2022年《定积分的简单应用》参考教案.docx
名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载定积分的简洁应用教学目标：1、 进一步让同学深刻体会“ 分割、以直代曲、求和、靠近” 求曲边梯形的思想方法；2、 让同学深刻懂得定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3、 初步把握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法,以及利用定积分求一些简洁 的旋转体的体积；4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）；教学重点：几种曲边梯形面积的求法；教学难点：定积分求体积以及在物理中应用；教学过程：一、问题情境 1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？3、微积分基本定理是什么？二、数学应用（一）利用定积分求平面图形的面积例 1、求曲线ysinxx0,2与直线x0 x2,x 轴所围成的图形面积；33答案：S2sinxdx233cosx| o 302变式引申：1、求直线y2x3与抛物线yx2所围成的图形面积；y 答案：S3（2 1x3x2dx（x23xx3| 3132332、求由抛物线yx24x3及其在点 M（0, 3）和 N（3,0）处的两条切线所围成的图形的面积；略解：6y/2x4,切线方程分别为y4x3、o y=x 2+4x-3x 第 1 页,共 5 页 y2x,就所求图形的面积为细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -33x24x3dx学习必备欢迎下载32x6x24x3dx9S24x34023、求曲线ylog2x与曲线ylog24x以及x轴所围成的图形面积；略解：所求图形的面积为1 1yS【g y f y dy 4 2 2 dy0 0y 1（4 y 2 2 log 2 e | 0 4 2 log 2 e4、在曲线 y x 2 x 0 上的某点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成的面积为 1 . 试12求：切点 A 的坐标以及切线方程 . x y=x 22略解：如图由题可设切点坐标为（x 0x 0 ,就切线方程A 为 y 2 x 0 x x 0 2,切线与 x 轴的交点坐标为O B C x x2 0 , 0 ,就由题可知有 S0 x2 0x 2 dx x x2 0 0 x 2 2 x 0 x x 0 2 dx x12 0 312 1x 0 1,所以切点坐标与切线方程分别为 A 1,1 , y 2 x 1总结：1、定积分的几何意义是：在区间 a , b 上的曲线 y f x 与直线 x a、x b 以及 x 轴b所围成的图形的面积的代数和, 即a f x dx S x 轴上方S x 轴下方 . 因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理,但要特殊留意图形面积与定积分不肯定相等,如函数ysinxx , 2的图像与x轴围成的图形的面积为4, 而其定积分为 0. 2、求曲边梯形面积的方法与步骤：（1） 画图,并将图形分割为如干个曲边梯形；（2） 对每个曲边梯形确定其存在的范畴,从而确定积分的上、下限；（3） 确定被积函数；（4） 求出各曲边梯形的面积和,即各积分的肯定值的和；3、几种常见的曲边梯形面积的运算方法：（1） x 型区域：由一条曲线yfx其中fx0）与直线xa,xb ab 以及 x 轴所围成的曲边梯形的面积：Sb f ax dx（如图（ 1）；xa,xb ab 以及x轴所围成的曲边yfx其中fx0）与直线由一条曲线细心整理归纳 精选学习资料 第 2 页,共 5 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -梯形的面积：Sb f axdxb f a学习必备欢迎下载b 所围成的曲x dx（如图（ 2）；由两条曲线yfx,yg x 其中fxgx）与直线xa,xb a边梯形的面积：Sb | afxgx|dx（如图（ 3）；x y b x y yfx y a yfx a b x yfx a yg x b 图（ 1）图（2）图（3）（2） y型区域：由一条曲线yfx其中x0）与直线ya ,yb ab 以及 y轴所围成的曲边梯形的面积 , 可由yf x得xh y ,然后利用Sb h ay dy求出（如图（ 4）；由一条曲线yfx其中x0）与直线ya ,yb ab 以及 y轴所围成的曲边梯形的面积,可由yfx先求出xh y ,然后利用Sb h aydyb h ay dy求出（如图（5）；由两条曲线yfx,yg x与直线ya,yb ab所围成的曲边梯形的面积,可由yfx,ygx先分别求出xh1 y,xh 2 y,然后利用Sb | ah 1yh 2y |dy求出（如图（ 6）；y y b b y fx yg x x b yfx x yfx x ya a a 图（ 4）图（5）图（6）（二）、定积分求旋转体体积例 2：求由曲线y24x,x1所围成的图形绕x轴旋转所得旋转体的体积；in1,i上分析：（1）分割：将旋转体沿 x轴方向将区间 0,1 进行 n 等分；（2）对区间n 第 3 页,共 5 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载2的柱体以区间右端点对应的函数值的平方数 f i 作为底面圆半径的平方, 以 x 1 作n n2为圆柱的高,以此圆柱体积近似代替曲边圆柱的体积,即 Vi f i x；（ 3）求和nn n 2iV f x；（4）靠近：当分割无限变细时,即 x 趋近于 0 时,依据定积分i 1 i i 1 n1的定义其极限即为旋转体的体积 V04 xdx；1略解：V4 x dx 20（三）、定积分在物理中应用1 求变速直线运动的路程例 3、A、B 两站相距 7.2km,一辆电车从 A站 B开往站,电车开出 ts 后到达途中 C点,这一段的速度为 1.2tm/s,到 C点的速度为 24m/s,从 C点到 B 点前的 D点以等速行驶,从D点开头刹车,经 ts 后,速度为（ 24-1.2t ）m/s,在 B点恰好停车,试求（1）A、C间的距离；（2）B、D间的距离；（3）电车从 A 站到 B 站所需的时间；分析：作变速直线运动的物体所经过的路程s, 等于其速度函数v=vtvt. 6t0 在时间区间a,b 上的定积分 , 即Sb v atdt201. 2tdt02| 200240m 略解：（1）设 A 到 C的时间为 t 1 就 1.2t=24, t 1=20s, 就 AC0（2）设 D到 B 的时间为 t 21 就 24-1.2t2=0, t21=20s, 就 DB20（2410.2 t）dt0.6t2| 200240m（3）CD=7200-2 240=6720m, 就从 C到 D的时间为 280s, 就所求时间为 20+280+20=320（s）2 、变力沿直线所作的功问题：物体在变力 Fx 的作用下做直线运动, 并且物体沿着与 Fx 相同的方向从 x=a 点移动到 x= b 点,就变力 Fx 所做的功为 :Wb F axdx）例 3：假如 1N能拉长弹簧 1cm,为了将弹簧拉长6cm,需做功（ A A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J 略解：设Fkx,就由题可得k0.01,所以做功就是求定积分6 00. 01 xdx0. 18；五：回忆与小结：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 5 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载本节课主要学习了利用定积分求一些曲边图形的面积与体积,即定积分在几何中应用,以及定积分在物理学中的应用,要把握几种常见图形面积的求法,并且要留意定积分的几何 意义,不能等同于图形的面积,要留意微积分的基本思想的应用与懂得；六：课外作业 1、一体化教学案 2、创新训练 第 5 页,共 5 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
