2022年2022年九年级数学圆与相似综合专题 .pdf

圆与相似综合专题1、 如图，在 O中，弦 AB、CD相交于 AB的中点 E，连 AD并延长至点F，使 DF=AD ，连 BC 、BF 。 （1）求证： CDE AFB ；（2）当BEFB=58时，求CBAD的值。CEB=AED, AE=EB,AD=DF, AB=2AE,AF=2AD, AE:AB=AD:AF, EAD= DAF, EADBAF, AED=ABF= CED, BCE=BAF,( 同弧所对圆周角相等 ), 故CBE=AFB, 因此 CBEAFB(AAA) ；BE/FB=CB/AF=CB/(2AD), CB/AD=2BE/FB=2*5/8=5/4. 2、 平行四边形ABCD 中， 以 AB 为直径的 O 交 CD 于 M， 交 AD 于 E， 且 AM 平分 BAD ，连接 BE 交 AM 于 F。（1）求证： DM=CM ；（2）若 AD=5 ， AM=8 ，求 MF 的长。DM=CM AO=BO 则： AD/OM/BC AD=OM=5 o 内， AB=2OM=2*5=10 三角形 ABM 是 Rt AMB=90 三角形 ABM 中， AM=8 则： BM2=AB2-AM2 =102-82 则： BM=6 因为： AM 平分 BAD 和 AD/OM MCBOAEDE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - 所以： DAM= OAM= AMO 而： o 内 AEB=90 则： OMBE MFB 内：FMB=90 由于直角三角形非直角和为90则： AMO= MBF=t （设为 t）ABM 中： tant=MB/AM=6/8=3/4 MFB 中： tant=MF/MB=MF/6 则： MF/6=3/4 MF=9/2.3.如图，O是ABC外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是弧上一动点，过点P 作 BC 的平行线交AB延长线与点D. （1）当点 P 在什么位置时，DP 是 O 的切线？说明理由；（2）当 DP 是 O 的切线时，求DP 的长 .（ 1）当P 是 BC 中点时，DP 是 O 的切线 .理由如下： .1分AB=AC，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - 又PA 是 O 的直径 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - 又 AB=AC ， PA BC.DP/BC ， PDAP.DP 是 O 的切线 .（2）连接 OB，设 PA 交 BC 于点 E.由垂径定理得，BE=. 在 RtABE 中，据勾股定理，. 设 O 的半径为r，则 OE=8-r.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - - HFEDCBAOP在 RtOBE 中，. 解得 r=. 4.如图，P 是 O 直径 AB 延长线上的一点， 过 P作直线分别交O 于 C、 D 两点，弦 DFAB于 H 点， CF 交 AB 于点 E. (1)求证： DEEF；(2)若 DECF， P15， O 半径为 4，求 CF 的长 . 解： (1)EA 垂直平分DF，故 DEEF. (2)DEF 是等腰直角三角形， DCF P+450600，连 OF，则 HOF600，OH名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - 12OF2， DH HF2 3， DE EF2 6，在 RTCDE 中，CE3DE2 2，CF2 2+2 65.如图， ABC内接于 O，AB=AC ，CD 平分 ACB 交 O 于点 D，交 AB 于点 F，连接AO 并延长交 CD 于点 E(1)求证： AD=DE ；(2)若 DF=CE=2 ，求BFAF的值 (1)证明OA平分 BAC ； (2)设 EF=x DCA DAF ，AFACADCDDFAD，即AFACxxx2422 解 之 得15x， 15EF 215DFADAFAC，215AFAB,512BFAF. 6、如图， AB 为半圆 O 的直径，点C 在半圆 O 上，过点O 作 BC 的平行线交AC 于点 E，交过点 A 的直线于眯D，且 D= BAC 。（1）求证： AD 是半圆 O 的切线；（2）若 BC=2，CE=2，求 AD 的长。解 析 （1）要证 AD 是半圆 O 的切线只要证明 DAO=90即可；（2）由两组角对应相等的两个三角形相似可得到DOA ABC，据相似三角形的对应边成比例可得到AD 的长解 答 （1）证明： AB 为半圆 O 的直径， BCA=90 AEBODCABCDEFO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - 又BCOD， OEAC D+ DAE=90 D= BAC， BAC+ DAE=90 AD 是半圆 O 的切线（2）解：BC OD ， AOE ABC， BA=2AO ，AO BA =AE AC =1 2 ，又 CE=2 ， AC=2CE=2 2 在 Rt ABC 中，AB=AC2+BC2=(2 2 )2+22=2 3 ， D= BAC，ACB= DAO=90，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - DOA ABCAD AC = OA BC 即AD 2 2 = 3 2 AD= 6 7、如图，已知AB 为 O 的直径，弦CDAB ，垂足为 H。（1）求证： AH ?AB=AC2；（2）若过 A 的直线与弦CD（不含端点）相交于点E，与 O 相交于点F，求证： AE?AF=AC2；（3）若过 A 的直线与直线CD 相交于点 P，与 O 相交于点Q，若 AH=1 ，AB=4 ，请直接写出AP?AQ 的值（不必写过程）（1）连接 CB，证明 CAH BAC 即可；（2）连接 CF，证 AEC ACF ，根据射影定理即可证得；（3）由（ 1）（ 2）的结论可知，AP?AQ=AC2成立EDAHOFBC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - 解答：证明：（ 1）连接 CB，AB 是 O 的直径， ACB=90 ，而 CAH= BAC ， CAH BAC ，ACABAHAC，即 AH?AB=AC2；（2）连接 FB，易证 AHE AFB ，AE?AF=AH?AB ，AE?AF=AC2；（也可连接 CF ，证 AEC ACF ）（3）结论 AP?AQ=AC2成立（同理）8、如图，点A、B、C、D 在 O 上， AB=AC ，AD 与 BC 相交于点E，AE=12ED，延长DB 到点 F，使 FB=12BD ，连接 AF。（1）证明： BDE FDA ；（2）试判断直线AF与 O的位置关系，并给出证明。（1）根据题意可得出ACEDOBF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - BDFD=EDAD， ADB= ADF ，根据一个角相等，夹这个角的两边对应成比例从而得出BDE FDA ；（2）连接 OA，OB ，OC，由 AB=AC ，得出 OAB= OAC ，又 OB=OC ，从而得出AOBC 即可；（3）直线 AF 与O 相切由 BDE FDA ，得出 EBD= AFD ，可得出 BEFA ，根据 AOBE，可得出 AO FA，即直线 FA 与 O 相切解答：证明：（ 1）在 BDE 和 FDA 中，FB1 2 BD， AE1 2 ED，BDFDEDAD2 3 （2 分）又 BDE= FDA BDE FDA （5 分）（2）连接 OA，并连接 OB 和 OC，如下图所示，AB=AC ，OA=OA ，OB=OC ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - OAB OAC ， OAB= OAC （6 分）又 OB=OC AOBC （7 分）（3）直线 AF 与O 相切（8 分）由 BDE FDA ，那么 EBD= AFD BE FA （9 分）由 AO BE 知， AOFA，直线 FA 与 O 相切 （11 分9、如图，四边形ABCD 内接于 O，AC为直径， BD平分 ADC ，BD与 OC相交于 E。（1）求证： BC2=BE?BD ；（2）若直径AC=62，BEED=3 1，求 OE的值。1.证明:BCE=ADB=CDB;CBE=DBC. CBEDBC,BC/BE=BD/BC,BC2 =BExBD 。2.解： ADB=CDB. 弧 AB=弧 BC,连接 OB,则 OB 垂直 AC. OC=OB=AC/2=3 2, 则 BC2=OC2+OB2=36. BE:ED=3:1, 设 BE=3X,则 BD=4X. BC2=BExBD( 已证),即 36=3X*4X=12X2 . X=3,BE=3X=3 3.故 OE= (BE2-OB2)=3. 10.已知：如图，在ABC 中， A=45，以 AB 为直径的 O 交 AC 于点 D，且 AD=DC ，CO 的延长线交O 于点 E，过点 E 作弦 EFAB，垂足为点GABOECD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - （1）求证： BC 是 O 的切线；（2）若 AB=2 ，求 EF 的长（1）证明：连接BD，AB 为 O 的直径， ADB=90 ，BD AC，AD=CD ，AB=BC ， A=ACB=45 ， ABC=90 ，BC 是 O 的切线；（2）解： AB=2 ，BO=1 ，AB=BC=2 ，CO=BO2+BC2=5 ，EFAB，BCAB ，EFBC， EGO CBO ，EGBCEOCO，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - EG2 1 5 ，EG=2 5 5 ，EF=2EG=4 5 5 11、如图，已知，已知ABC ，以边 BC为直径的圆与边AB交于点 D，点 E为弧 BD的中点，AF为 ABC的角平分线，且AF EC 。（1）求证： AC与 O相切；（2）若 AC=6 ，BC=8 ，求 EC的长。证明：（ 1）如图，连接BE， AF 是BAC 的角平分线， AFEC， ACH= AHC BHE= AHC， ACH= BHE E 是BD 的中点， EBD= BCE BC 是O 的直径， BEC=90 （ 3 分） EBH+ BHE=90 BCE+ ACE=90 AC 是 O 的切线（ 4 分）DEBOFCA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - 解：（ 2）在 Rt ABC 中， AC=6 ，BC=8 ， AB=10 又 ACH= AHC ， AH=AC=6 BH=AB-AH=10-6=4（ 6 分） EBH= ECB， EBH ECBEB EC =HB BC =1 2 在 Rt EBC 中， EC=2EB ，BC=8 ， EC2+EB2=BC2 EC=16 5 5 12、如图， O与 A相交于 C 、 D两点， A、O分别是两圆的圆心，ABC内接于 O，弦 CD交 AB于点 G ，交 O的直径 AE于点 F，连接 BD 。 、（1）求证： ACG DBG ；（2）求证： AC2=AG ?AB 。（3）若 A、 O的直径分别为65、15，且 CGCD=1 4，求 AB 和 BD 的长。GBCFDEOA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - 解：（ 1）在和中，。（2）连结 AD ，则在和中又即。（3）连结 CE，则与相交于 C，D 两点圆心 O， A 在弦 CD 的垂直平分线上，即AO 垂直平分弦CD 的直径分别为，15 在和中，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - 即在中，由勾股定理，得即解得（舍去负值）在中，由勾股定理，得（舍去负值）由（ 2），有即解得由（ 1），有，得。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - 13、如图，在Rt ABC中， BC=9 ，CA=12 ， ABC的平分线BD交 AC于点 D，DE DB交 AB于点 E。（1）设 O是 BDE的外接圆，求证：AC是 O的切线；（2）设 O交 BC于点 F，连接 EF，求EFAC的值。证明：（1）DEDB，O 是 RtBDE 的外接圆BE 是O 的直径，点 O 是 BE 的中点，连接OD C=90 DBC+BDC=90 又BD 为ABC 的平分线ABD=DBC OB=OD ABD=ODB ODB+BDC=90 ODC=90 又OD 是O 的半径AC 是O 的切线（2）设 O 的半径为 r，在 RtABC 中，AB2=BC2+CA2=92+122=225 AB=15（7 分）A=A，ADO= C=90 ADOACBAO/AB=OD/BC (15-r)/15=r/9 r=45/8 BE=45/4 又BE 是O 的直径BFE=90 BEFBAC EF/AC=BE/BA=45/4/15=3/4 AEDCFBO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - 14、如图， A 是以 BC 为直径的 O上一点， AD BC于点 D，过点 BO的切线，与CA的延长线相交于点E，G是 AD的中点，连接CG并延长与 BE相交于点F，延长 AF与 CB的延长线相交于点P。（1）求证： BF=EF ；（2）求证： PA是 O的切线；（3）若 FG=BF ，且 O的半径长为32，求 BD 和 FG 的长度。证明：（1）BC 是O 的直径， BE 是O 的切线EBBC 又ADBC ADBE BFCDGC， FECGAC G 是 AD 的中点DG=AG BF=EF （2）证明：连接 AO，AB BC 是O 的直径BAC=90 在 RtBAE 中，由（ 1），知 F 是斜边 BE 的中点AF=FB=EF FBA=FAB 又OA=OB ABO=BAO BE 是O 的切线EBO=90 EBO=FBA+ABO=FAB+ BAO=FAO=90 PA 是O 的切线（3）解：过点 F 作 FHAD 于点 H BDAD，FHAD GAEFPBDOC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - FHBC 由（1），知 FBA=BAF BF=AF 由已知，有 BF=FG AF=FG，即 AFG 是等腰三角形FHAD AH=GH DG=AG DG=2HG 即FHBD，BFAD，FBD=90 四边形 BDHF 是矩形， BD=FH FHBC，易证 HFGDCG 即O 的半径长为 3 BC=6 解得 BD=2 BD=FH=2 CF=3FG 在 RtFBC 中，CF=3FG ，BF=FG CF2=BF2+BC2 （3FG）2=FG2+ （6 ）2 解得 FG=3 （负值舍去）FG=3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - -