2022年《理论力学》习题解.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -理论力学题解1-3 已知曲柄 OAr , 以匀角速度,绕定点 O 转动 ,此曲柄借连杆AB 使滑动 B 沿直线 Ox运动 .设 ACCBa,AOBABO.求连杆上 C 点的轨道方程及速度. 解: 设 C 点的坐标为,x y ,就xrcosacosyrsinasinyasin联立上面三式消去,得xa1y2/a224y2r2整理得轨道方程4x2a2y2x23y2a2r22设 C 点的速度为 v ,即v2 x &2 y &r2& 22 sin2 ar&&sinsina2& 2AB 上滑动 ,图中的 d 为考虑 A 点的速度y & Ar& cos2a& cos得&rcos&rcos2 cos2 cosC 在固定的钢丝所以vr2 cos4sincossin2cos1-4 细杆 OL 绕 O 点以匀角速度转动 ,并推动小环一已知常数 .试求小环的速度v 及加速度 a解: 小环 C 的位置由 x 坐标确定xdtan& sec 2d2dx22xd2dx2vx &da&&2d22 sectan2解法二 : 设 vr为小环相对于AB 的速度 , 1vr 为小环相对于OL 的速度 , vr 为小环相绕O 点转动的速度 , 第 1 页,共 15 页 就r vr v 1r v 2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -又设 OL 从竖直位置转过了 角,就sinx2xd2, cosd2d22 xd2vv 2x2d2x2d2coscosdv 1v 2tantanx2d2xx2d所以 , 小环相对于AB 的速度为r vxd2,方向沿 AB 向右 . d沿滑杆 OM 滑动的速度为r v 1xx2d2,方向沿 OM 杆向上；d求加速度用极坐标横向加速度aa 222r v 12r v2x x2d22daa22 x x2d2cosd第一章第五节例题一解 ： 坐 标 向 上 为 正 时 , 速 度 x&也 向 上 为 正 , 而 实 际 速 度 向 下 , 就 有 vx&阻 力mky&,动fmkvmkx&,动力学方程&&kx &g,满意初始条件的解为xhg 21 kektgtk坐标向下为正时,速度y&也向下为正,实际速度向下,就有vy&阻力 fmkv力学方程 y &&ky &g,满意初始条件的解为yg 21kektgt（ 0yh ）k可以看出 xyh第一章第五节例题二解：双曲正切函数th kek1ek,双曲余弦函数ch kk eek 第 2 页,共 15 页 ekek2反双曲正切函数th1k1 2lnk（k1）1k细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -thxdxex1exexexdxd chxlnchxC2chx21dx21 2 11x11xdx1ln1xCth x 1C2k 倍.如xy21x21-10 一质点沿着抛物线2px 运动 .其切向加速度的量值为法向加速度量值的此质点从正焦玄np p 的一端以速度 2u 动身 ,试求其达到正焦玄另一端时的速率. 解: 设条件为v2, advdv ddsv dvaka , adtdds dtd上面三式联立得dv v2 kd 第 3 页,共 15 页 - - - - - - - - - 两边积分vdv0 2 k d, vue2kud0由y22px 可得dypdxy在正焦玄两端点A p, p 和B p,p 处, yA1,yB1.可看出 ,两点处抛物线得切线斜22率互为倒数 ,即2,代入得vuek1-15 当一轮船在雨中航行时,它的雨蓬遮住篷的垂直投影后2m 的甲板 ,蓬高 4m .但当轮船停航时 ,甲板上干湿两部分的分界线却在蓬前3m ,假如雨点的速率为8 m s ,求轮船的速率 . 解: 设相对于岸的速度为0vr,雨相对于岸的速度为vr,雨相对于船的速度为rvr 就r rvr vr v 0速度三角形与三角形ABC 相像 ,得v 0BC231vAB422 3所以v 0v8m s细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -方程y332 p y22 p h0的解解: 作变换yzp2,原方程变为3 zp622 p h02 p hR1/3,13i 就zz3设Rp6B4 2p h ,A2 p hR1/3,BRp3A22实根y 1A2 p hR1/32 p h1/3 两个虚根 : y2A2B ,y32AB对于该题 ,只取实根 . 1-38 已知作用在质点上的力为Fxa xa ya z ,Fya xa22ya z , ya z dzF za xa32ya z 其中a ii j , , i j1,2,3都是常数 ,问这些a,i j应满意什么条件才有势能存在 .假如这些条件满意,试求其势能 . 解: 由r F0得: a i jaj i , , i j1,2,3dVF dxF dyF dza xa ya z dxa xa ya z dya xa32Vxa xdxya xa y dyza xa ya z dz0001 22 a xa y22 a z2a xy2 a yz2 a zx cVxF dxyF dyzF dz000xx5dxy2xy dyzxyz6 dz0001-39 一质点受一与距离3/2 次方成反比得引力作用在一条直线上运动,试证该质点自无穷远到达 a 时的速度1v 和自 a 静止动身到达a/ 4时的速率v 相同 . 第 4 页,共 15 页 解: 依题意有mdvmvdv1,两边积分dtdx3/ 2 xv 10mvdva1dx, 12 mv 12x3/ 22a细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -再积分v 2mvdva1dx,12 mv 1240ax3/ 22a可知v 1v 2r2a2 cos2的运动时,就1-43 假如质点受有心力作用而作双纽线F4 23ma hr7试证明之；解：比耐公式2 h u22 d uuF md2而u211代入得ra2cos22 d u4 3 a u5ud2F4 23ma hr71-44 质点所受的有心力假如为2Fmr2r32 h ,就其轨道方程可写成r1ak；试证式中,及都是常数,并且e cos明之；式中k2h22,a2 k h2,e2 Ak h2（ A 为积分常数） ；h22解：比耐公式2 h u22 d uuF m将 F 代入得d22 d u2 k u2h2h2,式中k2d2h22细心整理归纳 精选学习资料 其解为uAcoskk02 k h2 第 5 页,共 15 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -r1Ak h 222 2k hk01eak02cos kcos k22 2 2 2 式中 a k h 2,e Ak h 2将基准线转动一角度,可使 0 0 得 a r 1 e cos k2-1 求匀称扇形薄片的质心,此扇形的半径为 a ,所对的圆心角为 2；并证明半圆 片的质心的距离为 4 a 3 解：取对称轴为 x 轴,就质心比在对称轴上；设密度为a x C 2 0 0 r a cos rdrd 2 sin 2 0 0 rdrd 3对于半圆片,取,x C 2 sin / 2 4 a 2 3 / 2 3 a 或者直接积分 x C 2 2 00 a a a 22 x x 22 xdx dx a a 3 2 / 3 / 4 3 4 a2-2 如自半径为为 a 的球上,用一与球心相距为 b 的平面,切出一球形帽,求此球形 帽的质心；解：方法一细心整理归纳 精选学习资料 球形帽可看作由很多圆薄片沿Z 轴叠成,其质心坐标x cyc0 第 6 页,共 15 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -z crrcos r2sin2dzcos3 cos cos brr2sin 2dz1 cos 2 cos b r1 22 cos11 44 coscos13 rb 2cosb rcos14 2 rbcos3 cos3cosb r方法二取任一垂直于OZ 轴的两平面来截球冠,截得一微圆球台近似地等于圆柱；dmdVsdzr2z2dzzcrzdmrr2z2zdz12 r z214 zr3 rb2bb24brdmrr2z2dz2 r z13 zr4 2rbbbb32-3 重为 W 的人,手里拿着一个重为 跳去；当他达到最高点时,将物体以相对速度距离增加了多少？w 的物体；此人用与地平线成 角的速度向前u 水平向后抛出；问：由于物体的抛出,跳的解：选人与重物组成一个系统,此系统在水平方向无外力作用,水平方向动量应守恒；人在抛出重物以前,水平速度为 v 0cos,在最高点抛出重物之后,其水平速度变为 v ,就W w W wv v 0 cos u v 0 cosg g g g人抛出重物后,做以v为初速的平抛运动,比不抛重物落地点要远,增加的距离xvv 0sinxv 0cosv 0singg两式联立得w uv 0sinWg争论：如抛出物体时速度是相对人后来的速度即W gvw gvuwWwv0cosgg结果是xwuv 0sinWgv ,就上面第一个方程变为细心整理归纳 精选学习资料 一个例子：人重60 公斤,物重2 公斤,起跳速度5 m s,抛物速度10 m s,就 第 7 页,共 15 页 x0.12 m - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2-13 长为 l 的匀称细链条伸直地平放在水平光滑桌面上,其方向与桌边沿垂直,此时链条的一半从桌上下垂；起始时,整个链条是静止的；试用两种不同的方法,求此链条的末端滑到桌子的边沿时,链条的速度；解：【方法一】重力为设链条的线密度为,就 t 时刻下落的链条质量为glmly ,此时链条所受的2mgly g ,依据牛顿其次定律有2ldvly gdt2作变换vdy,tdv代入上式dtyvdvly gdy2两边积分vvdvlly gdy ,v130022【方法二】设链条的线密度为,当链条往下移y ,重力做的功为求雨滴速度与时间的Wyygdygy y0Wlgydymg3ll8212 mvWmg3 l,v13 gl282216 雨滴下落时, 其质量的增加率与雨滴的表面积成正比例,关系；解：变质量动力学方程细心整理归纳 精选学习资料 dmv dmumgu0,代入上式得 第 8 页,共 15 页 dtdt设水蒸气凝聚在雨滴上之前在空气中的速度m dv v dm mgdt dt设雨滴半径 r 的增长率为, rat ,式中 a 为t0时雨滴的半径, 雨滴的质量m4r3,式中为密度3dva3tvgdt - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -其解vat3 gat4c4设t0时,v0的cga4绕轴转动；一质量为m 的小4vgataa4t34问题：轴为竖直而定点在下的抛物线形金属丝,以匀角速度环套在此金属丝上,并可沿金属丝滑动；是争论其运动；抛物线方程x24 ay建立动参考系 oxy ,就动能T1m x & 2y & 22x2mx2dx2mgx02势能 Vmgy2 d x运动微分方程m 1x24a2dt24 adt2a对上式积分一次1x2dx22gx2Ct04 a2dt2ax2t再积分一次12a2cn1mgx2 x 0/42a一个自由度下,应用虚功原理求平稳问题半径为 r 的光滑半球形碗固定在水平桌面上,一均质棒斜靠在碗缘,一端在碗内,另一端在碗外,在碗内长度为,c ,试证棒长为l4c2c2 r2解：主动力Fx0Fymg ,体系平稳时,由虚功原理得细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 15 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -WF xxFyymg y0上式中如选 y 为广义坐标,得出y0这与广义坐标的变分独立性相冲突,故不能选y 为广义坐标；选为广义坐标,就y2 cosl/ 2sin,y2rcos / 2cosy0, 2 cos / 2cos0而 cosc/ 2 r ,sin4r2c2/ 2 r 得棒长l4c2c2r2取直角坐标为广义坐标,如xx y ,yy ,由于xdxy ,yy就dyWFxdxFyyQyy0dy广义力QyF xdxFydyy 独立,平稳方程为Qy0,即F xdxF y0dy两种特别情形当F x0,Fy0时,平稳方程简化为dxy0；FxFydy0,即dy0；dy当F y0,Fx0时,平稳方程FxdxF0改写为dydxdx说明n 个质点组成的力学系统,有 s 个自由度, 选取一组广义坐标r r iq q 2,L,qs设去取值范畴给 第 10 页,共 15 页 出的 s 维区域为Ds R ；主动力作用点（质点）的矢径为q q2Lq s,i1, Ln,虚位移r r is1r r iq,i1, LnD*I i ,D i中 成 立 ； 一 般 有q只 有 在r iri1, Ln;1, Ls 定 义 域Di的 交 集q细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -D*Ds R ；从而产生虚位移和广义力的定义域就是广义坐标的值域的误会；考虑两种情形（1）平稳位置q0D*D ,虚功原理化成WsQ0；1r（2）平稳位置 q 0D ,但 q 0D ,诸 * ir i 1, L n ; 1, L s 中至少有一个在平稳q位置 q 不存在；所选广义坐标虽能表达质点系的平稳位置,但在平稳位置的虚位移 0却不能用广义坐标变分的线性组合来表达；即 r ri s r ri q , i 1, L n 不成立；1 q在平稳位置不是 Q y 0,而是 Q 不存在；如 取 y 为 广 义 坐 标 , 就 r r x x i ryj r,r r dxi r rj y,dx 的 奇 点 方 程 为dy dy2 24 c cL 8 r 0,平稳点是虚位移和广义力的奇点；（论述该问题的文献：高校物理,200 年 5 月和 2002 年 4 月）r 设力 F在球坐标系中沿坐标轴方向的重量为rF ,F , F ；如取三个球坐标 , ,为广义Q rF r；F坐标,试证其三个广义力为QrFQrsin证明：r FF e rrF e rF e rr e（2 分）虚位移r rr re rrr ersin虚功WF rrrFrsinF（2 分）而虚位移又可以写成WQ rrQQ（2 分）Q rF r（2 分）l 的不行伸长的细线连接并挂在肯定滑轮上,试用两式比较得QrFQrsinF质量分别为m 和m 的两个质点用一长为拉格朗日方程求体系的运动微分方程；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 15 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解：力学体系有一个自由度；取m 到滑轮固定点的距离x 为广义坐标体系势能为Vm gxm g lrx（2 分）体系的动能T1 m 12m gx& 2m g lrx （2 分）拉格朗日函数LTV1 2m 1m gx & 2m gx（3 分）分别对广义坐标和广义速度求偏导数L m 1m x &,L m 1m gx &x代入拉格朗日方程的体系运动微分方程（ 3 分）m 1m 2&&m 1m 2g一个质量为 m 的圆环,从一个倾斜角为 环的运动微分方程；的斜面上无滑动地滚下来；试用拉格朗日方程求解：力学体系有一个自由度；取环到斜面顶点的距离 x 为广义坐标体系势能为Vmg lxsin（2 分）体系的动能T1mx & 21mr2&mx & 2（2 分）22拉格朗日函数LTVmx & 2mg lxsin分别对广义坐标和广义速度求偏导数L 2 mx &,L mg sin（3 分）x & x代入拉格朗日方程的体系运动微分方程2 && g sin（3 分）质量为 m 的小环 P,套在半径为 r 的光滑圆圈上, 并可沿着圆圈滑动；如圆圈在水平面内以匀角速度 绕圈上某点 O 转动,已知体系的拉氏函数为L mr 2 21/ 2 mr 2 & 2mr 2 & mr 2 2cos mr 2 & cos式中 为 P 与圆心 O 的连线和通过 O 点的直径间所夹的角；试用哈密顿正就方程求关于的运动微分方程；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 15 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解：体系拉格朗日函数为Lmr221/ 2mr2& 2mr2&mr22cosmr2& cosl 第 13 页,共 15 页 pL &mr2&mr2mr2cos&p21 cos （2 分）mr由勒让德变换得哈密顿函数HLp&1mr22cos2p1cos 1mr22p22（ 3 分）222 mr代入正就方程得p &&H2p21 cos sin（3 分）pmrHmr2sin cosp整理得：&&& sinp &2即&&2 sin0=常数（2 分）mr试用保守系的拉格朗日方程求单摆的运动微分方程并在小角度摇摆时解出该方程；解：取悬线和铅垂线的夹角为广义坐标,就其动能和势能分别为T1m l & 2Vmgl1cos （2 分）2拉格朗日函数为LTV1m l& 2mgl1 cos （2 分）2L &ml &,Lmglsin代如保守系的拉格朗日方程得ml2&&mglsin0（2 分）小角度摇摆时变为&&g0（2 分）l其解为0cos tg l,其中0为振幅,为初位相；（2 分）质量为m 的质点, 被限制在水平固定的光滑直线上滑动,另一质量为m 的质点用一长为细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -的轻杆和 m 相联；此杆只能在通过固定直线的铅直平面内运动,设此二质点只受重力作用；解答以下问题：（1）如选x和 为广义坐标,就体系有没有循环坐标？如有,找出来,并求出相应的守恒量；（2）用拉格朗日方程求出体系运动微分方程；解：如图,设质点m 的坐标为 ,0,质点m 的坐标为 xlcos , sin,动能和势能分别为Tm 12x & 2m 22x &lsin& 2& 2l22 cos& 2（ 2 分）V1 2m 1m 2m 2l22lx & & sinx & 22（1 分）m glsin拉氏函数LTV1 2m 1m x & 2 m 2 l 2 & 22x ,是循环坐标,就有2 lx & & sin m glsin（1 分）（1）拉氏函数中不含（ 2 分）p xLm 1m x &m l& sin=C=常数x &（2）求体系运动微分方程pLm l2&m lx & sin&椭圆标准方程x2y21a2b2离心率ea2b2,面积 Sab 第 14 页,共 15 页 a细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -周长L4 a0/ 212 esin2tdt4aE e ,2式中E e ,221 122e21 3 2 424 e1 3 52e6L 第 15 页,共 15 页 32 4 65设ab,就24684abLab116384L464256L1.5ab ab或Lab64364162细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -