2022年《步步高》高考数学第一轮复习导数的应用.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -§3.2 导数的应用 一 2022 高考会这样考1.利用导数的有关学问,争论函数的单调性、极值、最值；2.争论含参数的函数的单调性、极值问题复习备考要这样做1.从导数的定义和“ 以直代曲” 的思想懂得导数的意义,体会导数的工具作用； 2.懂得导数和单调性的关系,把握利用导数求单调性、极值、最值的方法步骤1 函数的单调性在某个区间 a, b内,假如 fx>0,那么函数 yfx在这个区间内单调递增；假如fx<0,那么函数 yfx在这个区间内单调递减2 函数的极值1 判定 fx0是极值的方法一般地,当函数 fx在点 x0 处连续时,假如在 x0 邻近的左侧 fx>0,右侧 fx<0,那么 fx0是极大值；假如在 x0 邻近的左侧 fx<0,右侧 fx>0,那么 fx0是微小值2 求可导函数极值的步骤求 fx；求方程 fx0 的根；检查 fx在方程 fx0 的根的左右两侧导数值的符号假如左正右负,那么 fx在这个根处取得极大值；假如左负右正,那么 3 函数的最值fx在这个根处取得微小值1 在闭区间 a,b上连续的函数 fx在a,b上必有最大值与最小值2 如函数 fx在a,b上单调递增,就 fa为函数的最小值,fb为函数的最大值；如函数 fx在 a, b上单调递减,就 fa为函数的最大值,fb为函数的最小值3 设函数 fx在a,b上连续,在 a,b内可导,求 fx在a,b上的最大值和最小值的步骤如下：求 fx在a,b内的极值；将 fx的各极值与 fa,fb进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值难点正本 疑点清源 1 可导函数的极值表示函数在一点邻近的情形,是在局部对函数值的比较；函数的最值是细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -表示函数在一个区间上的情形,是对函数在整个区间上的函数值的比较2 fx>0 在a,b上成立是 fx在a,b上单调递增的充分条件3 对于可导函数 fx,fx00 是函数 fx在 xx0 处有极值的必要不充分条件1 如函数 fxx 2a在 x 1 处取极值,就 a_. x1答案3 x2x22x x2 a x1 2x22x a x1 2.由于 fx在 x1 处取极值,所以1 是 fx解析f0 的根,将 x1 代入得 a3. 2 函数 fxx3ax2 在1, 上是增函数,就实数 答案 3, a 的取值范畴是 _解析fx 3x2a,fx在区间 1, 上是增函数,就 f x3x2a0 在1,上恒成立,即 a3x2在1,上恒成立a3. 3. 如图是 yfx导数的图象,对于以下四个判定：fx在2, 1上是增函数；x 1 是 fx的微小值点；fx在1,2上是增函数,在 2,4上是减函数；x3 是 fx的微小值点其中正确的判定是 _填序号 答案 解析 fx在2, 1上是小于等于 0 的,fx在2, 1上是减函数； f 10 且在 x0 两侧的导数值为左负右正,x 1 是 fx的微小值点；对,不对,由于f3 0. 第 2 页,共 18 页 4 设函数 gxxx21,就 gx在区间 0,1 上的最小值为A 1 B0 C2 3D.393答案C 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解析gxx3x,由 gx3x 2 10,解得 x13 3,x23 3 舍去 细心整理归纳 精选学习资料 当 x 变化时, gx与 gx的变化情形如下表： 第 3 页,共 18 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -x 00,333 3,11 33gx0gx 0 微小值 0 所以当 x3时, gx有最小值 g 33 32 9 . 35 2022 ·辽宁 函数 fx的定义域为 R,f12,对任意 xR,fx>2,就 fx>2x4 的解集为 A 1,1 B 1, C, 1 D, 答案 B 解析 设 mxfx2x4,mxfx2>0,mx在 R 上是增函数 m1f1240,mx>0 的解集为 x|x>1 ,即 fx>2x4 的解集为 1,. 题型一 利用导数争论函数的单调性例 1 已知函数 fxexax 1. 1 求 fx的单调增区间；2 是否存在 a,使 fx在2,3上为减函数,如存在,求出 明理由a 的取值范畴,如不存在,说思维启发： 函数的单调性和函数中的参数有关,要留意对参数的争论解 fxex a,1 如 a0,就 fxe xa 0,即 fx在 R 上递增,如 a>0,e xa0,e xa,xln a. 因此当 a0 时, fx的单调增区间为 R,当 a>0 时, fx的单调增区间是 ln a, 2 fxe xa0 在2,3上恒成立aex在 x2,3上恒成立细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -又 2<x<3,e2<e x<e 3,只需 ae 3. 当 ae3时, fxexe3在 x2,3上,fx<0,即 fx在 2,3上为减函数, ae 3. 故存在实数 ae3,使 fx在2,3上为减函数探究提高 1利用导数求函数 fx的单调区间的一般步骤：确定函数 fx的定义域；求导数 fx；在函数 fx的定义域内解不等式 fx>0 和 fx<0；依据的结果确定函数 fx的单调区间2 要留意对含参数的函数的单调性进行争论；3 对已知函数的单调性的问题肯定要把握导数的条件已知函数 fxx3ax2 3x. 细心整理归纳 精选学习资料 1 如 fx在1, 上是增函数,求实数a 的取值范畴； 第 5 页,共 18 页 2 如 x3 是 fx的极值点,求fx的单调区间解1对 fx求导,得fx3x22ax3. 由 fx0,得 a3 2 x1 x . 记 tx3 2 x1 x,当 x1 时, tx是增函数,txmin3 2110.a0. 2 由题意,得f3 0,即 276a30,a4.fxx34x2 3x,fx3x28x3. 令 fx0,得 x11 3,x23. 当 x 变化时, fx、fx的变化情形如下表：x ,1 3 1 31 3,3 3 3, fx00fx极大值微小值fx的单调递增区间为,1 3, 3, ,fx的单调递减区间为1 3,3 . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -题型二 利用导数争论函数的极值例 2 已知函数 fxx33ax2 3x1. 1 设 a2,求 fx的单调区间；2 设 fx在区间 2,3中至少有一个极值点,求 a 的取值范畴思维启发： 1单调区间即为 fx>0, fx<0 的解区间2 fx的零点在 2,3内至少有一个解 1当 a2 时, fxx36x23x1,fx3x 212x33x23x 23当 x,23时, fx>0 ,fx在 ,23上单调递增；当 x23,23时, fx<0,fx在23,23上单调递减；当 x23, 时, fx>0 ,fx在23, 上单调递增综上, fx的单调增区间是 ,23和23, ,fx的单调减区间是 23,232 fx 3x 26ax33xa 21a 2当 1a2 0 时, fx0,fx为增函数,故 fx无极值点；当 1a2<0 时, fx0 有两个根 x1aa21,x2aa 21. 由题意,知 2<aa2 1<3, 或 2<aa 21<3,无解, 的解为5 4<a<3,因此 a 的取值范畴为 5 4,5 3探究提高1导函数的零点并不肯定就是函数的极值点所以在求出导函数的零点后一定要留意分析这个零点是不是函数的极值点细心整理归纳 精选学习资料 2 此题的易错点为不对1a2 进行争论,致使解答不全面 第 6 页,共 18 页 2022 ·安徽 设 fxe x2,其中 a 为正实数1ax1 当 a4 3时,求 fx的极值点；2 如 fx为 R 上的单调函数,求a 的取值范畴 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解对 fx求导得 fxex·1ax 22ax1ax 2 2.41 当 a3时,如 fx0,就 4x28x30,解得 x13 2,x21 2.结合 ,可知x ,1 2 12 2,3 32 32, fx00fx 极大值 微小值3 1所以 x12是微小值点, x22是极大值点2 如 fx为 R 上的单调函数,就 fx在 R 上不变号,结合 与条件 a>0,知 ax 22ax10 在 R 上恒成立,即 4a24a4aa10,由此并结合 a>0,知 0<a1. 所以 a 的取值范畴为 a|0<a1 题型三利用导数求函数的最值xfx的解例 3已知函数 fxx3ax2bx5,记 fx的导数为 f1 如曲线 fx在点 1,f1处的切线斜率为3,且 x2 3时 yfx有极值,求函数析式；2 在1的条件下,求函数fx在4,1上的最大值和最小值细心整理归纳 精选学习资料 思维启发： 1构建方程 f13,f2 30,求得 a,b,进而确定函数fx的解析式 第 7 页,共 18 页 2 列出 fx与 fx的变化表,比较端点值和极值的大小解1fx3x22axb. 依题意 f13,f2 30,得32ab3,解之得a2,3·224 3a b0,b 4.3所以 fxx 32x24x 5. 2 由1知, fx3x24x4x23x2令 fx0,得 x1 2,x22 3. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -当 x 变化时, fx,fx的变化情形如下表：x 4 4, 2 2 2,2 3 2 3,1 23 1 fx00极大fx11 微小值9527 4 值 13 fx在4,1上的最大值为 13,最小值为 11. 探究提高 在解决类似的问题时,第一要留意区分函数最值与极值的区分求解函数的最值时,要先求函数 y fx在a,b内全部使 fx0 的点,再运算函数 yfx在区间内全部使 fx0 的点和区间端点处的函数值,最终比较即得2022 ·重庆 已知函数 fx ax 3bx c 在点 x 2 处取得极值 c16. 1 求 a,b 的值；2 如 fx有极大值 28,求 fx在 3,3上的最小值解 1由于 fxax3bxc,故 fx3ax2b. 由于 fx在点 x2 处取得极值 c16,f2 0,12ab 0,故有 即f 2 c16,8a2bcc16,12ab0,a1,化简得 解得4ab 8,b 12.2 由1知 fxx312xc,fx3x 2123x2x2令 fx0,得 x1 2,x22. 当 x, 2时, fx>0,故 fx在 , 2上为增函数；当 x2,2时, fx<0,故 fx在 2,2上为减函数；当 x2, 时, fx>0,故 fx在 2, 上为增函数细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -由此可知fx在 x 2 处取得极大值f216c,fx在 x2 处取得微小值 f2c16. 由题设条件知 16c28,解得 c12. 此时 f39 c21, f3 9c3,f2 16 c 4,因此 fx在3,3上的最小值为 f2 4. 利用导数求函数最值问题典例： 14 分已知函数 fxln xax aR1 求函数 fx的单调区间；2 当 a>0 时,求函数 fx在1,2 上的最小值审题视角 1已知函数解析式求单调区间,实质上是求 fx>0,fx<0 的解区间,并留意定义域2先争论 fx在1,2 上的单调性,再确定最值是端点值仍是极值3 由于解析式中含有参数 a,要对参数 a 进行分类争论规范解答细心整理归纳 精选学习资料 解1fx1 x a x>0,1 分 第 9 页,共 18 页 当 a 0 时, fx1 xa>0,即函数 fx的单调增区间为0, 3 分当 a>0 时,令 fx1 xa0,可得 x1 a,当 0<x<1 a时, fx1 ax>0；x当 x>1 a时, fx1ax x <0,故函数 fx的单调递增区间为0,1 a,单调递减区间为1 a, . 5 分2 当1 a1,即 a1 时,函数 fx在区间 1,2 上是减函数,所以fx的最小值是f2ln - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -22a. 9 分当1 a2,即 0<a1 2时,函数 fx在区间 1,2上是增函数,所以 fx的最小值是 f1a .10 分 当 1<1 a<2,即 12<a<1 时,函数 fx在 1,1a上是增函数,在 1a,2 上是减函数又 f2f1ln 2a,1所以当 2<a<ln 2 时,最小值是 f1 a；当 ln 2 a<1 时,最小值为 f2 ln 22a.12 分综上可知,当 0<a<ln 2 时,函数 fx的最小值是 a；当 aln 2 时,函数 fx的最小值是 ln 22a.14 分答题模板用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题：第一步：求函数 fx的导数 fx；其次步：求 fx在给定区间上的单调性和极值；第三步：求 fx在给定区间上的端点值；第四步：将 fx的各极值与 fx的端点值进行比较,确定 fx的最大值与最小值；第五步：反思回忆：查看关键点,易错点和解题规范温馨提示1此题考查求函数的单调区间,求函数在给定区间1,2 上的最值,属常规题型2 此题的难点是分类争论考生在分类时易显现不全面,不精确的情形3 思维不流畅,答题不规范,是解答中的突出问题 . 方法与技巧1 留意单调函数的充要条件,特别对于已知单调性求参数值范畴 时,隐含恒成立思想2 求极值、最值时,要求步骤规范、表格齐全；含参数时,要争论参数的大小细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -3 在实际问题中,假如函数在区间内只有一个极值点,那么只要依据实际意义判定是最大值仍是最小值即可,不必再与端点的函数值比较失误与防范1 求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯,可使问题直观且有条理,削减失分的可能2 函数最值时,不行想当然地认为极值点就是最值点,要通过仔细比较才能下结论3 题时要留意区分求单调性和已知单调性的问题,处理好 fx0 时的情形； 区分极值点和导数为 0 的点A 组 专项基础训练时间： 35 分钟,满分： 57 分 一、挑选题 每道题 5 分,共 20 分 1. 如函数 yfx的导函数y fx的图象如下列图,就yfx的图象可能为 答案C 解析依据 fx的符号, fx图象应当是先下降后上升,最终下降,排除A ,D；从适合 fx0 的点可以排除B. 2 设 aR,如函数 ye xax,xR 有大于零的极值点,就A a< 1 Ba>1 Ca>1Da<1ee答案A 解析y ex ax,ye xa. 函数 ye xax 有大于零的极值点,就方程 ye xa0 有大于零的解,x>0 时, ex< 1,a e x<1. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -3 函数 fxx 33x22 在区间 1,1上的最大值是 A 2 B0 C2 D4 答案C x3x26x,令 fx0,得 x0 或 x2. 解析ffx在1,0上是增函数, fx在0,1上是减函数fxmax fx极大值 f02. 4 如函数 fx13x 31 2ax 2a1x 1 在区间 1,4内为减函数,在区间 6, 内为增函数,就实数 a 的取值范畴是 A a2 B5 a7 C4a6 Da5 或 a7 答案 B 解析 由于 fx1 3x312ax2a1x1,所以 fxx 2axa1,由题意知当 1<x<4 时, fx0 恒成立,即 x 2axa10 在 1,4上恒成立,ax1x21,ax11< x<4,所以 a 5.同理 a7. 二、填空题 每道题 5 分,共 15 分 5 已知 fx2x36x2m m 为常数 在2,2上有最大值3,那么此函数在2,2上的最小值为 _答案37 解析fx6x212x6xx2,fx在2,0上为增函数,在 0,2上为减函数,当 x 0 时, fxm 最大 m3,从而 f2 37,f2 5.最小值为 37. 6 已知函数 fx m2x 2m24xm 是偶函数, 函数 gx x3 2x2mx 5 在, 内单调递减,就实数 m_. 答案2 解析 如 fxm2x2m24x m 是偶函数,就 m240, m ±2. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -如 gx 3x 24xm0 恒成立,就 164× 3m0,解得 m4 3,故 m 2. 7 函数 fxx 33ax23a2x1有极大值又有微小值,就答案 a>2 或 a<1 解析fx x33ax 23a2x1,fx3x26ax3a2令 3x 26ax3a20,即 x 22axa20. 函数 fx有极大值和微小值,方程 x22axa 20 有两个不相等的实根即 4a24a8>0, a>2 或 a<1. 三、解答题 共 22 分 8 10 分已知函数 fxax 2bln x 在 x1 处有极值1 2. 1 求 a,b 的值；2 求函数 yfx的单调区间解1fx2axb x.又 fx在 x 1 处有极值1 2. a 的取值范畴是 _得 f 1 1 2,即 a1 2,解之得 a1 2,b 1. f1 0,2ab0.2 由1可知 fx12x 2ln x,其定义域是 0, ,1 x1 x1且 fxxxx . 由 fx<0,得 0<x<1；由 fx>0,得 x>1. 所以函数 yfx的单调减区间是 0,1,单调增区间是 1, 9 12 分已知函数 fxln|x| x 0,函数 gxf1xafx x 01 求函数 ygx的表达式；细心整理归纳 精选学习资料 2 如 a>0,函数 ygx在0, 上的最小值是2,求 a 的值 第 13 页,共 18 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解 1由于 fxln|x|,所以当 x>0 时, fxln x,当 x<0 时, fxln x所以当 x>0 时, fx1 x,xa时取等号当 x<0 时, fx1x· 11 x. 所以当 x 0 时,函数 ygxxa x. 2 由1,知当 x>0 时, gxxa x. 所以当 a>0,x>0 时, gx2a,当且仅当所以函数ygx在0, 上的最小值是2a. 所以 2 a2.解得 a1. B 组 专项才能提升时间： 25 分钟,满分： 43 分 一、挑选题 每道题 5 分,共 15 分 1 2022 ·重庆 设函数fx在 R 上可导,其导函数为fx,且函数 fx在 x 2 处取得极小值,就函数yxfx的图象可能是 答案C 细心整理归纳 精选学习资料 解析fx在 x 2 处取得微小值, 第 14 页,共 18 页 当 x<2 时, fx单调递减,即fx<0；当 x>2 时, fx单调递增,即fx>0. 当 x<2 时, yxfx>0； - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -当 x 2 时, yxfx0；当 2<x<0 时, yxfx<0； 第 15 页,共 18 页 当 x0 时, yxfx0；当 x>0 时, yxfx>0. 结合选项中图象知选C. 2 函数 y xex,x0,4 的最小值为A 0 B.1 eC. 4 e 4D. 2 e 2答案A 解析y e xx1,y与 y 随 x 变化情形如下表：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -x 00,111,44 y0y 0 取极大值 1e e 44当 x0 时,函数 yxex取到最小值 0. 3 fx是定义在 R 上的偶函数,当 x<0 时,fxx· fx<0,且 f40,就不等式 xfx>0的解集为 A 4,04, B4,00,4 C, 44, 答案 D D, 40,4 解析令 gxx·fx,就 gx为奇函数且当x<0 时, gxfxx·fx<0,gx的图象的变化趋势如下列图：所以 xfx>0 的解集为 , 40,4二、填空题 每道题 5 分,共 15 分 4 已知函数 fxx3ax2bx c x2,2对应的曲线C 过坐标原点, 且在 x±1 处切线的斜率均为 1,就 fx的最大值和最小值之和等于 _答案 0 解析 由曲线 fxx3ax2bxc x2,2过坐标原点可知 c 0. fx3x22axb,由已知得f1 3×1 22a× 1 b 1,f1 3× 122a× 1b 1,解得 a 0,b 4,fxx34x, fx在 x2,2上有最大值,最小值,且函数 fx x 34x 为奇函数,函数 fxx34x 的最大值和最小值之和为 0. 5 设函数 fxp x1 x2ln xp 是实数 ,如函数 fx在其定义域内单调递增,就实数 p 的取值范畴为 _细心整理归纳 精选学习资料 答案1, 第 16 页,共 18 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解析易知函数fx的定义域为 0, ,由于 fxpx22xp,要使 fx为单调增x 2函数,须fx0 在0, 上恒成立,即1px22xp0 在0, 上恒成立,即p2x x2121在0, 上恒成立,又21,xxxx所以当 p1 时, fx在0, 上为单调增函数