2022年上海市高中数学知识点总结.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载高中数学学问点总结 1. 对于集合,肯定要抓住集合的代表元素,及元素的“ 确定性、互 异性、无序性” ；如：集合Ax ylgx,By ylgx,C , | x y ylgx,A、B、C中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时,不要遗忘集合本身和空集 的特别情形；留意借助于数轴和文氏图解集合问题；空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集； 3. 如：集合A2 x x2x30,Bx ax12n；如BA,就实数 的值构成的集合为（答：1, ,01）3留意以下性质：（ ）集合a 1,a2, ,an的全部子集的个数是（ ）如ABABA,ABB；（3）德摩根定律： 4. C UABCUAC UB,C UABC UACUB,求实数a你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于x的不等式ax50 的解集为M,如3M且5M2 xa的取值范畴；（3M,a·350a1,59,25） 第 1 页,共 45 页 2 3a5M,a·55032 5a细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载,“ 且” 和5. 可以判定真假的语句叫做命题,规律连接词有“ 或”“ 非” .如 p q 为真,当且仅当 p、 均为真如 p q 为真,当且仅当 p、 至少有一个为真如 p 为真,当且仅当 p 为假 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题；）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假； 7. 对映射的概念明白吗？映射f ：AB,是否留意到A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯独性,哪几种对应能构成映射？（一对一,多对一,答应B 中有元素无原象；） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法就、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？Fxf x fx的定例：函数yx4x2的定义域是 10. lgx3（答：0,22,33,4）如何求复合函数的定义域？如：函数f x 的定义域是a,b,ba0,就函数义域是 _；（答：a,a） 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 45 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 12. 学习必备欢迎下载如：fx1exx,求f x .令tx1,就t0 xt21 f t et21t21f x ex21x21x0反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤把握了吗？（反解 x；互换 x、y；注明定义域） 13. 如：求函数f x 1xxx0的反函数2x0（答：f1 x1xxx10）反函数的性质有哪些？互为反函数的图象关于直线yx 对称；储存了原先函数的单调性、奇函数性； 14. 设yfx的定义域为A,值域为C,aA,bC,就fa = bf1 af1f a f1 a,f f1 f a b如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判定复合函数的单调性？（yf u ,u ,就yff 为增函数,否就f 为减函数；） 第 3 页,共 45 页 （外层）（内层） 当内、外层函数单调性相同时细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -如：求ylog 1x22x学习必备欢迎下载的单调区间2（设uux22x,由u20 就0x2且log 1,x1u1,如图：2u O 1 2 x 当x0,1 时,u,又log1u,y2当x 1,2时,u,又log1u,y2 ） 15. 如何利用导数判定函数的单调性？ 第 4 页,共 45 页 - - - - - - - - - 在区间a,b内,如总有f'x0就f x 为增函数；（在个别点上导数等于零,不影响函数的单调性）,反之也对,如f'x0 呢？如：已知a0,函数f x x3ax 在1,上是单调增函数,就a 的最大值是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （令 f' 3x2a3xaxa033就xa或xa33由已知f x 在1,上为增函数,就a1,即a33a 的最大值为3） 16. 函数 fx具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载（fx 定义域关于原点对称）如fxf x 总成立f x 为奇函数函数图象关于原点对称如函数图象关于y轴对称fxf x 总成立f x 为偶函数留意如下结论：（1）在公共定义域内： 两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数；（ ）如fx是奇函数且定义域中有原点,就f00；42x1,如：如f x a·2xa2为奇函数,就实数a2x11 时,f x （f x 为奇函数,xR,又0R,f 0即a·20a20,a1）021又如：f x 为定义在1,1 上的奇函数,当x0,x求f x 在1,1上的解析式；（令x1,0,就x0,1,fx42x1x又f x 为奇函数,f x 42x112xx4x2xx1,0又f 0,f x 44x11x01）xx0,f x ,就f x 为周期2x 17. 你熟识周期函数的定义吗？（如存在实数T（T0）,在定义域内总有f xT函数, T 是一个周期；）如：如f xaf x ,就 第 5 页,共 45 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（答：f x 是周期函数,T2学习必备欢迎下载a 为f x 的一个周期）又如：如 f x 图象有两条对称轴 x a,x b即 f a x f a x ,f b x f b x 就 f x 是周期函数,2 a b 为一个周期如： 18. 你把握常用的图象变换了吗？f x 与fx的图象关于y轴 对称a a f x 与f x 的图象关于x轴 对称f x 与fx的图象关于 原点 对称f x 与f1 的图象关于 直线yx对称f x 与f2ax的图象关于直线xa对称f x 与f 2 ax的图象关于 点 a,0 对称将yf x 图象左移a a0 个单位yf x右移yf xa a0 个单位上移b b0 个单位yf xa b下移b b0 个单位yf xa b留意如下“ 翻折” 变换：f x f x 第 6 页,共 45 页 f x f| |细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -如： f x log 2x1ylog2x学习必备欢迎下载作出ylog2x1及1的图象y y=log 2x O 1 x 19. 你娴熟把握常用函数的图象和性质了吗？k<0 yk>0 y=b O Oa,bx x=a （ ）一次函数：ykxkb k00ybxkak0是中心O a,b （ ）反比例函数：yk推广为x的双曲线；（ ）二次函数y2 axbxc a0a xb24acb2图象为抛物线2 a4 a顶点坐标为b,4 acab2,对称轴xb2 a42 a开口方向：a0,向上,函数ymin4acb2b24 aa0,向下,ymax4 aca4应用：“ 三个二次” （二次函数、二次方程、二次不等式）的细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 45 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载关系二次方程ax2bxc0,0时,两根x1、x2为二次函数yax2bxc 的图象与x轴的两个交点,也是二次不等式ax2bxc00解集的端点值；求闭区间 m,n上的最值；求区间定（动）,对称轴动（定）的最值问题；一元二次方程根的分布问题；0如：二次方程ax2bxc0的两根都大于kbk2af k 0y a>0 O k x1x 2x 一根大于k,一根小于kf k 0（ ）指数函数：yaxa0,a1（ ）对数函数ylogax a0,a1由图象记性质！0<a<1 y=log axa>1 （ ）“ 对勾函数”yxk x k0 第 8 页,共 45 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区分是什么？y k 20. O kx 你在基本运算上常显现错误吗？ 21. 指数运算：a01a0 ,ap1a0 0,Nb0p aamnama0 ,amn1 a0 nnNMm a对数运算：logaM·NlogaMlogalogaMlogaMlogaN,loganM1logaMNn对数恒等式：alogaxxmbnnloga对数换底公式：logablogcblogaclogam如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）如：（1）xR,f x 满意f xyf x f y ,证明f x 为奇函数； 第 9 页,共 45 页 （先令xy0f 0再令yx, ）（ ）xR,f x 满意f xyf x f y ,证明f x 是偶函数；（先令xytfttf t·t ftftf t f t 1x2 ftf t ）（ ）证明单调性：f x2fx2x细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载 22. 把握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法）,反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性法,导数法等；）如求以下函数的最值： 23. （ ）y2x3134x ,半径为R的弧长公（ ）y2x4x3（ ）x3,y2x2x3（ ）yx49x2设x3cos,0,（ ）y4 x9,x 0,1 x你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为式和扇形面积公式吗？（l·R,S 扇1l·R1·R2）22R 1 弧度O R 24. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义sinMP,cosOM,tanAT 第 10 页,共 45 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载y B S T P 如：如80,就sin,cos,M A x O tan的大小次序是又如：求函数y12cos2x的定义域和值域；（12cos2x）12sinx0sin x2,如图：4kZ,0y1222 k5x2 k4 25. 你能快速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 45 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -sinx1,cosxy1tgx学习必备欢迎下载y x 2O 20,kZ对称点为k2,ysin 的增区间为2k2,2k2kZAcosx 第 12 页,共 45 页 减区间为2k2,2k3kZ2图象的对称点为k,0,对称轴为xk2kZycos 的增区间为2k,2kkZ减区间为2k,2k2kZ图象的对称点为k2,0,对称轴为xkkZytan 的增区间为k2,k2kZ26. 正弦型函数y = Asinx +的图象和性质要熟记；或y（ ）振幅|A|,周期T2,求出 与 ,依点| |如f x0A,就xx0为对称轴；如f x00,就x0,0为对称点,反之也对；（ ）五点作图：令x依次为0,2, ,3,22细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载（x,y）作图象；（ ）依据图象求解析式；（求A、值）x 10 27. 如图列出x22解条件组求、值正切型函数yAtanx,T| |在三角函数中求一个角时要留意两个方面先求出某一个三角函数值,再判定角的范畴； 28. 如：cos x62,x,3,求 值；22（x3,7x65,x65,x13）263412在解含有正、余弦函数的问题时,你留意（到）运用函数的有界性了吗？ 29. 如：函数ysinxsin| |的值域是0,y2,2）（x0 时,y2sinx2,2,x0时,y娴熟把握三角函数图象变换了吗？（平移变换、伸缩变换）平移公式：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页,共 45 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（ ）点 （ , ）2学习必备欢迎下载hyk0ah,kP '（x',y'）,就x'x平移至y'yk（ ）曲线f x,y 0 沿向量ah,k平移后的方程为f xh,如：函数y2sinx41的图象经过怎样的变换才能得到ysinx的图象？（y 2 sin 2 x 1 横坐标伸长到原先的 2 倍 y 2 sin 2 1 x 14 2 4左平移 个单位2 sin x 1 4 y 2 sin x 1 上平移 1 个单位y 2 sin x4纵坐标缩短到原先的 1 倍2 y sin x） 30. 娴熟把握同角三角函数关系和诱导公式了吗？如：1 sin 2cos 2sec 2tan 2tan·cot cos·sec tan4sin cos 0 称为 的代换；2“k·” 化为 的三角函数“ 奇变,偶不变,符号看象限” ,2“ 奇” 、“ 偶” 指 k 取奇、偶数；如： cos 9 tan 7 sin 214 6又如：函数 y sin tan,就 的值为cos cot A. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值 D. 正值（ycos sincos sincos sincos 22 cossin 11 0,0）sin 31. 娴熟把握两角和、差、倍、降幂公式 及其逆向应用了吗？懂得公式之间的联系：sinsincoscossin令sin22sincos 第 14 页,共 45 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -coscoscossinsin学习必备欢迎下载2cos2sin2令costantantan,tan2cos21112sin21tan·tantan22tan2 coscos221tan2sin21cos2asinbcosa2b2sin2basincos2sin4sin3cos2sin3应用以上公式对三角函数式化简；（化简要求：项数最少、函数 种类最少,分母中不含三角函数,能求值,尽可能求值；）详细方法：（ ）角的变换：如,222 （2）名的变换：化弦或化切（3）次数的变换：升、降幂公式（4）形的变换：统一函数形式,留意运用代数运算；如：已知sincos1,tan2,求tan2的值； 第 15 页,共 45 页 - - - - - - - - - 1cos 23（由已知得：sincoscos1,tan12sin22sin2又 tan2 3tan2tan1tan·tan12·111）3 22tantan832 32. 正、余弦定理的各种表达形式你仍记得吗？如何实现边、角转细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载化,而解斜三角形？余弦定理： a2b2c22bccosAcos Ab2c2a22bc（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角；）正弦定理：aAbBcC2Ra2RsinA 第 16 页,共 45 页 - - - - - - - - - b2RsinBsinsinsinc2RsinCS1a·bsinC2ABC,ABCsinABsinC,sinA2BcosC2如ABC中,22 sinA2Bcos 2 C1（ ）求角C；（ ）如a2b2c2,求cos2Acos2B的值；2（1）由已知式得：1cosAB22 cosC11又ABC,22 cosCcosC10cos C1或cos C1（舍）2又0C,C3（ ）由正弦定理及2 a2b21c2得：22sin2A22 sinB3sinCsin2341cos 2 A1cos 2B334cos 2 Acos 2 B）4 33. 用反三角函数表示角时要留意角的范畴；反正弦：arcsin x2,2,x1,1细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 34. 学习必备欢迎下载a 或xa反余弦：arccosx0,x1,1反正切：arctanx2,2,xR不等式的性质有哪些？（ ）ab,c0acbcc0acbc（ ）ab,cdacbd（ ）ab0,cd0acbd（ ）ab011,ab011abab（ ）ab0anbn,nanb（ ）| |a a0axa,| |ax如：如110,就以下结论不正确选项（）abA a2b2B abb2C a . | | | | |ab |D a bb2a答案： C 35. 利用均值不等式：abab2求最值时,你是否注a2b22 ab a,bR；ab2ab；2意到“a,bR” 且“ 等号成立” 时的条件,积ab或和ab其中之一为定值？（一正、二定、三相等）留意如下结论：a2b2aa2bab2 aba,bR 第 17 页,共 45 页 2ab当且仅当b 时等号成立；a2b2Rc2abbcca a,b细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -当且仅当abc 时取等号；学习必备欢迎下载 36. ab0,m0,n0,就243）bbm1anaaambnb如：如x0,23 x4的最大值为x（设 y23 x422 1224 3x当且仅当3 x4,又x0,x2 3时,y maxx3又如：x2y1,就2x4y的最小值为）（2x22y2 2x2y1 2 2,最小值为2 2不等式证明的基本方法都把握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并留意简洁放缩法的应用；37如：证明111121,穿轴法解得结2 22 32 n（111 11112213 n11n2232n211111 n111223n212）n.解分式不等式f x a a0的一般步骤是什么？g x （移项通分, 分子分母因式分解,x 的系数变为果；） 38. 用“ 穿轴法” 解高次不等式“ 奇穿,偶切” ,从最大根的右上方开头细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页,共 45 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -如： x1x12x230学习必备欢迎下载 39. 解含有参数的不等式要留意对字母参数的争论如：对数或指数