2022年人教版高中数学《导数》全部教案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 导数的背景（5 月 4 日）教学目标 懂得函数的增量与自变量的增量的比的极限的详细意义教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本教学难点 极限思想教学过程一、导入新课1. 瞬时速度问题 1：一个小球自由下落,它在下落3 秒时的速度是多少？析：大家知道,自由落体的运动公式是 s 1 gt 2（其中 g 是重力加速度） . 2当时间增量 t 很小时,从 3 秒到（3t ）秒这段时间内,小球下落的快慢变化不大 . 因此,可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落 3 秒时的速度 . 从 3 秒到（ 3t ）秒这段时间内位移的增量：4 9. t2sss 3ts 3 4 . 9 3t2.4 92 329 .4t从而,vs29.449.t. t 无限趋近于 0 时,t从上式可以看出,t 越小,s 越接近 29.4 米/秒；当 tt无限趋近于 29.4 米/秒. 此时我们说,当 t 趋向于 0 时,当 t 趋向于 0 时,平均速度 s 的极限就是小球下降t瞬时速度 . s 的极限是 29.4. t3 秒时的速度,也叫做一般地,设物体的运动规律是ss（t）,就物体在 t 到（ tt ）这段时间t内的平均速度为ss tts t.假如t 无限趋近于 0 时,s 无限趋近于 ttt某个常数 a,就说当t 趋向于 0 时,s 的极限为 a,这时 a 就是物体在时刻 t的瞬时速度 . 名师归纳总结 2.切线的斜率第 1 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 问题 2：P（1,1）是曲线yx2上的一点, Q 是曲线上点 P 邻近的一个点,当点Q 沿曲线逐步向点 P 趋近时割线 PQ 的斜率的变化情形 . 析：设点 Q 的横坐标为 1x ,就点 Q 的纵坐标为（ 1x ）2,点 Q 对于点 P的纵坐标的增量（即函数的增量）y 1 x 21 2 x x 2,2所以,割线 PQ 的斜率 k PQ y 2 x x 2 x . x x由此可知,当点 Q 沿曲线逐步向点 P 接近时,x 变得越来越小,k PQ 越来越接近 2；当点 Q 无限接近于点 P 时,即 x 无限趋近于 0 时,k PQ 无限趋近于2. 这说明,割线 PQ 无限趋近于过点 P 且斜率为 2 的直线 . 我们把这条直线叫做曲线在点 P 处的切线 . 由点斜式,这条切线的方程为：y 2x 1 . 一般地,已知函数 y f x 的图象是曲线 C,P（x 0, y 0）,Q（x 0 x , y 0 y）是曲线 C 上的两点, 当点 Q 沿曲线逐步向点P 接近时,割线 PQ 围着点 P 转动.当点 Q 沿着曲线无限接近点 P,即 x 趋向于 0 时,假如割线 PQ 无限趋近于一个极限位置 PT,那么直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线 . 此时,割线 PQ 的斜率 k PQ y 无限趋近于切线 PT 的斜率 k,也就是说,当 x 趋向于 0 时,割线xPQ 的斜率 kPQ y 的极限为 k. x3. 边际成本问题 3：设成本为 C,产量为 q,成本与产量的函数关系式为 C q 3 q 2 10,我们来争论当 q50 时,产量变化q对成本的影响 .在本问题中,成本的增量为：2 2 2C C 50 q C 50 3 50 q 10 3 50 10 300 q 3 q . 产量变化 q对成本的影响可用：C300 3 q 来刻划,q越小,C 越接近q q300；当 q 无限趋近于 0 时,C 无限趋近于 300,我们就说当 q 趋向于 0 时,qC 的极限是 300. q名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 我们把C 的极限 300 叫做当 q50 时 qCq 3 q210的边际成本 . 一般地,设 C 是成本, q 是产量,成本与产量的函数关系式为 CC（q）,当产量为 q 时,产量变化 q 对成本的影响可用增量比 C C q 0 q C q 0 q q刻划 . 假如 q 无限趋近于 0 时,C 无限趋近于常数 A,经济学上称 A 为边际q成本 . 它说明当产量为 q 时,增加单位产量需付出成本 A（这是实际付出成本的一个近似值） . 二、小结瞬时速度是平均速度切线的斜率是割线斜率s 当 tt 趋近于 0 时的极限；切线是割线的极限位置,y 当 xx 趋近于 0 时的极限；边际成本是平均成本C 当 qq 趋近于 0 时的极限 . 三、练习与作业：1.某物体的运动方程为s t5 t2（位移单位： m,时间单位： s）求它在t2s时的速度 . 2.判定曲线y2x2在点 P（1,2）处是否有切线,假如有,求出切线的方程. 3.已知成本 C 与产量 q 的函数关系式为C2 q25,求当产量 q80 时的边际成本 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4.一球沿某一斜面自由滚下,测得滚下的垂直距离h（单位： m）与时间 t（单5.位： s）之间的函数关系为h2t,求 t4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 判定曲线y1 x 22在（1,1 ）处是否有切线,假如有,求出切线的方程 2. 6.已知成本 C 与产量 q 的函数关系为C4 q27,求当产量 q30 时的边际成本. 导数的概念（5 月 4 日）教学目标与要求：懂得导数的概念并会运用概念求导数；教学重点 ：导数的概念以及求导数教学难点 ：导数的概念教学过程 ：一、导入新课：上节我们争论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本；虽然它们的实际意义不同,但从函数角度来看, 却是相同的, 都是争论函数的增量与自变量的增量的比的极限；由此我们引出下面导数的概念；二、新授课：1.设函数yf x 在xx0处邻近有定义,当自变量在xx 0处有增量x 时,就函数Yfxfx 0x fx 0,假如时, y 与x 的比y（也 x相应地有增量yx0叫函数的平均变化率）有极限即y 无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数 x名师归纳总结 yfx在xx0处的导数 ,记作y/xx0,即0,而y 可能为 0；第 4 页,共 36 页f/x 0lim x0fx0x fx0x注： 1.函数应在点x 的邻近有定义,否就导数不存在；2.在定义导数的极限式中,x 趋近于 0 可正、可负、但不为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3.y 是函数 xyfx对自变量 x 在x 范畴内的平均变化率,它的几何意义是过曲线名师归纳总结 yf x上点（x 0,fx0）及点x0x ,fx 0x ）的割线斜率；第 5 页,共 36 页4.导数f/x0lim x0fx0xfx 0是函数yfx在点x 的处瞬时变化率,x它反映的函数yfx在点x 处变化的快慢程度,它的几何意义是曲线yfx上点（x 0,fx0）处的切线的斜率； 因此,假如yfx在点0x 可导,就曲线yfx在点（x 0,fx0）处的切线方程为yfx 0f/x 0xx 0；5.导数是一个局部概念,它只与函数yf x 在x 及其邻近的函数值有关,与x 无关；6.在定义式中,设xx0x,就xxx 0,当x 趋近于0 时, x趋近于x ,因此,导数的定义式可写成f/x 0lim x ofx 0xfx 0x lim x 0fx fx 0；xxx07.如极限lim x0fx0xfx0不存在,就称函数yfx在点0x 处不行导；x8.如fx在x 可导,就曲线yfx在点（x 0,fx0）有切线存在；反之不然,如曲线yfx在点（x 0,fx 0）有切线,函数yfx在0x 不肯定可导,并且,如函数yfx在0x 不行导,曲线在点（x 0,fx 0）也可能有切线；一般地 ,lim x0abxa,其中a,b为常数；特殊地 ,lim x0aa；假如函数yfx在开区间a,b内的每点处都有导数,此时对于每一个xa,b,都对应着一个确定的导数f/ x ,从而构成了一个新的函数f/ x ；称这个函数f/ x为函数yfx在开区间内的 导函数 ,简称 导数 ,也可记作/y ,即f/ x/y lim x0ylim x0fxxfxxx函数yf x 在x 处的导数y/xx 0就是函数yfx在开区间a,bxa,b 上导数f/ x 在x 处的函数值, 即y/xx0f/ x 0；所以函数yfx在x 处的导数也记作- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f/ x 0；注： 1.假如函数yfx在开区间a,b 内每一点都有导数,就称函数yfx在开区间a ,b内可导；2.导数与导函数都称为导数,这要加以区分：求一个函数的导数,就是求导函数；求一个函数在给定点的导数,就是求导函数值；它们之间的关系是函数lim x0yxfx在点x 处的导数就是导函数f/ x 在点0x 的函数值；fxfx3.求导函数时,只需将求导数式中的0x 换成 x就可,即f/ x x4.由导数的定义可知,求函数yfx的导数的一般方法是：（1）.求函数的转变量yfxxfx；（2）.求平均变化率yfxx fx ；xx（3）.取极限,得导数/y lim x0y；x例 1.求y2x21在 x 3 处的导数；例 2.已知函数yx2x（1）求/y ；yx2x在 x 2 处的导数；（2）求函数小结 ：懂得导数的概念并会运用概念求导数；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 练习与作业：1.求以下函数的导数：（1）y3x4；（2）y51x2x3y3y3 x212 x32.求函数yx21在 1,0,1 处导数；3.求以下函数在指定点处的导数：（1）yx2 x02；1（2）y1x2 x0x00；3（3）yx2 2 x0（ 4）yx2x ,1 . 4.求以下函数的导数：（1）y4x3;1（2）y102x2；（3）y2x3 x ;（4）7；y2x名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5.求函数yx22 x在 2,0,2 处的导数；教学目标导数的概念习题课（5 月 6 日）懂得导数的有关概念,把握导数的运算法就教学重点导数的概念及求导法就教学难点导数的概念一、课前预习1.f x 在点x 处的导数是函数值的转变量与相应自变量的转变量的商当2.如 f x 在开区间（ a,b）内每一点都有导数 f / x ,称 f / x 为函数 f x 的导函数；求一个函数的导数,就是求；求一个函数在给定点的导数,就是求.函数 f x 在点 x 处的导数就是. / n / *3.常数函数和幂函数的求导公式： c _ x _ n N 4.导数运算法就：如,就：fxgx /f/xg/x cfx /cf/x 二、举例例 1.设函数fx x21,求：（1）当自变量x 由 1 变到 1.1 时,自变量的增量x ；（2）当自变量x 由 1 变到 1.1 时,函数的增量y ；（3）当自变量x 由 1 变到 1.1 时,函数的平均变化率；（4）函数在 x 1 处的变化率 . 例 2.生产某种产品q 个单位时成本函数为Cq 2000 . 05 q2,求（1）生产 90 个单位该产品时的平均成本；（2）生产 90 个到 100 个单位该产品时,成本的平均变化率；名师归纳总结 （3）生产 90 个与 100 个单位该产品时的边际成本各是多少. 第 8 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3.已知函数fx x2,由定义求f/ x ,并求f/ 4 . 例 4.已知函数fx axb 2a,b 为常数 ,求f/ x. 例 5.曲线y3 x 22上哪一点的切线与直线y3x1平行？三、巩固练习1.如函数fx3 x,就 f2 /, . （ 2）f/ x 01,2.假如函数yfx在点x 处的导数分别为：（1）f/ x 00（3）f/ x01（4）f/ x 02试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角. 3.已知函数fx x2 x2,求/f 0 ,f/144.求以下函数的导数（1）y1x223x2（2）y1x321x25 x1243（3）yx 3 x4 （4）y2 x1 3x2 四、作业名师归纳总结 1.如lim x 0fx存在,就lim x 0fx/第 9 页,共 36 页2.如fx x2,就lim x 1fxf 1 x1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3.求以下函数的导数：（1）y2x420 x240 x1（2）y32x4x25x321x46（3）y2x31 3 x2x （4）yx2 2x135x,试求：4.某工厂每日产品的总成本C 是日产量 x 的函数,即Cx10007x（1）当日产量为 100 时的平均成本；（2）当日产量由 100 增加到 125 时,增加部分的平均成本；（3）当日产量为 100 时的边际成本 . 25.设电量与时间的函数关系为 Q 2 t 3 t 1,求 t3s 时的电流强度 . 6.设质点的运动方程是s3 t22 t1,运算从 t2 到 t2t 之间的平均速度,并运算当t 0.1 时的平均速度,再运算t2 时的瞬时速度 . 0,试求这条切线的方程. 7.如曲线y3x21的切线垂直于直线2x6y328.在抛物线y2xx2上,哪一点的切线处于下述位置？（1）与 x 轴平行（2）平行于第一象限角的平分线 . （3）与 x 轴相交成 45° 角9.已知曲线y2x2 x上有两点 A （2,0）,B（1,1）,求：名师归纳总结 （1）割线 AB 的斜率kAB；（2）过点 A 的切线的斜率kAT；第 10 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）点 A 处的切线的方程 . 10.在抛物线yx2上依次取M（1,1）,N（3,9）两点,作过这两点的割线,问：抛物线上哪一点处的切线平行于这条割线？并求这条切线的方程 . 11.已知一气球的半径以 10cm/s 的速度增长,求半径为 10cm 时,该气球的体积与表面积的增长速度 . 12.一长方形两边长分别用x 与 y 表示,假如x 以 0.01m/s 的速度减小, y 边以 0.02m/s 的速度增加,求在x20m,y15m 时,长方形面积的变化率0. 0x0）的切线与两坐标轴围13.（选做）证明：过曲线xya2上的任何一点（x 0, y）（成的三角形面积是一个常数 .（提示： 1 / 12）x x导数的应用习题课（5 月 8 日）教学目标 把握导数的几何意义,会求多项式函数的单调区间、极值、最值教学重点 多项式函数的单调区间、极值、最值的求法教学难点 多项式函数极值点的求法、多项式函数最值的应用一、课前预习名师归纳总结 1.设函数yfx在某个区间内有导数,假如在这个区间内,就yfx是这个第 11 页,共 36 页区间内的；假如在这个区间内,就yfx是这个区间内的. 2.设函数yfx在xx0及其邻近有定义,假如fx0的值比x 邻近全部各点的值都大（小）,就称fx 0是函数yfx的一个. 3.假如yfx在某个区间内有导数,就可以这样求它的极值：（1）求导数；（2）求方程的根（可能极值点）；（3）假如在根的左侧邻近为,右侧邻近为,就函数yfx在这个根处取得极值；假如在根的左侧邻近为,右侧邻近为,就函数yfx在这个根处取得极值. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4.设yfx是定义在 a,b上的函数,yfx在a,b内有导数,可以这样求最值：（1）求出函数在 a,b内的可能极值点（即方程,f/ x 0在a,b内的根x 1,x 2,x n）；（2）比较函数值fa,fb与fx 1,fx2,fx n,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 二、举例例 1.确定函数fx 2x39x212 x3的单调区间 . ,问：从 t0 到 t10 这段时间内,7t315 t233t4例 2.设一质点的运动速度是vt4运动速度的转变情形怎样？例 3.求函数fx1x339x4的极值 . x 2 处取得极值,试确定a 和 b 的值,3例 4.设函数fx1ax1bx2x在1x 1 与32并问此时函数在1x 与x 处是取极大值仍是微小值？. 例 5.求函数fx 3 x39x5在2,2上的最大值和最小值例 6.矩形横梁的强度与它断面的高的平方与宽的积成正比例,要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁,断面的宽和高应为多少？名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 7.求内接于抛物线y12 x与 x 轴所围图形内的最大矩形的面积. 例8. 某 种 产 品 的 总 成 本C （ 单 位 ： 万 元 ） 是 产 量x （ 单 位 ： 万 件 ） 的 函 数 ：Cx 1006x0 . 04 x2.002 x3,试问：当生产水平为x10 万件时,从降低单位成本角度看,连续提高产量是否得当？三、巩固练习1.如函数fx在区间 a,b内恒有f/ x 0,就此函数在 a,b上的最小值是2.曲线y41x31x2x1x1的极值点是f432a在 x1 处取得极大值2,就 a . x3 axax 2ax3.设函数4.求以下函数的单调区间：（1）y2x33 x212x1（2）yx12 x2 5.求以下函数的极值：（1）yx24x6,（2）yx33 x29x5, 4,4 6.求以下函数的最值：名师归纳总结 （1）yx24x6,3,10（2）y3 x3x2,1,4 第 13 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7.设某企业每季度生产某个产品q 个单位时,总成本函数为Cq aq 3bq2cq,（其中a 0,b0,c0）,求：（ 1）使平均成本最小的产量（本. 2）最小平均成本及相应的边际成8.一个企业生产某种产品,每批生产q2q 单位时的总成本为Cq3q（单位：百元） ,可得的总收入为R q 6 q（单位：百元） ,问：每批生产该产品多少单位时,能使利润最大？最大利润是多少？9.在曲线y1x2x0 ,y0 上找一点（x 0, y 0）,过此点作一切线,与x 轴、 y 轴构成一个三角形,问：x 为何值时,此三角形面积最小？3 10q87 10,通过市场调查,10.已知生产某种彩色电视机的总成本函数为C q 2.2可以估计这种彩电的年需求量为.q.3110 550p,其中p（单位：元）是彩电售价, q（单位：台）是需求量试求使利润最大的销售量和销售价格. 多项式函数的导数（5 月 6 日）教学目的 ：会用导数的运算法就求简洁多项式函数的导数教学重点 ：导数运算法就的应用 教学难点 ：多项式函数的求导 一、复习引入名师归纳总结 1、已知函数fx x2,由定义求f/x ,并求f/4 第 14 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、依据导数的定义求以下函数的导数：（ 1）常数函数yC（2）函数yn xnN*二、新课讲授1、两个常用函数的导数：C/0x n x/g/nxn1nN*2、导数的 运算法就 ：有导数,那么假如函数fx、ggx/f/x x ；fx Cfx /Cf/x也就是说, 两个函数的和或差的导数,等于这两个函数的导数的和或差；常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数 . 例 1：求以下函数的导数：（ 1）y7x3（2）y3x4（3）y4 x5b33 x（ 4）yx21 x2 （5）fx axb 2 a、为常数 例 2：已知曲线y1 x 33上一点P8 ,3,求：（1）过点 P 的切线的斜率；（2）过点 P 的切线方程 . 三、课堂小结：多项式函数求导法就的应用名师归纳总结 四、课堂练习：1、求以下函数的导数：（4）y3 x34x第 15 页,共 36 页（1）y8x2（2）y2x1（3）y2 2 xx 2 x3x1 3x（5）y2x2（ 6）y4 2、已知曲线y4xx2上有两点 A （4, 0）,B（2,4）,求：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）割线 AB 的斜率kAB；（2）过点 A 处的切线的斜率kAT；（3）点 A 处的切线的方程. 3、求曲线y3 x24x2在点 M （2,6）处的切线方程. 五、课堂作业 1、求以下函数的导数：（1）y5x24x1（2）y5 x23 x7（3）y7x213 x10（4）y3x3x3（5）y2x 33x25x4（6）fx2x3x（7）fx 3 x423 x340x10（8）fx x2 2x（9）fx 2x31 3 x2x（ 10）y3 2x124 x2、求曲线y2xx3在x1处的切线的斜率；3、求抛物线y1 x 42在x2处及x2处的切线的方程；4、求曲线yx33x21 在点 P（2, 3）处的切线的方程；函数的单调性与极值（5 月 10 日）教学目标 ：正确懂得利用导数判定函数的单调性的原理；把握利用导数判定函数单调性的方法；教学重点 ：利用导数判定函数单调性；教学难点 ：利用导数判定函数单调性 教学过程 ：一 引入：以前, 我们用定义来判定函数的单调性小,在函数 y=fx 比较复杂的情形下,比较判定函数的单调性就比较简洁 .二 新课讲授.在假设 x 1<x 2 的前提下, 比较 fx 1<fx 2与的大 fx 1与 fx 2的大小并不很简洁 .假如利用导数来1 函数单调性2我们已经知道,曲线 y=fx 的切线的斜率就是函数 y=fx 的导数 .从函数 y x 4 x 3的图像可以看到：在区间（2,）内,切线的斜率为正,函数 y=fx 的值随着 x 的增大而增大,即 /y >0 时,函数 y=fx 在区间（ 2,）内为增函数；在区间（,2）内,切线的斜率为负,函数 y=fx 的值随着 x 的增大而减小,即 /y 0 时,函数 y=fx 在区间（,2）内为减函数 . 定义：一般地,设函数 y=fx 在某个区间内有导数, 假如在这个区间内 /y >0,那么函数 y=fx 在为这个区间内的增函数；,假如在这个区间内 /y <0,那么函数 y=fx 在为这个区间内的减函数；名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1 确定函数yx22x4在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数；例 2 确定函数y23 x6x27的单调区间；y 0 2 x 2 极大值与微小值观看例 2 的图可以看出, 函数在 X=0 的函数值比它邻