2022年《线性代数与概率统计》课后答案.docx
名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载线性代数第一章参考答案一、 挑选题1.D 2.D 3.C 4.C 5.C 6.C 7.A 8.B 9.B 10.A 二、填空题1. 7 222. -8 、4 433.-3 、3 4.6 ain1aii5-a 13 aa 31 a44、a 14 a22a31 a 6. 72 7.0、0 8. 三、运算题31111111x6111148bx111ax1ab 第 1 页,共 43 页 1.解：13116131102001131113100201113111310002x1111x111xxx2. 解：1 11x11111100xx11111110x0x1x1111ba101b11000x11x1x0 0x0xx40xxaabbbab000xabbb003. 解：abababba0a0baba0ab00babbabbbabbbaab2a2b2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载nx a i a 1 a 2 a ni 1x a 1 a 2 a n na 1 x a 2 a n x a i x a 2 a ni 14.解：D n 1 a 1 a 2 x a n nx a i a 2 x a ni 1a 1 a 2 a 3 x nx a i a 2 a 3 xi 11 a 1 a 2 a nn 0 x a 1 0 0 n nx a i 0 a 2 a 1 x a 2 0 x a i x a ii 1 i 1 i 10 a 2 a 1 a 3 a 2 x a n5 . 解：当 n 2 时,Dn x 1 x 2；当 n 2 时,x 1 1 x 1 2 x 1 n x 1 1 1 1x 2 1 x 2 2 x 2 n x 2 1 1 1D n c i c i 1 0x n 1 x n 2 x n n x n 1 1 1a 11 a 12 a 13四; 设 D a 21 a 22 a 23,ija 取 0 或 1,如 D 的第一列元素全为零, ,就 D=0,结论成立；否就,第一列中至少有a 31 a 32 a 331 a 12 a 13一个非零元素, 设 a 11 1,当 a 21,a 31 不全为零时, 通过初等变换可把行列式变为 D 0 b 22 b 23 b 22 b 33 b 23 b 32,0 b 32 b 33其中 b ij a ij 或 b ij a ij a 1 j,因此ijb 1,故 D 2 .1 1 1五、 1、解方程组有非零解,就系数行列式 D 1 1 1 0,而由1 1 13 1 1 1 1 12D 3 1 1 1 0 0 1 0 可知3 1 1 0 00或 1 时齐次线性方程组有非零解；细心整理归纳 精选学习资料 第 2 页,共 43 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2、解：系数行列式D11x 311优秀学习资料欢迎下载12234549162511118276412511117248D2D 1134521451916254116251276412548D 481641251211111111D323152341491254916182711256,D34827641故x 1D14,x2D2,x 4D41DDDD线性代数其次章参考答案一、 挑选题1.A 2.D 3.D 4.B 5.B 6.C 7.C 8.D 9.A 10.B 二、填空题1.E 2. A13. 3E 4.1A2 E9. 1 5. 16 、7293166. 0 7. -6 8.n 2三、运算题1.解:1031410= 921 第 3 页,共 43 页 11321022019911细心整理归纳 精选学习资料 134 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载AEE310故5552.解：AB611117322555T5617BTT AABT61115131732251122ABBT AT0111211014121403.解: 由BEA1EA,左乘EA得EABEA即ABABE,于是有ABEBE2E,即1BE21000故EB11AE1200；202307100344. 解：Ar 1r 315171r 2r 3r 42 r 17 r 111 r 11512113209111007135403644431184011063777015171091110000030000020714故RA3212270是一个最高阶非零子式；1515.AE32011000r r r1r 33 r 1r 412302210100012100013212320010049510300121000102210100r r34 4r r212320010100010401202161101000101420010113600101136000121610000121610 第 4 页,共 43 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A11034优秀学习资料欢迎下载0101113621610四、证明题 （此题共 2 小题,每题 6 分,满分 12 分）1.A、B 为 n 阶方阵且满意2A1 BB4 E,证明：A2E可逆；EE,即BA；证：2A1BB4E,故2AA1BAB4AAB2B4A即A2EB4AA2E1BA1E, 由逆矩阵的定义可知4A2E可逆,且A2E11BA142. 设 n 阶矩阵A,B满意ABAB, E 为 n 阶单位矩阵（1） 证明AE为可逆矩阵 .（4 分）（2） 证明：ABBA.（3 分）证：（1）由已知等式ABAB有ABABEE,即AEB,即有ABAE为可逆矩阵 ,且AE1BE；（2）由AE,BE互为可逆矩阵知AEBEBEAE2222五、 设A2222,求2 A ,An2222222216000A20160016E0016000016当 n 为偶数,即n2 k,k1时,n A2 Ak2 Akk 16E当 n 为偶数,即n2k1,k1时,AnA2kAA 2kAk 16A线性代数第三章综合自测题细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 43 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -一、单项挑选题 （在四个备选答案中,优秀学习资料欢迎下载此题共 10 小题,只有哪一项正确的,将正确答案前的字母填入下面横线上；每道题 3 分,共 30 分）1. 假如向量 能由向量组1,2,2,m线性表示,就（k1D ）；2kmm（A ）存在一组不全为零的数k,km,使得1k21,k,（B）对 的线性表示惟一（C）向量组,1,2,m线性无关D ）；（D）存在一组数k1,k2,km,使得k1 1k22kmm2. 向量组1,2,t线性无关的充分条件是（C ）（A）1,2,t均为非零向量；（B）1,2,t的任意两个向量的重量不成比例；（C）1,2,t中任意部分向量组线性无关；（D）1,2,t中有一个部分向量组线性无关；3. 如1,2,m线性相关,且k 11k22kmm0,就（A ）k1k2km0（B）k1,k2,km全不为零（C）k1,k2,km不全为零（D）上述情形都有可能4. 一个mn阶矩阵 A 的秩为 m ,就以下说法正确选项（A ）（A）矩阵 A 的行向量组肯定线性无关；（C）矩阵 A 的行向量组肯定线性相关（B）矩阵 A 的列向量组肯定线性无关； （D）矩阵 A 的列向量组肯定线性相关；5. 两个 n 维向量组 A ：1,2,s,B：1,2,t,且RA RBr,于是有（r；C ） 第 6 页,共 43 页 （A ）两向量组等价,也即可以相互线性表出；（B）R1,2,s,1,2,t（C）当向量组A 能由 B 线性表出时,两向量组等价；（D）当st时,两向量组等价；6. 如向量组, ,线性无关,向量组,线性相关,就（C ）； , ,线性表示（A） 必能由,线性表示（B） 必不能由（C） 必能由 ,线性表示（D） 必不能由,线性表示7. 以下命题中正确选项（D ）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载（A）如向量组的秩为 r ,就该向量组的其中的任意 r 个向量均线性无关；（B）如向量组中有 r +1 个向量线性相关,就该向量组的秩肯定至多等于 r ；（C）向量组 A 与向量组 B 等价的充要条件是 R A R B ；（D）可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数；8. 已知n 维向量组（）： 1,2,m和（）： 1,2,s的秩都等于r,那么下述命题不正确选项（A ）；（A）如ms,就向量组（）与向量组（）等价（B）如向量组（）是向量组（）的部分组,就向量组（）与向量组（）等价（C）如向量组（）能由向量组（）的部分组表示,就向量组（）与向量组（）等价（D）如R1,2,m, 1,2,sr,就向量组（）与向量组（）等价D ）3,45= 9. 设1 1,1,1 ,2 ,123, ,3=,13 ,t ,当1,2,3线性无关时,t 不等于（ A） 1 ；（B）2；（ C）3；（D）以上都不对10. 设 A 是mn矩阵, B 是nm矩阵,就（B ）（ A）当mn时,AB0；（B）当mn时,AB0；（ C）当nm时,AB0；（D）当nm时,AB0；二、填空题（本大题共10 个空,每个空2 分,满分 20 分）1. 已 知2, 1 , 3 , 5, ,2 ,3,7, 就 3= 10,1,12 ,2 212,1 4,3,15；5 , 就= 2. 已 知1,25 3,1, ,22 1, ,25 ,341, ,1,1 , 且31225,2 ,2,73；33. 一个向量组含有两个或两个以上的最大无关组,就各个最大无关组所含向量个数必相等；4. 设1,2,3是 3 维线性无关的向量组,A 为 3 阶方阵,且A112,A223,A313,就 A = 2 ,R A 3 ；3 就,最大无关5. 向量组1=（2,3,-1,5）,2=（6,3,-1,5）,3=（4,1,-1,7）的秩 = 组为1,2,3；r3maxr 1 r2,6. 两个 n维向量组 A：1,2,m,B：1,2,m,R Ar 1,R Br2,R A ,B细心整理归纳 精选学习资料 第 7 页,共 43 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载r 1 r 2,3r 的大小关系是：max r 1 , r 2 r 3 r 1 r 2；7. 如向量 ,1 2 , t ,可由向量组 1 1,1,2 ,2 ,1 2 7, ,3 ,1 ,1 4 线性表示,就 t = 5 ；8. 已知向量组 1 ,1 2 , 1 1, ,2 2 , 0 , t 0, ,3 0 , 4 5, , 2 的秩为 2,就 t = t = 3 ；9 已知向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关,如向量组 1 k 2, 2 3, 3 4, 4 1 线性相关,就 k1 ；10. n 维向量组 1 , 2 , , m 3 m n ,而 1 , 2 , , m 中任何一个向量都不能用其余向量线性表示,是该向量组线性无关的 充要 条件；三、 运算题（本大题共 3 个小题,第 1,2 小题每题 5 分,第三小题 10 分,满分 20 分）T T T T1已知 1 ,1 ,1 0 , 0 , 2 0 ,1,1, 1 , 3 3,1 , 2 1, , 4 2 6, , 4 1, ,争论向量组 1 , 2 , 3 , 4 及向量组1 , 2 , 3 的线性相关性；解：令1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 21 1 3 6 0 1 2 4 0 1 2 4A 1 , 2 , 3 , 40 1 2 4 0 1 2 4 0 0 0 00 1 1 1 0 1 1 1 0 0 3 51 0 1 20 1 2 4,0 0 3 50 0 0 0故,R 1 , 2 , 3 , 4 R 1 , 2 , 3 3,所以 1 , 2 , 3 , 4 线性相关,而 1 , 2 , 3 线性无关；2.已知向量组 1 1,0 , 1 T , 2 a , 2 1, T , 3 b 0,1, T与向量组 1 2,1 , 3 T , 2 ,3 0 1, T , 3 9 , ,6 7 T具有相同的秩,且 3 可由 1 , 2 , 3 线性表示,求 a, b 的值；1 3 9 b 1 3 9 b解：由于 1 , 2 , 3 , 3 2 0 6 1 0 6 12 1 2 b3 1 7 0 0 0 0 5 b故 R 1 , 2 , 3 2 又由于 向量组 1 , 2 , 3 与向量组 1 , 2 , 具有相同的秩,且 3可由 1 , 2 , 3 线性表示,所以 R 1 , 2 , 3 R 1 , 2 , 3 , 3 R 1 , 2 , 3 2故,5 b 0 b 5；细心整理归纳 精选学习资料 第 8 页,共 43 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -就1,2,30a51251优秀学习资料a欢迎下载15；121031a,故50a31100033. 利用初等变换法求以下矩阵的列向量组的秩及一个最大无关组；（ 10 分）1 0 2 12 1 1 1 21 2 0 11 1 2 1 4（1）（ 2）2 1 3 04 6 2 2 42 5 1 43 6 9 7 91 1 3 12 1 1 1 2 1 1 2 1 41 1 2 1 4 0 1 1 1 0解： 1. 令 A=4 6 2 2 4 0 0 0 1 33 6 9 7 9 0 0 0 0 0T T故 R A 3,且 2 ,1,4,3,1 ,1, ,6 6 ,1,1 2 7, 为最大线性无关组；10221T002151T0210041T是它的列向量组的最大线性无1201（2）令 A=21302514113110211022001100110011200020001055200020000011200020000故R A3 ,且1121,211,1关组；四、 证明题（本大题共3 个小题,每题10 分,满分30 分）1. 证 明 ： 向 量 组,1,2,r线 性 无 关 的 充 分 必 要 条 件 是 向 量 组11,212,r12rr线性无关；r知证明：不妨假设,1,2,为列向量组,由11,212,r12 第 9 页,共 43 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载1 2 r 能由 1 , 2 , , r 线性表示,故 R 1 2 r R 1 2 r（1）1 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1且,1 2 r 1 2 r（* ）,令 K,明显 K 1 0,0 0 1 0 0 1也即 K 可逆；（*）式两边同时右乘 K 1,有 1 2 rK 11 2 r也即 1 , 2 , , r 能由 1 2 r 线性表示,故 R 1 2 r R 1 2 r（2）由（1）,（2）得 R 1 2 r R 1 2 r,也即 1 , 2 , , r 与 1 2 r 有相同的 线 性 相 关 性 , 故 向 量 组 1 , 2 , , r 线 性 无 关 的 充 分 必 要 条 件 是 向 量 组 1 1,2 1 2 , , r 1 2 r 线性无关；2. 证明：假如 n 维单位坐标向量组 1 , 2 , , n 可以由 n 维向量组 1 , 2 , , n 线性表示,就向量组1 , 2 , , n 线性无关；证 明 ： 因 为 n 维 单 位 坐 标 向 量 组 1 , 2 , , n 可 以 由 n 维 向 量 组 1 , 2 , , n 线 性 表 示 , 所 以R 1 , 2 , n R 1 , 2 , n , 又 因 为 1 , 2 , , n 线 性 无 关 , 所 以 R 1 , 2 , n n, 故R 1 , 2 , n n,所以 1 , 2 , , n 线性无关；T T T T T3. 设 1 ,1 ,1,1 1 , 2 3 ,1,1, 3 , b 1 2 , 1,1,0 , b 2 ,3 ,1 2 , 0 , b 3 ,1,1 ,0 2 ,证明向量组 1, 2 与向量组 b 1 , b 2 , b 3 等价；1 3 2 3 1 1 3 2 3 11 1 0 1 1 0 2 1 1 1证明：由于 1 , 2 , b 1 , b 2 , b 3 =1 1 1 2 0 0 0 0 0 01 3 1 0 2 0 0 0 0 0故而 R 1 , 2 = R b 1 , b 2 , b 3 = R 1 , 2 , b 1 , b 2 , b 3 2,因此向量组 1, 2 与向量组 b 1 , b 2 , b 3 等价；线性代数第四章综合自测题一、 单项挑选题（在四个备选答案中,只有哪一项正确的,将正确答案前的字母填入下面横线上；此题共 10 小题,每道题 3 分,共 30 分）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 43 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1. 已知u1,u2是非齐次线性方程组AX优秀学习资料欢迎下载AX0的基础解系,c 1,c2为B的两个不同的解,v 1,v2是其对应导出组任意常数,就非齐次线性方程组AXB的通解是（B ）B、c 1v 1c2v1v2u12u2A、c 1v 1c2v 1v2u 12u2C、c 1v 1c2u1u2u 12u2D、c1 v1c 2u1u2u 12u22.设方程组的系数行列式为零,就（D ）A 、方程组有无穷多解；B、方程组无解；C、方程组有唯独解；D、方程组可能无解,也可能有无穷多解；3. A 为mn阶矩阵,就关于齐次方程组的结论是（nC ）mn时,方程组仅有零解；m个线性无关的解向量；A 、B、mn时,方程组有非零解,且基础解系含有C、如 A 有 n 阶子式不为零,方程组仅有零解；D、如 A 全部n-1 阶子式不为零,方程组仅有零解4. v 1,v2,v 3为齐次线性方程组AX0的一个基础解系,就（D ）也是该方程组的基础解系； 第 11 页,共 43 页 - - - - - - - - - A、v 1v 33,v2v3,v13 v22 v3；B、v 12v2v 3,v 1v2,v2v 3；C、与v 1,v2,v3等价的同维向量组1,2,3,4； D、与v1,v2,v3等价的同维向量组1,2,3；105. 要使10,21都是线性方程组AX0的解,只要系数矩阵A 为（ A ）21 A 211B201C102D011422011011011x 1x206. 齐次线性方程组x2x30,_ C _ 是它的一个基础解系；x 1x30214011A 、2,1B、4,1C、1D、0204111细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载x 1 x 2 07. 方程组,当 =_ B _ 时,方程组有非零解；x 1 x 2 0A 、0 B、± 1 C、 2 D、 任意实数8.对于n元线性方程组,以下命题中正确选项（D ）A 、AX B 有唯独解 R A n；B、AX 0 仅有零解,就 AX B 有唯独解；C、AX 0 有非零解,就 AX B 有无穷多解；D、AX B 有两个不同的解,就 AX B 就有无穷多组解；9.n阶矩阵 A 的相伴矩阵 A 非零,假如 1 , 2 , 3 , 4 是非齐次线性方程组 AX B 的互不相同的解,就导出组AX 0 的基础解系所含解向量的个数是（C ）A 、3 个；B、 2 个；C、1 个；D、0 个；10. 设 A 为 m n 阶矩阵,非齐次线性方程组 AX
