2022年-期末随机过程试题及答案 .pdf

学习资料收集于网络，仅供参考学习资料随机过程期末考试卷1设随机变量 X服从参数为的泊松分布，则 X的特征函数为。2设随机过程X(t)=Acos( t+),-t其中为正常数， A 和是相互独立的随机变量，且 A 和服从在区间0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为。3强度为 的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为的同一指数分布。4设nW ,n1 是与泊松过程X(t),t0 对应的一个等待时间序列，则nW服从分布。5袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的 t 对应随机变量时取得白球如果时取得红球如果tttettX,3)(， 则 这个随机过程的状态空间。 6 设马氏链的一步转移概率矩阵ijP=(p )，n步转移矩阵(n)(n)ijP(p) ，二者之间的关系为。7设nX ,n0 为马氏链，状态空间I ，初始概率i0pP(X =i)，绝对概率jnp (n)P Xj ，n步转移概率(n)ijp，三者之间的关系为。8 设),(0ttX是 泊 松 过 程 ， 且 对 于 任 意012tt则(5)6 |(3)4_P XX9更新方程0tK tH tK ts dF s解的一般形式为。10记,0nEXatMM t对一切，当时，t +a。得 分评卷 人二、证明题（本大题共4 道小题，每题 8 分，共 32 分）1. 设 A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB) 。2. 设 X( t ), t0 是独立增量过程 , 且 X(0)=0, 证明 X(t ), t0是一个马尔科夫过程。3. 设nX ,n0 为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数 n0,1nl和i, jI，n步转移概率(n)( )(n- )ijikkjk Ipppll，称此式为切普曼科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料4. 设 N(t),t0 是强度为的泊松过程，kY ,k=1,2,是一列独立同分布随机变量，且与N(t),t0 独立，令N(t)kk=1X(t)=Y ,t0，证明：若21E(Y )，则1E X(t)tE Y。得 分评卷 人三、计算题（本大题共4 道小题，每题 8 分，共 32 分）1. 设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为3/23/103/203/103/23/1P， 求其平稳分布。2. 设顾客以每分钟 2 人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2 分钟内到达的顾客不超过 3 人的概率。3. 设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为；规定有雨天气为状态 0，无雨天气为状态1。设0.7,0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料4. 设有四个状态 I= 0 1 2 3， 的马氏链，它的一步转移概率矩阵110022110022P=111144440001（）画出状态转移图；（）对状态进行分类；（）对状态空间 I 进行分解。得 分评卷 人四、简答题（本题6 分）简述指数分布的无记忆性与马尔科夫链的无后效性的关系。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料一填空题1为it(e -1)e。21(sin(t+1)-sint)2。314 5212t,t,;e,e33。 6 (n)nPP 。 7 (n)jiiji Ip (n)pp。8618e9。0tKtHtKts dMs 10. a二证明题1. 证明：左边 =P(ABC)P(ABC) P(AB)P(C AB)P(BA )P(A)P(AB)P(A)=右边 2. 证明：当12n0tttt时，1122nnP(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x ) =nn1122nnP(X(t)-X(t)x-xX(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x) = nnP(X(t)-X(t)x-x )，又因为nnP(X(t)x X(t )=x )=nnnnP(X(t)-X(t)x-xX(t )=x ) = nnP(X(t)-X(t)x-x )，故1122nnP(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x ) =nnP(X(t)x X(t )=x ) 3. 证明：(n)ijk IPP X(n)=j X(0)=iP X(n)=j,X(l)=k X(0)=i=k IP X(n)=j,X(l)=kX(0)=i =k IP X(l)=k X(0)=iP X(n)=j X(l)=k,X(0)=i=(l)(n-l)ikkjP P，其意义为n步转移概率可以用较低步数的转移概率来表示。 4. 证明：由条件期望的性质E X(t)E E X(t) N(t)，而N(t)ii=1E X(t) N(t)nEY N(t)n=nii=1EY N(t)n =nii=1EY=1nE(Y )，所以1E X(t)tE Y。三计算题（每题10 分，共 50 分）1. 解：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料解方程组P和1i，即1323231323131321323312211解得74,72,71321，故平稳分布为)74,72,71(2.解：设N(t),t0是顾客到达数的泊松过程，2，故k-4(4)P N(2)=kek!，则-4-4-4-4-43271P N(2)3P N(2)=0+P N(2)=1 +P N(2)=2+P N(2)=3e4e8eee333.解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为00011011pp0.70.3P=pp0.40.6，于是(2)0.610.39PPP=0.520.48，四步转移概率矩阵为(4)(2)(2)0.57490.4251PP P0.56680.4332，从而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为(4)00P0.5749。4. 解：（ 1）图略；（2）33303132p1,ppp而，均为零，所以状态 3 构成一个闭集， 它是吸收态，记1C = 3 ；0，1 两个状态互通，且它们不能到达其它状态，它们构成一个闭集，记2C = 0 1， ，且它们都是正常返非周期状态；由于状态2 可达12CC，中的状态，而12CC，中的状态不可能达到它，故状态2 为非常返态，记 D= 2 。（3）状态空间 I 可分解为：12E=DCC四. 简答题（ 6 分）答：（略）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -