2022年《机械优化设计》复习题答案.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -机械优化设计复习题解答一、填空题1、用最速下降法求fX=100x 2- x 1 2 2+1- x 1 2 的最优解时,设 X-47,-50 T；（0）-0.5,0.5T,第一步迭代的搜寻方向为2、机械优化设计采纳数学规划法,其核心一是查找搜寻方向 ,二是 运算最优步长 ；3、当优化问题是 凸规划 的情形下,任何局部最优解就是全域最优解；4、应用进退法来确定搜寻区间时,最终得到的三点,即为搜寻区间的始点、中间点和终点,它们的函数值形成 高低高 趋势；5、包含 n 个设计变量的优化问题,称为 n 维优化问题；6、函数 1X THX B TX C 的梯度为 B；27、设 G 为 n×n 对称正定矩阵,如 n 维空间中有两个非零向量 d 0,d 1,满意 d 0 TGd 1=0,就 d 0、d 1 之间存在 共轭关系；8、设计变量、目标函数、约束条件 是优化设计问题数学模型的基本要素；9、对于无约束二元函数 f x 1x 2 ,如在 x 0 x 10 , x 20 点处取得微小值,其必要条件是,充分条件是 正定；10、K-T 条件可以表达为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合；11 、 用 黄 金 分 割 法 求 一 元 函 数 f x x 210 x 36 的 极 小 点 , 初 始 搜 索 区 间 a , b 10 , 10 ,经第一次区间消去后得到的新区间为 -2.36 10 ；12、优化设计问题的数学模型的基本要素有 设计变量 、目标函数、约束条件 ；113、牛顿法的搜寻方向 d k= H k g k,其运算量 大 ,且要求初始点在微小点 邻近 位置；14 、 将 函 数fX=x 1 2+x2 2-x1x2-10x1-4x2+60表 示 成1XTHXBTXC的 形 式2；15、存在矩阵 H,向量 d1,向量 d2,当满意 d1 轭；THd2=0,向量 d1 和向量 d2 是关于 H 共16、采纳外点法求解约束优化问题时,将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩处因 子 r 数列,具有 单调递增 特点；17、采纳数学规划法求解多元函数极值点时,依据迭代公式需要进行一维搜寻,即求细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -最 第 1 页,共 11 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优步长 ；二、挑选题 1、下面 C 方法需要求海赛矩阵；A、最速下降法 B、共轭梯度法 C、牛顿型法 D、DFP 法 2、对于约束问题minfX2 x 12 x 24x 24X1T 1,1为,X25 1 ,2 2T g 1Xx 12 x 210 g 2X3x 10 g 3Xx 20依据目标函数等值线和约束曲线,判定为；DA内点；内点 B. 外点；外点 C. 内点；外点 D. 外点；内点 3、内点惩处函数法可用于求解 B 优化问题；A 无约束优化问题 B 只含有不等式约束的优化问题 C 只含有等式的优化问题 D 含有不等式和等式约束的优化问题 4、对于一维搜寻, 搜寻区间为 a,b,中间插入两个点 a1、b1,a1<b1,运算出 fa1<fb 1,就缩短后的搜寻区间为 D；A a1,b1 B b1,b C a1,b D a,b1 5、D 不是优化设计问题数学模型的基本要素；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 11 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A 设计变量 B 约束条件 C 目标函数 D 正确步长6、变尺度法的迭代公式为xk+1=xk-kHk fxk,以下不属于 Hk 必需满意的条件的是C ；A. H k 之间有简洁的迭代形式 B.拟牛顿条件 C.与海塞矩阵正交 D.对称正定7、函数fX在某点的梯度方向为函数在该点的A；A、最速上升方向 B、上升方向 C、最速下降方向 D、下降方向8、下面四种无约束优化方法中,阶导数；A 梯度法 B 牛顿法 C 变尺度法 D 坐标轮换法D 在构成搜寻方向时没有使用到目标函数的一阶或二9、设f X为定义在凸集 R 上且具有连续二阶导数的函数,就fX在 R 上为凸函数的充分必要条件是海塞矩阵GX 在 R 上到处 B；A 正定B 半正定C 负定D 半负定D,假设要10、以下关于最常用的一维搜寻摸索方法黄金分割法的表达,错误选项求在区间 a,b插入两点 1、2,且 1<2；A、其缩短率为 0.618 B、1=b-（b-a）C、1=a+（b-a）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 11 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -D、在该方法中缩短搜寻区间采纳的是外推法；11、与梯度成锐角的方向为函数值 A 方向,与负梯度成锐角的方向为函数值 B 方向,与梯度成直角的方向为函数值 C 方向；A、上升 B、下降 C、不变 D、为零 12、二维目标函数的无约束微小点就是 B；A、等值线族的一个共同中心 B、梯度为 0 的点 C、全局最优解 D、海塞矩阵正定的点13、最速下降法相邻两搜寻方向A 相切B 正交C 成锐角D 共轭d k 和 d k+1 必为 B 向量；14、以下关于内点惩处函数法的表达,错误选项 A；A 可用来求解含不等式约束和等式约束的最优化问题；B 惩处因子是不断递减的正值 C 初始点应挑选一个离约束边界较远的点；D 初始点必需在可行域内 三、问答题（ 看讲义 ）1、试述两种一维搜寻方法的原理,它们之间有何区分？2、惩处函数法求解约束优化问题的基本原理是什么？3、试述数值解法求正确步长因子的基本思路；4、试述求解无约束优化问题的最速下降法与牛顿型方法的优缺点；5、写出用数学规划法求解优化设计问题的数值迭代公式,并说明公式中各变量的意义,并说明迭代公式的意义；6、什么是共轭方向？满意什么关系？共轭与正交是什么关系？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 11 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -四、解答题1、试用梯度法求目标函数fX=1.5x 1 2+0.5x2 2- x1x2-2x1 的最优解, 设初始点 x 0=-2,4T,选代精度 =0.02（迭代一步）；解：第一运算目标函数的梯度函数, 运算当前迭代点的梯度向量值梯度法的搜寻方向为, 因此在迭代点 x 0 的搜寻方向为 12,6T 在此方向上新的迭代点为：= =把新的迭代点带入目标函数,目标函数将成为一个关于单变量 的函数令,可以求出当前搜寻方向上的最优步长新的迭代点为当前梯度向量的长度 第一迭代步完成；, 因此连续进行迭代；2、试用牛顿法求 f X =x 1-2 2+x1-2x2 2 的最优解,设初始点x0=2,1T；解 1：（注：题目出题不当,初始点已经是最优点,解2 是修改题目后解法； ）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 11 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -牛顿法的搜寻方向为,因此第一求出当前迭代点x0的梯度向量、海色矩阵及其逆矩阵不用搜寻,当前点就是最优点；解 2：上述解法不是典型的牛顿方法,缘由在于题目的初始点挑选不当；以下修改求解 题目的初始点,以表达牛顿方法的典型步骤；以非最优点 x0=1,2T 作为初始点,重新采纳牛顿法运算x 0,因此第一求出当前迭代点牛顿法的搜寻方向为的梯度向量、以及海色矩阵及其逆矩阵梯度函数：初始点梯度向量：海色矩阵：海色矩阵逆矩阵：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 11 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -当前步的搜寻方向为：新的迭代点位于当前的搜寻方向上：= =把新的迭代点带入目标函数,目标函数将成为一个关于单变量 的函数令,可以求出当前搜寻方向上的最优步长新的迭代点为当前梯度向量的长度 其次迭代步：, 因此连续进行迭代；因此不用连续运算,第一步迭代已经到达最优点；这正是牛顿法的二次收敛性；对正定二次函数,牛顿法一步即可求出最优点；3、设有函数 fX=x 1 2+2x2 2-2x1x2-4x1,试利用极值条件求其极值点和极值；解： 第一利用极值必要条件找出可能的极值点：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 11 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -令求得,是可能的极值点；*=-8 再利用充分条件正定（或负定）确认极值点；因此正定 , 是微小点,极值为fX4、求目标函数 f X =x 12+x1x2+2x22 +4x1+6x2+10 的极值和极值点；解法同上5、试证明函数f X =2x 12+5x22 +x3 2+2x3x2+2x3x1-6x2+3 在点1,1,-2T 处具有微小值；解： 必要条件：将点1,1,-2 T 带入上式,可得充分条件细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 11 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -40正定；因此函数在点 1,1,-2 T处具有微小值6、给定约束优化问题min fX=x 1-3 2+x2-2 2 s.t. g1X=x1 2x2 250 g2X= x12x240 g3X= x 10 g4X=x 20 验证在点 X , Kuhn-Tucker 条件成立；T解：第一,找出在点 X , 起作用约束：Tg1X 0 g2X 0 g3X 2 g4X 1 因此起作用约束为 g1X 、g2X；然后,运算目标函数、起作用约束函数的梯度,检查目标函数梯度是否可以表示为起作用约束函数梯度的非负线性组合；, 求解线性组合系数细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 11 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -得到 均大于 0 因此在点X , Kuhn-Tucker 条件成立7、设非线性规划问题2 2m i n f X x 1 2 x 2s . t . g 1 X x 1 0g 2 X x 2 02 2g 3 X x 1 x 2 1 0用 K-T 条件验证 X *0,1 T为其约束最优点；解法同上8、已知目标函数为 fX= x 1+x2,受约束于：g1X=-x 1 2+x20g2X=x 10 写出内点罚函数；解：内点罚函数的一般公式为其中： r1>r2 >r3 >rk >0 是一个递减的正值数列rkCrk-1,0C1 因此 罚函数为：9、已知目标函数为fX= x 1-1 2+x2+22受约束于： g1X=-x 2-x1-10g2X=2-x 1-x20g3X=x 10细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 11 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -g4X=x 20试写出内点罚函数；解法同上10、如图,有一块边长为6m 的正方形铝板,四角截去相等的边长为x 的方块并折转,造一个无盖的箱子,问如何截法（x 取何值）才能获得最大容器的箱子；试写出这一优化问题的数学模型以及用 MATLAB 软件求解的程序；11、某厂生产一个容积为 8000cm 3 的平底无盖的圆柱形容器,要求设计此容器消耗原材料最少,试写出这一优化问题的数学模型以及用 MATLAB 软件求解的程序；12、一根长 l 的铅丝截成两段,一段弯成圆圈,另一段弯折成方形,问应以怎样的比例截断铅丝,才能使圆和方形的面积之和为最大,试写出这一优化设计问题的数学模型以及用 MATLAB 软件求解的程序；13、求表面积为 300m 2的体积最大的圆柱体体积； 试写出这一优化设计问题的数学模型以及用 MATLAB 软件求解的程序；14、薄铁板宽 20cm,折成梯形槽,求梯形侧边多长及底角多大,才会使槽的断面积最大；写出这一优化设计问题的数学模型,并用 matlab 软件的优化工具箱求解 （写出M 文件和求解命令）；15、已知梯形截面管道的参数是：底边长度为 c,高度为 h,面积 A=64516mm 2,斜边与底边的夹角为 ,见图 1；管道内液体的流速与管道截面的周长 s 的倒数成比例关系（s只包括底边和两侧边,不计顶边） ；试依据使液体流速最大确定该管道的参数；写出这一优化设计问题的数学模型；并用 matlab 软件的优化工具箱求解（写出 M 文件和求解命令）；16、某电线电缆车间生产力缆和话缆两种产品；力缆每米需用材料 9kg,3 个工时,消耗电能 4kW· h,可得利润 60 元；话缆每米需用材料4kg,10 个工时,消耗电能 5kW· h,可得利润 120 元；如每天材料可供应 360kg,有 300 个工时消耗电能 200kW· h 可利用；如要获得最大利润,每天应生产力缆、话缆各多少米？写出该优化问题的数学模型以及用 MATLAB 软件求解的程序；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 11 页 - - - - - - - - -