, 每平方米的草量及生长量都与第一块牧场相同,问这片牧场可供75 头牛吃多少天？3、有一牧场, 17 头牛 30 天可将草吃完, 19 头牛 24 天可以吃完；现在有如干头 牛吃了 6 天后,卖掉了 4 头牛,余下的牛可再吃两天将草吃完,问原先有多少头牛吃草？（草匀称生长,每头牛每天吃草量相同）4、一片牧草,假如让马和牛去吃,45 天可将草吃尽,假如让马和羊去吃,60天将草吃尽,假如让牛和羊去吃,90 天可将草吃尽；已知牛和羊每天的吃草量和等于马每天的吃草量； 现在让马牛羊一起去吃草, 几天可以将这片牧草吃尽？五年级奥数相遇问题240 千米,甲乙两车同时从A、B 两城动身,甲例 1 AB两城间有一条大路长以每小时 45 千米的速度从 A 城到 B 城,乙以每小时35 千米的速度从 B 城到 A城,各自到达对方城市后立刻以原速沿原路返回,几小时后, 两车在途中其次次相遇？相遇地点离 A 城多少千米？【边学边练】AB两地相距 119 千米,甲乙两车同时从 A、B 两地动身,相向而行,并连续来回于 A、B 两地；甲车每小时行 42 千米,乙车每小时行 28 千米；几小时后,两车在途中第三次相遇？相遇时甲车行了多少千米？例 2 小华和小明同时从甲、乙两城相向而行,在离甲城85 千米处相遇,到达对方城市后立刻以原速沿原路返回,又在离甲城 35 千米处相遇,两城相距多少千米？【边学边练】甲、乙辆摩托车同时从A、B 两地相对开出, 两车在途中距 A 地 80 千米处第一次相遇,然后两车连续前进,卡车达到 B 地,摩托车到达 A地后都立刻返回,两车 又在途中距 B 地 20 千米处其次次相遇, A、B两地间的路程是多少千米？例 3 客车和货车同时从甲、乙两地相对开出,客车每小时行 54 千米,货车每 小时行 48 千米,两车相遇后又以原先的速度连续前进,客车到达乙站后立刻返 回,货车到达甲站后也立刻返回,两车再次相遇时,客车比货车多行 216 千米；求甲乙两站相距多少千米？【边学边练】甲城、乙城相距 90 千米,小张与小王分别从甲、乙两城同时动身,在两城之间 来