2022年一元二次方程的概念及解法.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载一元二次方程的概念及解法学问图谱1、一元二次方程学问精讲一一元二次方程的概念只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程一元二次方程2的一般形式：ax bx c 0 a 0, a 为二次项系数,b 为一次项系数,c 为常数项判定是一元二次方程的标准：整式方程 一元方程 二次方程二一元二次方程的解一元二次方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根三点剖析一考点 ：一元二次方程的概念,一元二次方程的解细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载二重难点 ：一元二次方程的一般形式,一元二次方程的解三易错点 ：1. 确定方程是否为一元二次方程只需要检验最高次项0-二次项的系数是否为零即可；0且b02. 留意对于关于x 的方程ax2bxc0,当a时,方程是一元二次方程；当a时,方程是一元一次方程；3. 一元二次方程的系数肯定要化为一般式之后再看题模精讲题模一：概念例 1.1.1以下方程中是关于3x 的一元二次方程的是（）01Ax21 2 x0Bax2bxcC32 x2x53 x2Dx1x2例 1.1.2方程 m2xmmx10是关于x的一元二次方程,就m_ 例 1.1.3如方程m1x2m x1是关于x的一元二次方程,就m 的取值范畴是 _例1.1.4方程x422x13的 二次项系数是 _,一 次项系数是 _ ,常数 项是_ 题模二：解例1.2.1关 于x 的 一 元 二 次 方 程a1x2xa210的 一 个 根 是0 , 就a的 值 为_例 1.2.2已知x1是关于 x 的方程x2mxn0的一个根,就m22 mn2 n 的值为 _随堂练习随练 1.1如m2 xm22x30是关于 x 的一元二次方程,就m的值为 _； 第 2 页,共 19 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -随练1.2关于 x 的方程m1 x2精品资料3m欢迎下载,当 m _时是一元一次方程；m1 x20当 m _时是一元二次方程2 2 2随练 1.3 如一元二次方程 m 2 x 3 m 15 x m 4 0 的常数项为零,就 m 的值为 _随练 1.4 如关于 x 的一元二次方程（a+1）x 2+x a 2+1=0 有一个根为 0,就 a 的值等于（）A 1 B0 C1 D1 或者1随练 1.5 已知方程 x 2m 2 x n 3 0 的两根分别是 2 、3 ,就 m n _随练 1.6 如 x=1 是关于 x 的一元二次方程 x 2+3mx+n=0的解,就 6m+2n=_随练 1.7 如关于 x 的一元二次方程为 ax 2+bx+5=0（ a 0）的解是 x=1 ,就 2022-a-b 的值是（）A2022 B2022 C2022 D20222、直接开平方法学问精讲一 直接开平方法如x2a a0,就 x 叫做 a 的平方根,表示为xa ,这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法二直接开平方法的基本类型1x2a a00ac解为： xaabdxa2 b b2解为： x3axb2c c0解为： axbc4axb2 cxd2 解为：axb cx三点剖析一考点 ：直接开平方法二重难点 ：直接开平方法三易错点 ：直接开平方法解一元二次方程时留意一般都有两个解,不要漏解,假如是两个相等的解,也要写成x 1x2a 的形式 第 3 页,共 19 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载题模精讲题模一：直接开平方法例 2.1.12求下面各式中x 的值：（1）4x19 2；（2）x25例 2.1.2求 x 的值：1 5 3x2 130随堂练习随练 2.1解以下方程：216x205（ 3）1x290（1）22 x80（2）25随练 2.2解关于 x 的方程：x6x92 2随练 2.3如方程x22a4有实数根,就a 的取值范畴是 _.随练 2.4解关于 x 的方程：23 x2 1853、配方法学问精讲一配方法细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载配方法：把方程化成左边是一个含有未知数的完全平方式,右边是一个非负常数,再利用直接开平方法求解的这样一种方法就叫做配方法二配方法的一般步骤：运用配方法解形如ax2bxc0 a0的一元二次方程的一般步骤是：1二次项系数化1；2常数项右移；3配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）；b2ab2c04化成xm 2n 的形式 ；5如n0,选用直接开平方法得出方程的解ax2bxc0 a0a x2bxc0 a xa2a2aa xb2b2cxb2b244 2 aac2 a4a2a三点剖析一考点 ：配方法二重难点 ：配方法解一元二次方程,配方法求解最值或取值范畴三易错点 ：在化成直接开平方法求解的时候需要检验方程右边是否是非负的,假如是就利用直接开平方法求解即可,假如不是,原方程就没有实数解题模精讲题模一：配方法例 3.1.1用配方法解方程：2 x6x40例 3.1.2用配方法解以下方程：（1）2x28x10x22 x10时,配方后得到的方程为（）（x122（2）x224x201x10（3）x263（4）3y12 3y例 3.1.3用配方法解方程A（x2 10B（2 1C（x2 12Dx0例 3.1.4用配方法解关于x 的方程2 xpxq0（ p, 为已知常数） 第 5 页,共 19 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 3.1.5已知x2y24x6y130精品资料欢迎下载y x 的值, x 、 y 为实数,求题模二：最值问题例 3.2.1试用配方法说明x22x3的值恒大于 0x4y7的最小值例 3.2.2已知 x 、 y 为实数,求代数式x2y22例 3.2.3已知 a , b , c 是整数,且a2b4,abc210,求 abc 的值随堂练习随练 3.1用配方法解方程：x2x23 x102k 的形式,其中m、 k 为常数,就km随练 3.2如把代数式x257化为xm随练 3.3已知a,b,c均为实数,且ab4,2c2ab43 c10,求ab的值随练 3.4用配方法说明10x27x4的值恒小于 0细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -随练 3.5已知x,y为实数,求代数式精品资料4y28欢迎下载4的最小值5x2xy2x4、公式法学问精讲一公式法公式法：一元二次方程ax2bxc0 a0,用配方法将其变形为：xb2b24 ac2a4a2根的判别式b24ac ,x x 是方程的两根,如b24ac0,就x 1,2bb24ac2a二公式法解一元二次方程的一般步骤1把方程化为一般形式；2确定 a 、 b 、 c 的值；23运算 b 4 ac 的值；24如 b 4 ac 0,就代入公式求方程的根；25如 b 4 ac 0,就方程无解三判别式与根的关系10 时,原方程有两个不相等的实数解；20 时,原方程有两个相等的实数解；30 时,原方程没有实数解三点剖析一考点 ：公式法二重难点 ：利用公式法求解一元二次方程,利用判别式判定根的情形三易错点 ：在用公式法求解方程的解时,肯定要判定“” 的取值范畴,只有当0 时,一元二次方程才有实数解题模精讲细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载题模一：公式法例 4.1.1用公式法解关于x 的一元二次方程m1x22m1xm30例 4.1.2解方程： x2+4x 1=0 例 4.1.3解方程x 6x14 x322x12例 4.1.4用公式法解关于x 的一元二次方程m12 x2m1xm30例 4.1.5解方程：x x3x20题模二：判别式与根的关系例 4.2.1以下一元二次方程中,有两个不相等实数根的方程是（）m 的取值范畴是Ax2+1=0Bx2 3x+1=0Cx2 2x+1=0Dx2 x+1=0例 4.2.2已知关于x 的一元二次方程2 mx2x10有两个不相等的实数根,就（）1Bm1且m0） 第 8 页,共 19 页 AmCm1且m0Dm1例 4.2.3关于 x 的方程（ a-6 ）x2-8x+6=0 有实数根,就整数a 的最大值是（细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A6B7精品资料C8欢迎下载D9随堂练习随练 4.1用公式法解一元二次方程2x23x10随练 4.2解方程 x5x71随练 4.3解关于x的方程：x2pxq0随练 4.4解关于x的方程2 xx10随练 4.5以下一元二次方程中无实数解的方程是（）Ax 2+2x+1=0 Bx 2+1=0Cx 2=2x-1 Dx 2-4x-5=02随练 4.6 如关于 x 的一元二次方程 kx 2 x 1 0 有两个不相等的实数根,就 k 的取值范畴是（）Ak 1 Bk 1 C k 0 k 1 且Dk 1 且 k 0随练 4.7 已知关于 x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+1=0 有实数根,就 m的取值范畴是（）Am-5 4且 m 1Bm5 4且 m 1 第 9 页,共 19 页 DCm5 4m-5 4且 m 0细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载5、因式分解法学问精讲一因式分解法因式分解法：当一元二次方程的一边是 0 ,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们 就可以用分解因式的方法求解,这种用分解因式解一元二次方程的方法叫做因式分解法因式分解法解一元二次方程的依据：假如两个因式的积等于0,即：如ab0,就a0或b0三点剖析一 考点 ：因式分解法解一元二次方程0 ,那么这两个因式至少有一个为二 重难点 ：利用提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等方法解一元二次方程三 易错点 ：没有化成ab0的形式,例如由2x12x1直接得到 2x11从而导致漏解或者直接得到2x10从而导致错解题模精讲题模一：因式分解法例 5.1.1用因式分解法解方程：x2324x x30例 5.1.2用因式分解法解方程：3 x4x40例 5.1.3用因式分解法解方程：9x2216x120细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 5.1.4用因式分解法解方程：x2精品资料2mn欢迎下载0,（m、n为常数）3 mx2 mn2随堂练习随练 5.1用因式分解法解方程：2x12x36x x2随练 5.2用因式分解法解方程：5x21053 1随练 5.3用因式分解法解方程：62 xx350随练 5.4用因式分解法解关于x 的一元二次方程2 m12 x6 3 m1x720（2 m1）6、根与系数的关系学问精讲一韦达定理细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -假如ax2bxc0a0的两根是精品资料欢迎下载b,x x 2c（隐含的条件：1x ,2x ,就x 1x 2aa0 ）特殊地,当一元二次方程的二次项系数为1时,设1x ,2x 是方程x2pxq0的两个根,就x 1x 2p ,x 1x2q 二韦达定理与根的符号关系在2 b4ac0的条件下,如1x ,x 是ax2bxc0 a0的两根（其中x 1x ）我们有如下结论：1c0x x20,如b0,就x 1x 2；如bb0,就x 12x20aaa2c0x x20如b0,就x 1x 20；如0,就xx 1aaa更一般的结论是：如1x ,x 是ax2bxc0a0的两根（其中x 1x ）,且 m 为实数,当0 时,一般地：（1）x 1mx 2m0x 1m ,2xm01xm ,2xm（2）x 1m x 2m 0且x 1m x 2m0（3）x 1m x 2m 0且x 1mx2m 1xm ,2xm特殊地：当m0时,上述就转化为ax2bxc0a0有两异根、两正根、两负根的条件三点剖析一 考点 ：韦达定理二 重难点 ：韦达定理的应用1已知方程的一个根,求另一个根以及确定方程参数的值；2已知方程,求关于方程的两根的代数式的值；3已知方程的两根,求作方程；4结合根的判别式,争论根的符号特点；5逆用构造一元二次方程帮助解题：当已知等式具有相同的结构时,就可以把某两个变元看 作某个一元二次方程的两根,以便利用韦达定理三 易错点 ：在使用韦达定理的时候没有提前检验 0 是否成立题模精讲题模一：韦达定理例 6.1.1如方程2 x4xc0的一个根为23 ,就方程的另一个根为_, c_ 第 12 页,共 19 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 6.1.2设1x 、x 是方程x22k1精品资料20欢迎下载x 11x 218,就xk2的两个不同的实根,且k 的值是a213 am0,2 b13 bm0,求b aa的值假如 a , b 都是质数,且例 6.1.3b随堂练习随 练6.1已 知 m , n 是 有 理 数 , 并 且 方 程x2mxn0有 一 个 根 是52 , 那 么mn_0有两个实数根,并且这两个根的平方和比这随练6.2已知关于x 的方程x22m2xm25两个根的积大16,求 m 的值24x2m80的一个根大于1,另一个根小于1,求 m 的取值范随练 6.3已知关于 x 的方程x围随练 6.4假如实数a b 分别满意a22a2,2 b2 b2,求1 a1的值b细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -作业 1如|b1|a20精品资料欢迎下载）,就以下方程肯定是一元二次方程的是（Aax25xb0x0a2B2 b12 xa3x50Db1x2ax10Ca1x2b1x7作业 2已知关于 x 的方程ax22是一元二次方程,求a 的取值范畴作业 3已知方程2xaxbx240是关于x的一元二次方程,求a 、 b 的值？作业 4如 n（n 0）是关于 x 方程 x2+mx+2n=0的根,就 n+m+4的值为（）A1B2m2x2xC-10D-2作业 5关于 x 的一元二次方程m24有一根为 0,就 m的值为 _.作业 6解方程：3 1x26作业 7解关于 x 的方程：3x1227细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -作业 8精品资料欢迎下载用直接开平方法解以下一元二次方程（1）9x2160021230（2）x5216（3）x523x1（4）4 2x529 3x作业 9解方程：22 x8x作 业10将 方 程2 x4x10化 为xm2n的 形 式 , 其 中m, n是 常 数 , 就mn_ 6xq0可以配方成xp27的形式,那么2 x6xq2可以配成以下作业11已知方程x2的（）p25b92mnmbnc120Bxp29AxCxp22Dxp225作业 12已知2 mn11,就mn 的值为 _作业 13已知a23,3,就a2b2c2abbcac的值为 _细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -作 业 14实数a,b,c满意a2精品资料,b2欢迎下载23,c22a14,就abc 的 值为6 b178 c_作业 15设x1y21z32,求代数式x2y22 z 的最小值作业 16解方程3 x25 2x10作业 17用公式法解方程：ax2bxc0（a、b、c为常数且a0）作业 18设方程x22x140求满意该方程的全部根之和作业 19一元二次方程x2+2x+1=0 的根的情形（）A有一个实数根m 2xB有两个相等的实数根m 的取值范C有两个不相等的实数根D没有实数根作业 20已知关于x 的一元二次方程2+（2m-1）x+1=0 有两个不相等的实数根,就围是（）Bm1 4且 m 1 第 16 页,共 19 页 Ak- 1 4Cm1且 m 0Dm- 1 4且 m 04细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -作业 21如关于x的方程2 kx2k1x精品资料0欢迎下载k 的取值范畴k1有实数根,求作业 222xx35x3 的解是（）Ax5x26x9Bxx3q02Cx 15Dx22,x 235作业 23用因式分解法解方程4x284作业 24解关于x的方程2 xp2q2xpq pqp作 业25已 知 方 程2x2m x2m40 的 一 个 解 为 1 , 就 另 一 个 解 为 _ ,m_22 xmx30的两根的平方和为5,就 m=_作业 26已知方程作业 27实数 k 为何值时,关于x 的一元二次方程x22k3x2k40（1）有两个正根？（2）两根异号,且正根的肯定值较大？（3）一根大于3,一根小于3？ 第 17 页,共 19 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -作业28阅读材料：设一元二次方程精品资料c欢迎下载的两根是1x、x ,就根与系数关系为：ax2bx0a0x 1x 2bx x 2c2 pp10,1qq20,且pq1,求pq1的值a ,a 已知q作业 29已知方程 2（m+1） x2+4mx+3m=2,依据以下条件之一求m的值（1）方程有两个相等的实数根；（2）方程有两个相反的实数根；（3）方程的一个根为0x2 |x| 2=0 作业 30阅读下面的例题,解方程解：原方程化为|x|2 |x| 2=0令 y=|x| ,原方程化成y2 y 2=0 解得： y1=2,y2= 1 当|x|=2 ,x=± 2；当 |x|= 1 时（不合题意,舍去）原方程的解是x1=2 x 2= 2 x 1）2 5|x 1| 6=0请仿照上面的方法解方程：（作业 31解方程组：x2y22x04y02 xy4作业 32观看下表,回答疑题,第_个图形中“ ” 的个数是“ ” 的个数的5 倍细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -作业 33观看以下方程及其解的特点：精品资料欢迎下载（1）x+ 1 x=2 的解为 x1=x2=1；（2）x+ 1 x= 5 2的解为 x1=2,x2= 1 2（3）x+ 1 x=10 3的解为 x1=3,x2= 1 3；解答以下问题：（1）请猜想：方程（2）请猜想：关于（3）下面以解方程 解：原方程可化为x+ 1 x=26 5的解为 _；x 的方程 x+ 1 x=_的解为 x1=a,x 2= 1 a（a 0）；x+ 1 x=26 5为例,验证（ 1）中猜想结论的正确性5x2-26x=-5 （下面请大家用配方法写出解此方程的具体过程）作业34已知三个关于x 的一元二次方程ax2bxc0,bx2cxa0,cx2ax