2022年九年级数学创造性学习潜能开发第一讲一元二次方程.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载九年级（上）数学制造性学习潜能开发班第一讲：一元二次方程（一）【思维体验 】一、一元二次方程的概念【例 1】（1）（D）（2）由题意：a22,a4,a4,当 a=4 时, a-4=0（舍去）,当 a=-4 时,方程8x22x40符合题意,a4二、一元二次方程的解【例 2】已知 m、n 是二次方程x2+2022x+7=0 的两个根；求 m2+2022m+6n2+2022n+8 的值【解答】m 是 x2+2022x+7=0 的根,nm22022m70m22022m6m1,同理：22022n8n1原式 =-m-1n+1= - mn+m+n+1由根与系数的关系得：mn=7,m+n= -2022, 所求代数式 = -7-2022+1=200 1 【例 3】 已知方程 x2-mx+m+5=0 有两实根 , ；方程 x 2-8m+1x+15m+7=0 有两实根 , 求 2 的值（北京市竞赛题）【解答】方程 x2-mx+m+5=0 和方程 x 2-8m+1x+15m+7=0 都有根2 2m m 5 01 8 m 1 15 m 7 021 -2 -m+8m+1 -14m-2=0 7m+1 -2=0 m= 1或 =-2 7当 m= 1时,两方程相同,不合题意舍去；7 =2 代入1,4-2m+m+5=0 m=9 此时,两方程 x 2 9 x 14 0,x 273 x 142 0由根与系数关系： =14, =142, 2 = =14× 142=1988 三、一元二次方程根的判别式及应用【例 4】【解答】（可以直接想,也可以从反面入手）假设三个方程都没有实根就 1-4m<0 且 4-4m-1<0 且 4+4m-2<0 m1,m2,m1即m1且 m>2 且 m<1,假如都有实根,就44至少有两个方程有实根,就显现如下组合名师归纳总结 解m1方程12有实根或m1方程13有实根或m2方程23有实根第 1 页,共 30 页44m1m2或1m2m11m选（ B）4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 5】 整理方程x46x39x优秀学习资料3x欢迎下载023px22p22 2 2 2即 x 3 x 3 p x 3 x 2 p 02 2x 3 x 2 p x 3 x p 02 2x 3 x 2 p 0 或 x 3 x p 0方程有且只有一个实根 一个方程有重根,另一个方程无实根9 8 p 0 9 8 p 0即：1 或29 4 p 0 9 4 p 09解1无解,解2得 p4四、韦答定理的应用,【例 6】 设：甲看错了二次项的系数为 a,由根与系数关系：b c 6 b b 32 41 2 42123a ' a ' 8 c c 4ax 2+bx+c=0 没有实根, 乙看错了是一项的系数的符号,求得两根为 -1,4,不行能看错 b 的符号,ax2-bx+c=0 无实根c只能看错 a 或 c 的符号,此时必有 1 44a3*4得：a 3,a 3b b即：2 b 3 c 2 b 3 c 2 3 3 4 6a a a【例 7】 已知 , 是方程 x2-7x+8=0 的两根,且 ,不解方程,求 2+3 2 的值（“ 祖冲之杯” 邀请赛试题）名师归纳总结 【解答】 由根与系数关系：4+ =7 或 =8 易得：22（22491633第 2 页,共 30 页17 > , 2 2493217令A232,B2322403AB23 ）8517AB23 442 A40385172A40385174488- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载【例 8】【一试身手 】【基础训练】1 a 为何值时,关于 x 的方程 x 2-ax3x-a=x+1 是关于 x 的一元二次方程【解答】 易求：a 132 已知 a 是方程 x 2-2022x+1=0 的一个根,求 a 2-2007a+ 20222 的值a 1【解答】a 是方程 x2-2022x+1=0 的根 , a 2-2022a+1=0 a 2+1=2022a a 2-2007a=a-1 22022 1 a 1 2022 a原式 = a 1 a 1 1 1 20072022 a a a a（其中一种变形,可让同学探多种变形方式）3正比例函数 y=a+1x 的图象经过其次、四象限, 如 a 同时满意方程 x 2+1-2ax+a 2=0,就此方程根的情形是（）A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根 C没有实数根（ D）不能确定（20XX 年中考试题）【解答】：易选（ A）x14+x 24 的值2424944设 x 1 ,x2 是方程 x2-2x-11=0 的两个根,求【解答】：由根与系数关系：x 1x22,x 1x2112 x 1x2x 1x222x 1x2422267362x 1 4x4x2x222x2x226221121212【提高训练】名师归纳总结 1已知 x=3 -1,求322x2x4x的值（期望杯邀请赛试题）x22x2第 3 页,共 30 页x21【解答】：x31x13x22x13322x2x4x3x2x2x2x341x2122121a,b 同号并同时为负数2已知 a ,b ,c 满意 a+b+c=0,abc=8, 且 c0,求证： c23 4【解答】：abc=8 a,b,c 不等于 0 c>0,a+b+c=0,abc=8 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a+b=-c ab=8就 a,b为方程z2优秀学习资料欢迎下载cz80两根,cca,b 为实数,c2320c>0 c332c3322342+2cx+a=0, c3设 a, b, c 为互不相等的非零实数,求证：三个方程ax2+2bx+c=0, bxcx2+2ax+b=0, 不行能都有两个相等的实数根（山东省竞赛题）【 解 答 】： 假 设 同 时 都 有 两 个 相 等 的 实 根 ,4 b24ac0且4 c24ab0且04a24 bc0三个式子相加得：a2b2c2acabbcab2ac2bc20a=b=c 这与 a,b,c 互不相等冲突,三个方程不行能都有两个相等的实数根；4假如方程（ x-1）x 2-2x+m=0 的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么,实数m 的取值范畴是（）（全国中学数学竞赛试题）（ A） 0m1 B m 3C 3 m1 D 3 m 1 4 4 42 2【解答】：x 1 x 2 x m 0 1x 1 或 x 2 x m 0 由题意三根课作为一个三角形三边长,不妨设另两边为 x ,x 3 有根 4 4 m 0 x + x =2 4 4 m 02 3x 2 x =m>0 x 2 x 3 1 3x m 满意条件 m 0 即 m 144 4 m 1选（ C）5设实数 s、t 分别满意 19s 2+99s+1=0, t 2+99t+19=0 并且 st 1,求 st 4 s 1 的值t友情提示；如先求出 s、t 再代入求值,运算太繁；认真观看两个方程的系数特点,恰当变形,使两个方程具有相同的结构,这是解本例的关键；名师归纳总结 【解答】：t2+99t+19=0 t=0 时,左边 =19右边,t0 s, 1 是 方 程 t第 4 页,共 30 页两 边 同 时 除 以t2,1919911019s2+99s+1=0 t2t19x2+99x+1=0de 两 根 且st1 , 即s1s+1=99s1=1tt19t19st4s1s14s19945ttt1919；【成就测试 】1D; 2 C3 2 或134如关于 x 的方程 x2-2k x-1=0 有两个不相等的实数根,就k 的取值范畴是【解答】：kk00k044- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5 已知方程优秀学习资料欢迎下载p q；p、q 是方1： x2 px+2q=0 和方程 2： x2 qx+2p=0 有公共根,且程 3：4x2+mx+n=0 的两个实数根（ 1）求方程 1 和方程 2 的公共根；（ 2）假如 m、n 都是正整数,求全部满意题意的正整数对 m,n【略解】（1）方程 1 和方程 2 相减,得 p qx+2=0, p q, x= 2；20 分（2）将 x= 2 代入方程 1,得 p+q= 2,又 p、q 是方程 3 的两相异实数根,所以p+q= m/4, 所以 m=8 30 分又方程 3 有两个相异实数根,所以m2 16n>0,解得 n<4n 是正整数,所以全部满意题意的正整数对是（8,1）（8,2）（8,3）40 分九年级（上）数学制造性学习潜能开发班其次讲：一元二次方程（二）【思维体验 】一、可化为一元二次方程的方程【例 1】解：设x3x1y原方程化为：换元（即先将2y15y22y25y20y11,y222当y11,x3x11222x26x10x ,126240310当y22 ,x3x1222x23x20x31,x422经检验x 1,2310,x31,x42 都是方程的根2x ,12310,x31,x422【反思小结】 1.解这类方程的要点,是通过观看或适当的代数变形,通过某一个代数式视为一个整体）将方程化为一元二次方程处理；2.求解过程中,如采纳了“ 去分母” 等化为整式的步骤,就可能会产生 增根,因此求出的解应 检验；【例 2】 解方程： x=x2+3x-22+3x2+3x-2-2 名师归纳总结 【解答】解： 设yx23x2第 5 页,共 30 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就原方程变为xy23y2优秀学习资料欢迎下载-得yxxx2xyy243 xyy0xyxxxyxyy4400y 或就原方程变为yx23x2 或y2x23 x2yx1yx43,x解得x2【反思小结】 此题采纳与通常“ 消元” 相反的思维方法,即“ 增元” 设原方程中相对独立、完整的一部分为新的元,从而转化为一个新方程组,进而求解【例 3】 解方程：13xx2.x13x42x26,x21x13x13x1x1【解答】解： 设y13xx142x13x原方程变为xyxyx ,1232,x 3,1x46又xyxy13xx2x13 xx11z1x7xy ,xy是方程z213z420两根z2就xy76 或xy67xyxy【反思小结】 此题按“ 增元” 的思维方法重新整理方程,借助韦答定理,构筑二次方程求解 一、根的判别式的应用名师归纳总结 【例 4】如 a、 b、 c 是实数且a+b+c=0,abc=1,求证 a、b、c 中必有一个数大于30第 6 页,共 30 页2 c【解答】解：abc0a,b,c异号abc1必有两负一正,不妨设abccx10两根ab1 c设a,b 是方程x2cc2403273cc0c34c34332882- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载【例 5】 对任意矩形 A：设长为 a,宽为 b,矩形 B 的长为 x,宽为 y 就xyk（ab）0两根kab24 abkab20xykab就x,y是方程z2kabzkabk2ab24 kabkkab 24ab必存在两个实根x ,y 就存在矩形B二、一元二次方程整数根问题的研讨【例 6】已知关于x 的方程（ a-1）x2+2x-a-1=0 的根都是整数, 那么符合条件的整数a 有个【解答】解：（全国中学数学竞赛试题）当a1aa1121a21x 1a1a1x2111 ,2x 为整数aa2 ,0 ,31当a12x20x1 符合题意综上所述： a=1,2,0,3,-1 【反思小结】 如根可用有理式表示出根,结合整除性求解名师归纳总结 【例 7】 求全部正实数a,使得方程x2-ax+4a=0 仅有整数根（全国中学数学联赛试题）第 7 页,共 30 页【解答】解： 设整数根为x ,x2x1x 2ax1x24aa0x 10 ,x20x 1x24x1x2x 1x24x 14x 20x 1x24 4x24 16x14x24161162844x15x 16x18x220x212x28a25 , 18, 16【反思小结】 由根与系数的关系得到关于a 的两个等式,以退为进,消去a,先求出两整数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载根,再求 a 的值【例 8】试求出全部这样的正整数a, 使得二次方程ax2+22a-1x+4a-3=0至少有一个整数根（祖冲之杯邀请赛试题）解：ax24 ax2x4 a1201,x24x4a2x12ax2x41242x612xx22x24x42x12x22x803,（舍去）,x4x204x2此时x整数为4,代入得a1,10,【反思小结】 根的表达式复杂, 从关于 a 的两个等式中消去 不妨先将原方程变形为关于 a 的一次方程【一试身手 】1.解方程x22x112x2x2=19xx2x16解：a 也较困难, 由于 a 的次数较低,名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - x22x111xx2x1119优秀学习资料欢迎下载x26设x22x11yk2,那么xy1119y6就6y213y60y 12,y2332当y2时3x22x112解得x1,2325x3当y3时2x22x113解得x3,1x2经检验x1,325都是方程的根2. 如图,已知ABC 与平行于 AC 的直线 PQ 相交,且APQ 的面积等于定值当 k 2 与 ABC 的面积 S 之间满意什么关系时问题有解？（上海市竞赛题）友情提示：恰当设未知数,依据已知条件和图形的数量特点,构造一个一元二次方程,再由实根存在的条件,使问题获得解决；解：xPA设BP ABPQ AC BPQ ABC 0BQCSBPQx2SABC而SBPQ1xxk22 sxsxk2有解2 s42 sk0x 的方程 x3+a+17x2+38-ax-56=0 的根都是整数,求a 的值s4 k23已知 a 是正整数,假如关于（07.全国中学数学竞赛）名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载解： 经观看 1 是方程的根就x-1x2a18x560k28x 11x2a18x560a182456a182224假如x的根为整数,就是完全平方数设为k2a182k2224a18ka18k1122564288即a18k112或a18k56 或4a18a18k2a18ka18k8解得a39 或55a12或a0kk26k10经检验a39,a12符合题意4解：用因式分解法求得：方程的两个根是 a 和 a 2；方程两根是 b 和 b 2. a 1 b 1由已知 a>1, b>1 且 a b. 公共根是 a= b 2或 b= a 2. b 1 a 1两个等式去分母后的结果是一样的 . 即 aba=b+2, ab ab+1=3, a1b1=3. a11 a13 a,b 都是正整数,；或 . b 1 3 b 1 1a2 a 4解得；或 . b 4 b 2又解：设公共根为 x 0 那么2 2 2 a 1 x 0 a 2 x a 2 a 0先消去二次项：（b 1 x 0 2 b 22 x b 22 b 0× （ b1）× （ a1）得（ a2+2） b1+b 2+2a1x 0+a 2+2ab1 b 2+2ba1=0. 整理得（ab）ab ab2x 01=0. a bx01；或 ab ab20. 当 x 0 1 时,由方程得 a=1,a1=0,方程不是二次方程 .x 0 不是公共根 . 当abab20 时,得a1b1=3 解法同上 . 5如直角三角形的两条直角边都是整数,且是方程mx2-2x-m+1=0 的根（ m 为整数）,这样的三角形是否存在？如存在,求出满意条件的全部三角形的三边长；如不存在；请说明名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载理由；（湖北省黄冈市竞赛题）解：m04mm1144 mm144m24 m当m1,4此时方程x22x0x 12,x20 舍去当m0方程2x10x1 不合题意舍去2当m1 且m0 时假如是完全平方数就mm11k2mm1k1k1m 是整数mm1是连续自然数的积但k1k1不是连续自然数的积不存在【成就测试 】1 解方程 x2-3 x +2=0 解：当x0210x23xx 1x2 ,x20当02x23xx 1,2x 212.解：x2ax4 或x2ax4根有三个互不相同的实数其中一方程有两等根名师归纳总结 a4第 11 页,共 30 页3证明（用反证法）设两个方程都没有两个不相等的实数根,那么10 和20. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 14 b0优秀学习资料欢迎下载即 a 24 c 0a b c 1由得 b 1 ,b+1 5 代入,得4 4ac=b+1 5 ,4c4a5 4： a2 4a+50,即（ a2）2+10,这是不能成立的 . 既然10 和20 不能成立的,那么必有一个是大于 0. 方程 x2+x+b=0 与 x 2+ax+c=0 中,至少有一个方程有两个不相等的实数根 . 此题也可用直接证法：当120 时,就1 和2 中至少有一个是正数 . 4.已知实数 a、b 满意 a 2+ab+b 2=1,且 t=ab-a 2-b 2,求 t 的取值范畴（全国数学联赛）解：+ t+1=2ab abtt1ab1t213002ab21ab213ab13 t23解得t133t1 3第三讲：证题方法及应用（一）问题解答【思维体验】例 1 略例 2BDDE于 D,CEDE于 E, BDA=AEC=90° , DAB+ABD=90° ,在 Rt BDA 和 Rt AEC 中, BDA=AEC=90° , AB=AC,AD=CE,Rt BDARt AEC, DBA= CAE, DAB+CAE=DAB+DBA =90° , BAC=90° ,ABAC名师归纳总结 例 2BAECEBAC第 12 页,共 30 页DD解答一图- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载【解答一】在 DC 上截取 DE=DB,连接 AEADBC,DC =AB+BD,DE =DBEC=AB, ADB=ADE=90° 就 AD=AD, ADB=ADE=90°, DB=DE ADB ADE AB=AE, ABD =AED 又 AB=ECAE=EC CAE=C, AED=CAE+C=2C又 BAC=120° C=20°【解答二】延长 DB 到 E,使得 BE=AB,连接 AE,就 E=EAB, ABD =2EADBC,DC =AB+BD,BE=ABED=DB+EB=DB+AB=DC , ADC=ADE=90° 就 AD=AD, ADE=ADC =90° ,DE=DC ADE ADC AE=AC, E=C ABD=2E ABD=2C在 ABC 中, BAC=120° , ABD=2C就 C=20°【举一反三】 1【证明一】（依据 BD 平分 ABC 应用角平分线性质构造全等）如图：过点 D 作 DEAB 于点 EDF BC 于点 F,在 BC 上截取 BG=BD,连结 DGAB=AC, BAC=100° ,BD 平分 ABC 交 AC 于点 D,BG=BD ABC=ACB=40° ABD=CBD=20° , BDG=BGD=80° BAEDCDAE=80° G F BGD=DAEBD 平分 ABC 交 AC 于点 D过点 D 作 DEAB 于点 E,DF BC 于点 FDE=DF, AED=GFD =90° 在 AED 和 GFD 中,证明一图 BGD=DAE, AED=GFD =90° ,DE =DF AED GFD AD=GD AD在 CGD 中, ACB=40° , BGD=80° 就 GDC=40° =ACB,就 DG =GC又 AD=GD AD= GCBEFC又 BD=BGBC=BG+CG=BD+AD名师归纳总结 【证明二】（通过对折变换以及截长补短构造全等）证明二图第 13 页,共 30 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载在 BC 上截取 BF=BD,连结 DF在 BC 上截取 BE=AB,连结 DEAB=AC, BAC=100° BD 平分 ABC 交 AC 于点 D,BD=BF ABC=ACB=40° , ABD= CBD=20° BDF =BFD=80° , FDC=BFD ACB=80° 40°=40° =ACBFD=FC在 BAD 和 EAD 中,AB=EB, ABD =CBD =20° ,BD=BD BAD EAD BED=BAC=100° ,DA=DE DEF =80° 又 BFD=80° DEF =BFD DE=DF又 DA=DE,FD=FCBC=BF+FC=BD+CF=BD+DF =BD+DE=BD+AD【证明三】（“截长补短 ”构造全等）BADFC延长 BD 到 F,使得 BF=BC,连结 CF在 BC 上截取 BE=BA,连结 DE,AB=AC, BAC=100° EBD 平分 ABC 交 AC 于点 D,BD=BF ABC=ACB=40° , ABD= CBD=20° ADB=60° 证明三图在 BAD 和 EAD 中,AB=EB, ABD =CBD =20BD=BD BAD BED AD=ED, ADB=ADE=60° CDE=CDF =60° CBD=20° , BF=BC BFC=BCF=80° 又 ACB=40° DCF=40° =ACB在 FCD 和 ECD 中, CDE=CDF ,CD=CD, ACB=DCF FCD ECD DF=DE又 AD=EDAD=DFBC=BF=BD+DF =BD+DE=BD+AD【证明四】（通过构造含有 30°角的直角三角形）延长 BD 到 F,使得 DF =DA连接 AF,过点 B 作 BNAF 于点 N,作 AM BC 于点 M,名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载AB=AC, BAC=100° ,BD 平分 ABC 交 AC 于点 D, ABC=ACB=40° , ABD= CBD=20° ADB=60° DF=DABNAFC DAF =DFA=30° 又 BNAFDBN=1BF M2AB=AC, BAC=100° AMBC 于点 M,BNAF 证明四图 BAM=CAM=50° BMA =90° =BNA, MB=MC 又 DAF=30° , BAC=100° BAN=50° =BAM 在 BNA 和 BMA 中, BNA=BMA, BAN=BAM ,AB=AB BNA BMA BN=BMMB=MC ,BN= 1 BF 2BD+AD=BD+DF =BF=2BN=2BM=BM +MC =