2022年-高三上学期期末考试数学理 .pdf

2019-2020 年高三上学期期末考试数学理xx.1 一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. “”是“直线和直线互相垂直”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 C 【解析】 当时，直线 为，此时两直线不垂直，所以， 所以的斜率为，若直线垂直，则有，即，所以“”是“直线和直线互相垂直”的充要条件，选 C.2. 如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的体积为A. B. C. D.1 【答案】 A 【解析】由三视图可知，该几何体是四棱锥，底面为边长为1 的正方形，高为1 的四棱锥，所以体积为，选A. 3. 设0.533,log 2,cos2abc，则A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 ,，所以，选A. 4. 设向量cos , 1 ,2,sinabrr，若，则等于A. B. C. D.3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - 【答案】 B 【解析】因为 ，所以，即。所以tan12 11tan()41tan123，选 B.5. 已知集合，集合，则如图所示的韦恩图中阴影部分所表示的集合为A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】2222002Mx yxxxxxxx，3 ,01xNy yxy y，则阴影部分为x xMNxMNUI且， ，所以，即阴影部分为012x xMNxMNxxxUI且或，即，选 C.6. 由曲线，直线及轴所围成的曲边四边形的面积为A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】由得，由1yxyx得,所以曲边四边形的面积为132130101111lnln 322xdxdxxxx，选 C.7. 函数是A.最小正周期为的偶函数B. 最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的奇函数【答案】 B 【解析】212sin ()cos2()cos(2)sin2442yxxxx，所以周期，所以函数为奇函数，所以选B.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - 8. 下列命题正确的是A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】 C 【解析】 A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以错误。B中，若三点共线，则两平面不一定平行，所以错误。C 正确。D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，所以错误。所以命题正确的为C,选 C.9. 设，函数的图象可能是【答案】 B 【 解 析 】 由 图 象 可 知 。2( )yf xxaxb， 则 ， 排 除A,C. ， 当 时 ，2( )0f xxaxb，排除 D,选 B.10.已知不等式组210yxykxy所表示的平面区域为面积等于的三角形，则实数的值为A. B. C. D.1 【答案】 D 【解析】由图象知。当时，. ，所以，即由 ，得，所以11211(2)214ABCkSkk，解得或名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - - （舍去） ，所以，选D.11. 以双曲线的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线线相切的圆的方程是A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】双曲线的右焦点为，双曲线的渐近线为，不妨取渐近线，即，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，即223 23 23363( 2)2r，所以圆的标准方程为，选D. 12. 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象A.向右平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向左平移个长度单位【答案】 A 【解析】由图象可知，即周期，所以，所以函数为。又77()sin(2)11212f，即，所以，即，因为，所以当时，所以。sin 2sin2()63g xxx，所以只需将的图象向右平移，即可得到的图象，所以选A.二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题纸的相应位置上. 13. 设非零向量满足，则_. 【答案】或名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - - 【解析】因为 ，所以，所以所，以，即，所以2112cos,2ba ba ba ba brr rr rgr rr r，所以。14. 下面图形由小正方形组成，请观察图1 至图 4 的规律，并依此规律，写出第个图形中小正方形的个数是_. 【答案】【解析】12341,3,6,10aaaa，所以2132432,3,4aaaaaa， ，等式两边同时累加得，即(1)122nn nanL，所以 第个图形中小正方形的个数是。15. 已知 F 是抛物线的焦点，M 、N 是该抛物线上的两点， ，则线段MN的中点到轴的距离为_. 【答案】【 解 析 】 抛 物 线 的 焦 点 为 ， 准 线 为 。 , 过M,N分 别 作 准 线 的 垂 线 ， 则,MMMFNNNF， 所 以3MMNNMFNF， 所 以 中 位 线322MMNNPP, 所以 中点到轴的距离为。16. 已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图像如图所示，给出关于的下列命题：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - - 函数时， 取极小值函数是减函数，在是增函数，当时，函数有4 个零点如果当时，的最大值是2，那么的最小值为0，其中所有正确命题序号为_. 【答案】 【解析】由导数图象可知，当或时，函数递增。当或时， ，函数递减。所以在处，函数取得极小值，所以 正确，错误。当时，由得。由图象可知，此时有四个交点，所以正确。当时，的最大值是2，由图象可知，所以的最小值为0，所以正确。综上所有正确命题序号为。三、解答题：本大题共6 个小题，满分74 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 请将解答过程写在答题纸的相应位置. 17. （本小题满分12 分）的内角A 、B 、C所对的边分别为，且sinsinsin2 sinaAbBcCaB（I ）求角 C；（II ）求的最大值. 18. （本小题满分12 分）在等差数列中， ，其前项和为，等比数列的各项均为正数，公比为，且（I ）求与；（II ）设1121,nnnnTa baba bnN，求的值 . 19. （本小题满分12 分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD. 底面 ABCD为直角梯形，90 ,/ /,2.ABCADBC ABADPB BCADo点 E 在棱名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 22 页 - - - - - - - - - PA上，且 PE=2EA. （I ）求证：平面PBD ；（II ）求二面角ABE D的余弦值 . 20. （本小题满分12 分）小王于年初用50 万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6 万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2 万元，假定该年每年的运输收入均为25 万元 . 小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第年年底出售，其销售价格为 25 万元（国家规定大货车的报废年限为10 年） . （I ）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（II在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？）（利润 =累计收入 +销售收入 - 总支出）21. （本小题满分12 分）已知椭圆的离心率为、分别为椭圆C的左、右焦点，过F2的直线与 C相交于 A、B两点，的周长为 . （I ）求椭圆C的方程；（II ）若椭圆 C上存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形，求此时直线的方程. 22. （本小题满分14 分）已知函数lnfxxxax aR（I ）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；（II ）若对任意1,1xfxk xaxx恒成立，求正整数的值. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 22 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 22 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 22 页 - - - - - - - - - 2019-2020 年高三上学期期末考试数学理科试题高三数学（理科）xx.1一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合，| (21)(1)0BxxxR，则（）（A） （B） （C） （D）【答案】 D 【解析】1|(21)(1)012Bxxxx xx或， 所以01ABx xxU或，即，选 D. 2在复平面内，复数的对应点位于（）（A）第一象限（ B）第二象限（ C）第三象限（ D）第四象限【答案】 B 【解析】55 (2)5 (2)122(2)(2)5iiiiiiiii,，对应的点的坐标为，所以在第二象限，选 B.3在极坐标系中，已知点，则过点且平行于极轴的直线的方程是（）（A） （B） （C） （D）【答案】 A 【解析】先将极坐标化成直角坐标表示，转化为点cos2cos3,sin2sin166xy，即，过点且平行于轴的直线为，在化为极坐标为，选 A. 4执行如图所示的程序框图若输出，则框图中名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 22 页 - - - - - - - - - 处可以填入（）（A） （B） （C） （D）【答案】 C 【解析】第一次循环，满足条件，;第二次循环，满足条件，;第三次循环，满足条件，;第四次循环，不满足条件，输出，此时，所以条件应为，选 C.5已知函数，其中为常数那么“”是“为奇函数”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】 C 【解析】若 ，则为奇函数。若为奇函数，则有，即，所以是为奇函数的充分必要条件，选C.6已知是正数，且满足那么的取值范围是（）（A） （B） （C） （D）【答案】 B 【 解 析 】 原 不 等 式 组 等 价 为 ， 做 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 如 图 阴 影 部 分 ，表示区域内的动点到原点距离的平方，由图象可知当在D名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 22 页 - - - - - - - - - 点时，最大，此时，原点到直线的距离最小，即，所以，即的取值范围是，选B. 7某四面体的三视图如图所示该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）（A） （B） （C） （D）【答案】 C 【 解 析 】 由 三 视 图 可 知 该 四 面 体 为 , 其 中 ,. 所 以 六 条 棱 中 ， 最 大 的 为 或者 .22222(23)216ACAEEC,所以222216220VAACVC，此时。22222(23)428ABAEEB,所以，所以棱长最大的为，选 C.8将正整数随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（）（A） （B） （ C） （D）【答案】 B 【解析】将正整数随机分成两组，使得每组至少有一个数则有123456777777722126CCCCCC种，因为123456728，所以要使两组中各数之和相，则有各组数字之和为14. 则有；共8 种，所以两组中各数之和相等的概率是，选B.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 22 页 - - - - - - - - - 第卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分9. 已知向量，.若向量与向量共线，则实数_【答案】【解析】(1,3)+( 21)(2,31)kabkkkrr，因为 向量与向量共线，所以，解得。10如图， 中， ， ， 以为直径的圆交于点，则；_【答案】，【解析】因为，所以，又为直径，所以。所以，即341255AC BCCDABg。 ，所以。11设等比数列的各项均为正数，其前项和为若， ，则_【答案】 6 【解析】设公比为，因为，所以，则，所以 ，又，即，所以。12已知椭圆的两个焦点是， ，点在该椭圆上若，则的面积是_【答案】【解析】由椭圆的方程可知，且，所以解得，又，所以有，即三角形为直角三角形，所以的面积1221122 1222SF FPF。13已知函数，其中当时，的值域是_；若的值域是，则的取值范围是_【答案】，【解析】若，则， ，此时 ，即的值域是。若，则，。因为当或时， ，所以要使 的值域是，则有，即，所以，即的取值范围是 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 22 页 - - - - - - - - - 14已知函数的定义域为若常数，对，有，则称函数具有性质给定下列三个函数：；其中，具有性质的函数的序号是_【答案】 【解析】由题意可知当时，恒成立，若对，有。若，则由得，即，所以，恒成立。所以具有性质P. 若，由得，整理，所以不存在常数，对，有成立，所以不具有性质P。若，则由得由33()()()()xcxcxcxc，整理得，所以当只要，则成立，所以具有性质P，所以具有性质的函数的序号是。三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分13 分）在中，已知（）求角的值；（）若，求的面积16 （本小题满分14 分）如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，为棱的中点（）求证： / 平面；（）求证：平面平面；（）求二面角的余弦值17 （本小题满分13 分）生产 A，B两种元件， 其质量按测试指标划分为：指标大于或等于为正品，小于为次品 现随机抽取这两种元件各件进行检测，检测结果统计如下：测试指标元件 A 元件 B （）试分别估计元件A，元件 B 为正品的概率；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 22 页 - - - - - - - - - （）生产一件元件A，若是正品可盈利40 元，若是次品则亏损5 元；生产一件元件B，若是正品可盈利50 元，若是次品则亏损10 元 . 在（）的前提下，（）记为生产1 件元件 A 和 1 件元件 B所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；（）求生产5 件元件 B 所获得的利润不少于140 元的概率18 （本小题满分13 分）已知函数，其中（）求的单调区间；（）设若，使，求的取值范围19 （本小题满分14 分）如图，已知抛物线的焦点为过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别与抛物线交于点，（）求的值；（）记直线的斜率为，直线的斜率为. 证明：为定值20 （本小题满分13 分）如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且. 记为所有这样的数表构成的集合对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积令11( )()()nnijijl ArAcA（）请写出一个，使得；（）是否存在，使得？说明理由；（）给定正整数，对于所有的，求的取值集合名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 22 页 - - - - - - - - - 北京市西城区 xx xx 第一学期期末高三数学 （理科） 参考答案及评分标准xx.1一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分. 1D；2B；3A；4C；5C；6B；7C；8B二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. 9 ；10 ， ；11 ；12 ；13 ， ；14注： 10、13 题第一问2 分，第二问3 分;14 题结论完全正确才给分.三、解答题：本大题共6 小题，共80 分. 若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分 . 15 （本小题满分13 分）（） 解法一 ：因为，所以22 3 sincos2sinBBB 3 分因为， 所以，从而， 5 分所以6分解法二 ： 依题意得，所以，即 3 分因为， 所以，所以 5 分所以6分（） 解法一 ：因为， ，根据正弦定理得， 7 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 22 页 - - - - - - - - - yzOEPCBADx所以 8 分因为，9 分所以562sinsinsin()12464C， 11 分所以的面积133sin22SAC BCC13 分解法二 ：因为， ，根据正弦定理得， 7 分所以 8 分根据余弦定理得2222cosACABBCAB BCB， 9 分化简为，解得 11 分所以的面积133sin22SAB BCB13 分16 （本小题满分14 分）（）证明：连接与相交于点，连结因为四边形为正方形，所以为中点因为为棱中点所以 3 分因为平面，平面，所以直线 / 平面 4 分（）证明：因为平面，所以 5 分因为四边形为正方形，所以，所以平面 7 分所以平面平面8 分（） 解法一 ：在平面内过作直线因为平面平面，所以平面由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 9 分设，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)DABCPE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 22 页 - - - - - - - - - yzNMOEPCBADx所以， 设平面的法向量为，则有所以取，得 11 分易知平面的法向量为12 分所以|3 11|cos,| |11n vn vnv 13 分由图可知二面角的平面角是钝角，所以二面角的余弦值为 14 分解法二 ：取中点，中点，连结， 因为为正方形，所以由（）可得平面因为，所以由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系9 分设，则(2,0,0),(2,4,0),( 2,4,0),( 2,0,0),(0,0,2),( 1,0,1)ABCDPE所以， 设平面的法向量为，则有所以取，得 11 分易知平面的法向量为12 分所以|3 11|cos,|11n vn vnv 13 分由图可知二面角的平面角是钝角，所以二面角的余弦值为 14 分17 （本小题满分13 分）（）解：元件A 为正品的概率约为 1 分元件 B 为正品的概率约为 2 分（）解：（）随机变量的所有取值为3 分；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 22 页 - - - - - - - - - ； 7 分所以，随机变量的分布列为: 8 分3311904530( 15)66520520EX9 分（）设生产的5 件元件 B中正品有件，则次品有件. 依题意，得，解得所以，或 11 分设“生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于140 元”为事件，则445531381( )C ( )()444128P A 13 分18. （本小题满分13 分）（）解：当时，故的单调减区间为， ；无单调增区间 1 分 当时， 3 分令，得，和的情况如下：故的单调减区间为， ；单调增区间为5 分 当时，的定义域为因为在上恒成立，故的单调减区间为， ， ；无单调增区间 7 分（）解：因为， ，所以等价于，其中 9 分设，在区间上的最大值为11 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 22 页 - - - - - - - - - 则“，使得”等价于所以，的取值范围是13 分19 （本小题满分14 分）（）解：依题意，设直线的方程为 1 分将其代入，消去，整理得4 分从而 5 分（）证明：设， 则221234341121222234123123444444yyyyyykxxyykxxyyyyyyyy 7 分设直线的方程为，将其代入，消去，整理得 9 分所以 10 分同理可得 11 分故112121223412444kyyyyy ykyyyy 13 分由（）得，为定值14 分20 （本小题满分13 分）（）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求3 分（）解：不存在，使得 4 分证明如下：假设存在，使得因为，所以， ， ， ， ， ，这个数中有个，个令129129( )()()( )()( )MrArArAc AcAcALL一方面，由于这个数中有个，个，从而另 一 方 面 ， 表 示 数 表 中 所 有 元 素 之 积 （ 记 这 个 实 数 之 积 为 ） ； 也 表 示 ，从而、相矛盾，从而不存在，使得 8 分（）解：记这个实数之积为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 22 页 - - - - - - - - - 一方面，从“行”的角度看，有12()()()npr ArArAL；另一方面，从“列”的角度看，有12()()()npc AcAcAL从而有1212( )()()( )()()nnrArArAc AcAcALL 10 分注意到，下面考虑， ， ， ， ， ，中的个数：由知，上述个实数中，的个数一定为偶数，该偶数记为；则的个数为，所以()( 1)21 (22 )2(2 )l Aknknk 12 分对数表：，显然将数表中的由变为，得到数表，显然将数表中的由变为，得到数表，显然依此类推，将数表中的由变为，得到数表即数表满足：11221(1)kkaaaknL，其余所以12()()()1krArArAL，12()( )()1kc AcAcAL所以()2( 1)()24kl Aknknk由的任意性知，的取值集合为2(2 ) |0,1,2, nkknL 13 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 22 页 - - - - - - - - -