2022年初中数学专题特训第十八讲：等腰三角形与直角三角形.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 2022 年中考数学专题复习第十八讲【基础学问回忆】一、等腰三角形等腰三角形与直角三角形1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形,其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰 等腰三角形的两个底角 简称为等腰三角形的顶角平分线、相互重合,简称为等腰三角形是轴对称图形,它有 条对称轴,是3、等腰三角形的判定：定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形有两相等的三角形是等腰三角形,简称【赵老师提示：1、等腰三角形的性质仍有：等腰三角形两腰上的相等,两腰上的相等,两底角的平分线也相等2、同为等腰三角形腰和底角的特别性,所以在题目中平常显现对边和角的争论问题,讨论边时应留意保证争论角时应主要底角只被围角】条对称轴4、等边三角形的性质：等边三角形的每个内角都都等于等边三角形也是对称图形,它有1、 等边三角形的判定：有三个角相等的三角形是等边三角形有一个角是 度的 三角形是等边三角形【赵老师提示：1、等边三角形具备等腰三角形的全部性质2、有一个角是直角的等腰三角形是 三角形 】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到 得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在角的平分线：1、性质：角平分线上的点到 得距离相等2、判定：到角两边距离相等的【赵老师提示：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合,角平分线可以看作是的点 的2、要移用作 一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：如 一 个直角三角形的两直角边为 a、 b 斜边为 c 就 a、b、c 满意逆定理：如一个三角形的三边 a、 b、c 满意 就这个三角形是直角三角形【赵老师提示：1、勾股定理在几何证明和运算中应用特别广泛,要留意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据,名师归纳总结 3、勾股数,列举常见的勾股数三组、】第 1 页,共 33 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、直角三角形的性质：除勾股定理外,直角三角形仍有如下性质：直角三角形两锐角直角三角形斜边的中线等于在直角三角形中假如有一个锐角是300,那么它就对边是边的一半3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外,直角三角形仍有如下判定方法：定义法：有一个角是 的三角形是直角三角形有两个角是 的三角形是直角三角形假如一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形【赵老师提示：直角三角形的有关性质 在边形, 中均有广泛应用,要留意这几条性质的熟 练把握和敏捷运用】【重点考点例析】考点一：等腰三角形性质的运用例 1 （ 2022.襄阳）在等腰ABC中, A=30° , AB=8 ,就AB边上的高CD 的长是分析： 此题需先依据题意画出当AB=AC 时,当 AB=BC 时,当 AC=BC 时的图象,然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形,分别进行运算即可解：（1）当 AB=AC 时, A=30° ,CD=1 2AC=1 2×8=4；（2）当 AB=BC 时,就 A=ACB=30°, ACD=60°, BCD=30°,CD=cosBCD.BC=cos30° × 8=4 3 ；（3）当 AC=BC 时,名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就 AD=4 ,CD=tan A.AD=tan30° .4=4 3 3；故答案为：4 3或 4 3 或 4；3点评：此题考查了等腰三角形的性质,用到的学问点是等腰三角形的性质和解直角三角形,关键是依据题意画出全部图形,要娴熟把握好边角之间的关系对应训练1（ 2022.广安）已知等腰ABC 中, AD BC 于点 D,且 AD=1 2BC,就 ABC 底角的D60°度数为（）A45°B75°C45°或 75°1C 分析：第一依据题意画出图形,留意分别从BAC 是顶角与 BAC 是底角去分析,然后利用等腰三角形与直角三角形的性质,即可求得答案解答：解：如图 1：AB=AC ,AD BC,BD=CD=1 BC, ADB=90° ,2AD=1 BC,2AD=BD , B=45° ,即此时ABC 底角的度数为45°；如图 2, AC=BC ,AD BC,名师归纳总结 ADC=90°,第 3 页,共 33 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AD=1 BC,2AD=1 AC ,2 C=30° , CAB= B=1802A=75°,75°；45°或 75°即此时ABC 底角的度数为综上,ABC 底角的度数为应选 C点评： 此题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形内角和定理此题难度适中,留意数形结合思想与分类争论思想的应用是解此题的关键考点二：线段垂直平分线例 2 （ 2022.毕节地区）如图在 Rt ABC 中, A=30° ,DE 垂直平分斜边 AC ,交 AB于 D,E 是垂足,连接 CD,如 BD=1 ,就 AC 的长是（）A 2 3 B2 C 4 3 D4 思路分析：求出ACB ,依据线段垂直平分线求出 AD=CD ,求出 ACD 、 DCB ,求出CD、AD 、AB ,由勾股定理求出 BC,再求出 AC 即可解： A=30° , B=90° , ACB=180°-30 °-90 °=60° ,DE 垂直平分斜边 AC ,AD=CD , A=ACD=30°, DCB=60°-30 °=30° ,BD=1 ,CD=2=AD ,AB=1+2=3 ,在 BCD 中,由勾股定理得：CB=3 ,BC2=23 ,在 ABC 中,由勾股定理得：AC=AB2应选 A 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 点评：此题考查了线段垂直平分线,含30 度角的直角三角形,等腰三角形的性质,三角形的内角和定理等学问点的应用,主要考查同学运用这些定理进行推理的才能,题目综合性比较强,难度适中对应训练2（ 2022.贵阳）如图,在 Rt ABC 中, ACB=90° ,AB 的垂直平分线 DE 交于 BC 的延 长线于 F,如 F=30° ,DE=1 ,就 EF 的长是（）A3 B2 C3 D1 2B 分析：连接AF ,求出 AF=BF ,求出 AFD 、 B,得出 BAC=30°,求出 AE,求出FAC= AFE=30° ,推出 AE=EF ,代入求出即可解答：解：连接 AF,DF 是 AB 的垂直平分线,AF=BF ,FDAB , AFD= BFD=30° , B= FAB=90° -30 °=60° , ACB=90° BAC=30°, FAC=60° -30 °=30° ,DE=1 ,AE=2DE=2 , FAE= AFD=30°,EF=AE=2 ,应选 B点评：此题考查了含 30 度角的直角三角形,线段垂直平分线,角平分线的性质等学问点的 应用,主要考查同学运用性质进行推理和运算的才能,题目综合性比较强考点三：等边三角形的判定与性质名师归纳总结 例 3 （ 2022.遵义）如图,ABC 是边长为 6 的等边三角形,P 是 AC 边上一动点,由A第 5 页,共 33 页向 C 运动（与 A、 C 不重合）, Q 是 CB 延长线上一点,与点P 同时以相同的速度由B 向- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - CB 延长线方向运动（Q 不与 B 重合）,过P 作 PEAB 于 E,连接 PQ 交 AB 于 D（1）当 BQD=30°时,求 AP 的长；（2）当运动过程中线段 ED 的长是否发生变化？假如不变,求出线段 ED 的长；假如变化请说明理由思路分析：（ 1）由 ABC 是边长为 6 的等边三角形,可知ACB=60°,再由 BQD=30°可知 QPC=90° ,设 AP=x ,就 PC=6-x ,QB=x ,在 Rt QCP 中, BQD=30°,PC=1 QC,2即 6-x= 1（6+x）,求出 x 的值即可；2（2）作 QFAB ,交直线 AB 的延长线于点 F,连接 QE,PF,由点 P、 Q 做匀速运动且速度相同,可知 AP=BQ ,再依据全等三角形的判定定理得出APE BQF,再由 AE=BF ,PE=QF 且 PE QF,可知四边形 PEQF 是平行四边形, 进而可得出EB+AE=BE+BF=AB,DE=1 2AB ,由等边ABC的边长为 6 可得出 DE=3,故当点 P、Q 运动时,线段DE 的长度不会转变解答：解：（ 1） ABC 是边长为 6 的等边三角形, ACB=60°, BQD=30°, QPC=90° ,设 AP=x ,就 PC=6-x ,QB=x ,QC=QB+BC=6+x ,在 Rt QCP 中, BQD=30°,PC=1 QC,即 6-x=1（6+x）,解得 x=2 ；2 2（2）当点 P、 Q 运动时,线段DE 的长度不会转变理由如下：如图,作 QFAB ,交直线 AB 的延长线于点 F,连接 QE,PF,又 PEAB 于 E, DFQ= AEP=90° ,点 P、Q 做匀速运动且速度相同,名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - AP=BQ , ABC 是等边三角形, A=ABC= FBQ=60°,在 APE 和 BQF 中, A=FBQ= AEP= BFQ=90° , APE= BQF,AFBQ, APBQAEPBFQ APE BQF,AE=BF ,PE=QF 且 PE QF,四边形 PEQF 是平行四边形,DE=1 EF,2EB+AE=BE+BF=AB,DE=1 AB ,2 又等边ABC 的边长为 6,DE=3 ,当点 P、Q 运动时,线段 DE 的长度不会转变点评：此题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、依据题意作出帮助线构造出全等三角形是解答此题的关键对应训练平行四边形的判定与性质,3（ 2022.湘潭）如图,ABC 是边长为 3 的等边三角形,将ABC 沿直线 BC 向右平移,使 B 点与 C 点重合,得到DCE ,连接 BD ,交 AC 于 F（1）猜想 AC 与 BD 的位置关系,并证明你的结论；（2）求线段 BD 的长3分析：（ 1）由平移的性质可知BE=2BC=6 ,DE=AC=3 ,故可得出BDDE,由E=ACB=60°可知 AC DE,故可得出结论；（2）在 Rt BDE 中利用勾股定理即可得出 BD 的长解答：解：（ 1）AC BD DCE 由 ABC 平移而成,名师归纳总结 BE=2BC=6 ,DE=AC=3 , E=ACB=60°,第 7 页,共 33 页DE=1 2BE,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - BD DE, E=ACB=60°,AC DE,BD AC ；（2）在 Rt BED 中,BE=6 ,DE=3 ,BD=BE2DE2=6 22 3 = 3 3 点评：此题考查的是等边三角形的性质及平移的性质,的性质是解答此题的关键考点四：角的平分线熟知图形平移后的图形与原图形全等例 4 （2022.梅州）如图, AOE= BOE=15° ,EF OB ,ECOB ,如 EC=1,就 EF= 思路分析： 作 EGOA 于 F,依据角平分线的性质得到EG 的长度, 再依据平行线的性质得到 OEF= COE=15° ,然后利用三角形的外角和内角的关系求出EFG=30° ,利用 30°角所 对的直角边是斜边的一半解题解答：解：如图,作 EG OA 于 F,EF OB, OEF= COE=15° , AOE=15°, EFG=15° +15° =30° ,EG=CE=1 ,EF=2× 1=2故答案为 2点评：此题考查了角平分线的性质和含 对应训练30°角的直角三角形,综合性较强,是一道好题名师归纳总结 4（ 2022.常德）如图,在Rt ABC 中, C=90° ,AD 是 BAC 的平分线, DC=2 ,就 D第 8 页,共 33 页到 AB 边的距离是- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 42 分析：过 D 作 DEAB 于 E,得出 DE 的长度是 D 到 AB 边的距离,依据角平分线性质求 出 CD=ED ,代入求出即可解答：解：过 D 作 DEAB 于 E,就 DE 的长度就是 D 到 AB 边的距离AD 平分 CAB , ACD=90°,DEAB ,DC=DE=2 （角平分线性质）,故答案为： 2点评： 此题考查了对角平分线性质的应用,关键是作帮助线DE,此题比较典型, 难度适中考点五：勾股定理 例 5 （2022.黔西南州）如图,在ABC 中, ACB=90°,D 是 BC 的中点, DEBC,CE AD ,如 AC=2 ,CE=4,就四边形 ACEB 的周长为思路分析： 先证明四边形 ACED 是平行四边形,可得 DE=AC=2 由勾股定理和中线的定义 可求 AB 和 EB 的长,从而求出四边形 ACEB 的周长解： ACB=90°,DEBC,AC DE又 CE AD ,四边形 ACED 是平行四边形DE=AC=2 在 Rt CDE 中,由勾股定理得CD=CE2DE2=23 ,D 是 BC 的中点,BC=2CD=43 ,在 ABC 中, ACB=90°,由勾股定理得AB=AC2BC2=213 ,D 是 BC 的中点, DEBC,EB=EC=4 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 四边形 ACEB 的周长 =AC+CE+EB+BA=10+2 13 ,故答案为： 10+2 13 点评：此题考查了平行四边形的判定与性质,勾股定理和中线的定义,留意查找求 AB 和EB 的长的方法和途径对应训练5 （2022.新疆）如下列图,分别以直角三角形的三边为直径作半圆,其中两个半圆的面积 S1=25 8,S2=2,就 S3 是8,变形后得到分析： 在直角三角形中,利用勾股定理得到a 2+b 2=c 2,在等式两边同时乘以S2+S3=S1,将已知的S1 与 S2 代入,即可求出S3 的值解答：解：在直角三角形中,利用勾股定理得：a2+b 2=c2,2,8a 2+8b 2=8c 2,即12（a ）22 +1 2（b ）22 =1 2（c ）2S2+S3=S1,又 S1=25 8,S2=2,利用了转化的思想,敏捷运用勾股定理是就 S3=S1-S2=25 8-2 =9 8故答案为：9 8；点评： 此题考查了勾股定理,以及圆的面积求法,解此题的关键【聚焦山东中考】名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1（ 2022.泰安）如图,在矩形ABCD 中,AB=2 ,BC=4 ,对角线 AC 的垂直平分线分别交AD 、AC 于点 E、O,连接 CE,就 CE 的长为（）A3 B3.5 C2.5 D2.8 1C 专题： 运算题 分析：依据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得 AE=CE ,设 CE=x ,表示出 ED 的长度,然后在Rt CDE 中,利用勾股定理列式运算即可得解解答：解： EO 是 AC 的垂直平分线,AE=CE ,设 CE=x,就 ED=AD-AE=4-x ,在 Rt CDE 中, CE2=CD2+ED2,即 x2=22+（4-x）2,解得 x=2.5 ,即 CE 的长为 2.5应选 C点评：此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,勾股定理的应用,把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键2（ 2022.济宁）如图,在平面直角坐标系中,点P 坐标为（ -2,3）,以点 O 为圆心,以OP 的长为半径画弧,交x 轴的负半轴于点A ,就点 A 的横坐标介于（）A-4 和-3 之间B3 和 4 之间C-5 和-4 之间D4 和 5 之间2A 分析：先依据勾股定理求出OP 的长,由于OP=OA ,故估算出OP 的长,再依据点A 在 x轴的负半轴上即可得出结论解答：解：点 P 坐标为（ -2,3）,2 2OP= 2 3 = 13 ,点 A 、P 均在以点 O 为圆心,以 OP 为半径的圆上,OA=OP= 13 ,91316,名师归纳总结 313 4第 11 页,共 33 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 点 A 在 x 轴的负半轴上,点 A 的横坐标介于 -4 和-3 之间应选 A 点评： 此题考查的是勾股定理及估算无理数的大小,依据题意利用勾股定理求出 OP 的长是 解答此题的关键【备考真题过关】一、挑选题1（ 2022.肇庆）等腰三角形两边长分别为4 和 8,就这个等腰三角形的周长为（）A16 B18 C20 D16 或 20 1C 分析：由于题中没有指明哪边是底哪边是腰,就应当分两种情形进行分析解答：解：当 4 为腰时, 4+4=8,故此种情形不存在；当 8 为腰时, 8-488+4,符合题意故此三角形的周长 =8+8+4=20 应选 C点评：此题考查的是等腰三角形的性质和三边关系,解答此题时留意分类争论,不要漏解2（ 2022.攀枝花）已知实数x,y 满意 |x-4|+y8=0,就以 x,y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）B20 A20 或 16 C16 D以上答案均不对2B 分析： 依据非负数的意义列出关于x、y 的方程并求出x、y 的值,再依据x 是腰长和底边长两种情形争论求解解答：解：依据题意得x40,解得x4,y88y8（1）如 4 是腰长,就三角形的三边长为：4、4、8,不能组成三角形；（2）如 4 是底边长,就三角形的三边长为：4、8、8,能组成三角形,周长为 4+8+8=20 应选 B点评： 此题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质, 分情形争论求解时要留意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判 断依据题意列出方程是正确解答此题的关键3（ 2022.江西）等腰三角形的顶角为80°,就它的底角是（）D80°A20°B50°C60°3B 分析：依据三角形内角和定理和等腰三角形的性质,可以求得其底角的度数名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解答：解：等腰三角形的一个顶角为 80°底角 =（ 180°-80 °）÷2=50° 应选 B点评：考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质的运用,比较简洁4（ 2022.三明）如图,在平面直角坐标系中,点A 在第一象限,点P 在 x 轴上,如以P,O,A 为顶点的三角形是等腰三角形,就满意条件的点P 共有（）A2 个B3 个C4 个D5 个4C 分析：分为三种情形： OA=OP , AP=OP , OA=OA ,分别画出即可解答：解：以 O 为圆心,以 OA 为比较画弧交 x 轴于点 P 和 P ,此时三角形是等腰三角形,即 2 个；以 A 为圆心,以OA 为比较画弧交x 轴于点 P （O 除外）,此时三角形是等腰三角形,即1 个；作 OA 的垂直平分线交x 轴于一点 P1,此时三角形是等腰三角形,即1 个；2+1+1=4 ,应选 C点评：此题考查了等腰三角形的判定和坐标于图形性质,解才能,留意不要漏解啊主要考查同学的动手操作才能和理5（ 2022.本溪）如图在直角ABC 中, BAC=90° ,AB=8 ,AC=6 ,DE 是 AB 边的垂直平分线,垂足为 D,交边 BC 于点 E,连接 AE ,就 ACE 的周长为（）A16 B15 C14 D13 5分析：第一连接 AE ,由在直角ABC 中, BAC=90° , AB=8 , AC=6 ,利用勾股定理名师归纳总结 即可求得 BC 的长,又由DE 是 AB 边的垂直平分线,依据线段垂直平分线的性质,即可得第 13 页,共 33 页AE=BE ,继而可得ACE 的周长为： BC+AC - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解答：解：连接 AE,在 Rt ABC 中, BAC=90°,AB=8 ,AC=6 ,BC= AB 2 AC 2=10,DE 是 AB 边的垂直平分线,AE=BE , ACE 的周长为： AE+EC+AC=BE+CE+AC=BC+AC=10+6=16应选 A 点评： 此题考查了线段垂直平分线的性质与勾股定理此题难度不大, 留意把握数形结合思想与转化思想的应用,留意垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等定理的应用6（ 2022.荆门）如图,ABC 是等边三角形,P 是 ABC 的平分线 BD 上一点, PEAB于点 E,线段 BP 的垂直平分线交 BC 于点 F,垂足为点 Q如 BF=2,就 PE 的长为（）A2 B 2 3 C3 D3 6C 分析：先依据ABC 是等边三角形P 是 ABC 的平分线可知EBP=QBF=30° ,再依据BF=2 ,FQ BP 可得出 BQ 的长,再由EBP=30° 即可求出 PE 的长BP=2BQ 可求出 BP 的长,在 Rt BEF 中,依据解：ABC 是等边三角形P 是 ABC 的平分线, EBP= QBF=30° ,BF=2 ,FQBP,BQ=BF.cos3 0°=2×3=3 ,2FQ 是 BP 的垂直平分线,BP=2BQ=2 3 ,在 Rt BEF 中, EBP=30° ,名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - PE=1 2BP=3 应选 C点评： 此题考查的是等边三角形的性质、角平分线的性质及直角三角形的性质,熟知等边三角形的三个内角都是 60°是解答此题的关键7（ 2022.黔东南州）如图,矩形 ABCD 中, AB=3 ,AD=1 ,AB 在数轴上,如以点 A 为圆心,对角线 AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于 M ,就点 M 的坐标为（）A（ 2,0） B（5 1,0）C（10 1 ,0）D（5 ,0）7C 分析：在 RT ABC 中利用勾股定理求出AC ,继而得出AM 的长,结合数轴的学问可得出点 M 的坐标解答：解：由题意得,AC=AB22 BCAC2AD2=10 ,故可得 AM=10 ,BM=AM-AB=10 -3,又点 B 的坐标为（ 2, 0）,点 M 的坐标为（10 -1, 0）应选 C点评： 此题考查了勾股定理及坐标轴的学问,属于基础题,利用勾股定理求出AC 的长度是解答此题的关键,难度一般1（ 2022.铜仁地区）如图,在 ABC 中, ABC 和 ACB 的平分线交于点 E,过点 E 作MN BC 交 AB 于 M ,交 AC 于 N,如 BM+CN=9 ,就线段 MN 的长为（）A 6 B 7 C8 D9考点 ：等 腰三角形的判定与性质；平行线的性质；分析：由 ABC 、 ACB 的平分线相交于点O, MBE= EBC, ECN= ECB,利用两直线平行,内错角相等,利用等量代换可MBE= MEB , NEC= ECN ,然后即可求得结论解答：解 ： ABC 、 ACB 的平分线相交于点 E, MBE= EBC, ECN= ECB, MN BC, EBC= MEB , NEC= ECB,名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - MBE= MEB , NEC= ECN, BM=ME ,EN=CN , MN=ME+EN ,即 MN=BM+CN BM+CN=9 MN=9 ,应选 D点评：此 题考查同学对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的懂得与把握此题关键是证 明 BMO CNO 是等腰三角形2（ 2022.佳木斯）如图, ABC 中, AB=AC=10 ,BC=8 ,AD 平分 BAC 交 BC 于点 D,点 E 为 AC 的中点,连接DE,就 CDE 的周长为（）D13 A 20 B 12 C14 考点 ：直 角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质；分析：根 据等腰三角形三线合一的性质可得AD BC, CD=BD ,再依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=AC,然后依据三角形的周长公式列式运算即可得解解答：解 ： AB=AC ,AD 平分 BAC ,BC=8 , AD BC,CD=BD= BC=4 ,点 E 为 AC 的中点, DE=CE= AC=5 , CDE 的周长 =CD+DE+CE=4+5+5=14 应选 C点评：本 题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,性质,熟记性质并精确识图是解题的关键二、填空题等腰三角形三线合一的8（ 2022.随州）等腰三角形的周长为16,其一边长为6,就另两边为86 和 4 或 5 和 5 分析：此题分为两种情形：6 是等腰三角形的腰或6 是等腰三角形的底边然后进一步依据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形名师归纳总结 解答：解：当腰是6 时,就另两边是4,6,且 4+66,满意三边关系定理；第 16 页,共 33 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当底边是 6 时,另两边长是5,5,5+56,满意三边关系定理,故该等腰三角形的另两边为 6 和 4 或 5 和 5故答案为： 6 和 4 或 5 和 5点评：此题考查了等腰三角形的性质,应从边的方面考查三角形,涉及分类争论的思想方法,难度适中9（2022.泉州）如图,在 ABC 中,AB=AC ,BC=6 ,AD BC 于 D,就 BD= 93 分析：直接依据等腰三角形“ 三线合一 ” 的性质进行解答即可解答：解：ABC 中, AB=AC ,BC=6 ,AD BC 于 D,底边上的中线、 底边BD=1 2BC=1 2×6=3故答案为： 3点评： 此题考查的是等腰三角形的性质,即等腰三角形的顶角平分线、上的高相互重合10（2022.钦州）已知等腰三角形的顶角为80°,那么它的一个底角为10 50°分析：已知给出了等腰三角形的顶角等于 直接可求得答案80°,利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理解答：解：等腰三角形的顶角等于 80°,又等腰三角形的底角相等,底角等于（ 180°-80 °）÷2=50° 故答案为： 50°点评：此题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质；题目比较简洁,属于基础题11（2022.黑龙江）等腰三角形一腰长为5,一边上的高为4,就底边长116 或 2 5 或 4 5分析：依据不同边上的高为 解答：解：如图 1,4 分类争论,即可得到此题的答案当 AB=AC=5 ,底边上的高 AD=4 时,就 BD=CD=3 ,名师归纳总结 故底边长为6；第 17 页,共 33 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如图 2, ABC 为锐角三角形,当AB=AC=5 ,腰上的高CD=4 时,就 AD=3 ,BD=2 ,BC=2242= 2 5 ,AB=AC=5 ,腰上的高CD=4 时,此时底边长为2 5 ；如图 3, ABC 为钝角三角形,当就 AD=3 ,BD=8 ,BC=2 82 44 5 ,4 5 此时底边长为故答案为： 6 或 2 5 或 4 5 点评：此题主要考查了等腰三角形的性质及勾股定理,解题的关键是分三种情形进行争论12（2022.贵阳）如图,在ABA 1中, B=20° ,AB=A1B,在 A 1B 上取一点 C,延长 AA 1到 A 2,使得 A1A 2=A 1C；在 A 2C 上取一点 D,延长 A 1A 2 到 A 3,使得 A 2A 3=A 2D； ,按此名师归纳总结 做法进行下去,An 的度数第 18 页,共 33 页128012n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析：先依据等腰三角形的性质求出BA 1A 的度数,再依据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出CA 2A 1, DA 3A 2 及 EA 4A 3 的度数,找出规律即可得出A n 的