2022年一元二次方程章节知识点及应用题经典题型汇总.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -一元二次方程章节学问点及应用题经典题型汇总一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫做一元二次方程；2、一元二次方程的一般形式：ax2bxc0a0,它的特点是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式,等式右边是零,其中一次项系数； c 叫做常数项；一元二次方程的解法 1、直接开平方法 : 2 ax 叫做二次项, a 叫做二次项系数； bx 叫做一次项, b 叫做利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法；直接开平方法适用于解形如xba2xb的一元二次方程；依据平方根的定义可知,xa是 b 的平方根,当b0时,xaab,当 b<0 时,方程没有实数根；,2、配方法 : 2 2 2配方法的理论依据是完全平方公式 a 2 ab b a b ,把公式中的 a 看做未知数 x,并用 x 代替,就有 x 22 bx b 2 x b 2；配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为 1,再同时加上 1 次项的系数的一半的平方,最终配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法；一元二次方程ax2bxc0 a0的求根公式：a,一次项的系数为xbb24acb24ac0 2a公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入,这里二次项的系数为b,常数项的系数为c 4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简洁易行,是解一元二次方程最常用的方法；分解因式法的步骤：把方程右边化为0,然后看看是否能用提取公因式,公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘,假如可以,就可以化为乘积的形式 5、韦达定理细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -利用韦达定理去明白,韦达定理就是在一元二次方程中,二根之和=-b/a ,二根之积 =c/a 也可以表示为 x1+x2=-b/a,x1x2=c/a；利用韦达定理,可以求出一元二次方程中的各系数,在题目中很常用一元二次方程根的判别式根的判别式一元二次方程ax2bxc0 a0中,b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0a0 的根的判别式,通常用“” 来表示,即b24acI 当 >0 时,一元二次方程有2 个不相等的实数根；II当 =0时,一元二次方程有2 个相同的实数根；III当 <0 时,一元二次方程没有实数根一元二次方程根与系数的关系假如方程 ax 2bx c 0 a 0 的两个实数根是 x ,x 2,那么 x 1 x 2 b,x 1 x 2 c；也就是a a说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商；一元二次方程的二次函数的关系大家已经学过二次函数 （即抛物线） 了,对他也有很深的明白, 似乎解法, 在图象中表示等等,其实一元二次方程也可以用二次函数来表示,其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情形,就是当 Y的 0 的时候就构成了一元二次方程了；那假如在平面直角坐标系中表示出来,一元二次方程就是二次函数中,图象与 X轴的交点；也就是该方程的解了一元二次方程应用题学习了一元二次方程的解法以后,就会常常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题,即列一元二次方程解应用题,不少同学遇到这类问题总是左右犯难,难以下笔,事实上,同学们只要能认真地阅读题目,分析题意,并能学会分解题目,各个击破,从而找到已知的条件和未知问题,必要时可以通过画图、列表等方法来帮忙我们理顺已知与未知之间的关系,找到一个或几个相等的式子, 从而列出方程求解,同时仍要准时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目,举例说明. 一、增长率问题例 1 恒利商厦九月份的销售额为 200 万元,十月份的销售额下降了 20% ,商厦从十一月份起加强治理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了 193.6 万元,求这两个月的平均增长率 . 解 设这两个月的平均增长率是 x.,就依据题意,得 2001 20%1+ x2 193.6 ,即 1+ x21.21 ,解这个方程,得 x1 0.1,x2 2.1 （舍去） . 答 这两个月的平均增长率是 10%. 说明 这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题, 在弄清晰增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式 m1+ x2细心整理归纳 精选学习资料 第 2 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -n 求解,其中 mn.对于负的增长率问题,如经过两次相等下降后,就有公式m1 x2n 即可求解,其中mn. 二、商品定价例 2 益群精品店以每件 21 元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,如每件商品售价 a 元,就可卖出（ 350 10a）件,但物价局限定每件商品的利润不得超过 20% ,商店方案要盈利 400 元,需要进货多少件？每件商品应定价多少？解 依据题意,得 a 21350 10 a 400 ,整理,得 a 256a+775 0,解这个方程,得 a125,a2 31. 由于 21× 1+20%25.2 ,所以 a2=31 不合题意,舍去 . 所以 350 10a350 10× 25 100 （件） . 答需要进货 100 件,每件商品应定价25 元. . 说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点三、储蓄问题例 3 王红梅同学将 1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“ 少儿银行” ,到期后将本金和利息取出,并将其中的 500 元捐给“ 期望工程” ,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的 90% ,这样到期后,可得本金和利息共 530 元,求第一次存款时的年利率 .（假设不计利息税）解 设第一次存款时的年利率为 x. 就依据题意,得 10001+ x5001+0.9 x 530. 整理,得 90x 2+145 x3 0. 解这个方程,得 x1 0.0204 2.04% ,x2 1.63. 由于存款利率不能为负数,所以将 x2 1.63 舍去 . 答 第一次存款的年利率约是 2.04%. 说明 这里是按训练储蓄求解的,应留意不计利息税 . 四、趣味问题例 4 一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽 4 米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高 2 米,二人没方法,只好请教聪慧人,聪慧人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗？解设渠道的深度为xm,那么渠底宽为 x+0.1m ,上口宽为 x+0.1+1.4m. . 就依据题意,得1x+0.1+ x+1.4+0.1·x1.8,整理,得x 2+0.8 x1.8 0. 2解这个方程,得x1 1.8 （舍去）,x21. 所以 x+1.4+0.11+1.4+0.12.5. 答渠道的上口宽2.5m ,渠深 1m. 说明求解此题开头时好象无从下笔,但只要能认真地阅读和口味,就能从中找到等量关系,列出方程求解五、古诗问题细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 5读诗词解题：（通过列方程式,算出周瑜去世时的年龄）. 大江东去浪淘尽,千古风流数人物；而立之年督东吴,早逝英年两位数；十位恰小个位三,个位平方与寿符；哪位学子算得快,多少年华属周瑜？解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为 x,就十位数字为 x 3. 就依据题意,得 x 2 10 x3+ x,即 x2-11x+30 0,解这个方程,得 x 5 或 x 6. 当 x5 时,周瑜的年龄 25 岁,非而立之年,不合题意,舍去；当 x6 时,周瑜年龄为 36 岁,完全符合题意 . 答 周瑜去世的年龄为 36 岁. 说明 此题虽然是一道古诗问题,但它涉及到数字和年龄问题,通过求解同学们应从中认真口味 . 六、象棋竞赛例 6 象棋竞赛中,每个选手都与其他选手恰好竞赛一局,每局赢者记 2 分,输者记 0 分.假如平局,两个选手各记 1 分,领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数,分别是 1979 ,1980 , 1984 , 1985. 经核实,有一位同学统计无误 .试运算这次竞赛共有多少个选手参与 . 解 设共有 n 个选手参与竞赛,每个选手都要与 n 1个选手竞赛一局,共计 nn 1局,但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次,因此实际竞赛总局数应为 1nn 1 局.由于每局共计 2 分,所以全部选手得分总共为 nn 1分 .明显 n 1与2n 为相邻的自然数,简洁验证,相邻两自然数乘积的末位数字只能是 0,2,6,故总分不行能是 1979 ,1984 ,1985 ,因此总分只能是 1980 ,于是由 n n 1 1980 ,得 n 2n1980 0,解得 n145,n2 44（舍去） . 答 参与竞赛的选手共有 45 人. 说明 类似于此题中的象棋竞赛的其它体育竞赛或互赠贺年片等问题,都可以仿照些方法求解 . 七、情形对话例 7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅行,推出了如图 1 对话中收费标准 . 某单位组织员工去天水湾风景区旅行,共支付给春秋旅行社旅行费用 27000 元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅行？解 设该单位这次共有 x 名员工去天水湾风景区旅行 .由于 1000× 25 25000 27000 ,所以员工人数肯定超过 25 人. 就依据题意,得 1000 20 x 25 x27000. 整理,得 x 275x+1350 0,解这个方程,得 x1 45,x2 30. 当 x45 时, 1000 20 x25 600700 ,故舍去 x1；当 x2 30 时, 1000 20 x25 900 700,符合题意 . 答：该单位这次共有30 名员工去天水湾风景区旅行. 第 4 页,共 10 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -说明求解此题要时刻留意对话框中的数量关系,求得的解仍要留意分类争论,从中找出符合题意的结论. 假如人数不超过 25 人,人均旅 假如人数超过 25 人,每增加 1 人,人游费用为 1000 元. 均旅行费用降低 20 元,但人均旅行费用不得低于 700 元. 图 1 八、等积变形例 8 将一块长 18 米,宽 15 米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分） 所占的面积为原先荒地面积的三分之二 .（精确到 0.1m ）（ 1）设计方案 1（如图 2）花园中修两条相互垂直且宽度相等的小路 . （ 2）设计方案 2（如图 3）花园中每个角的扇形都相同 . 以上两种方案是否都能符合条件 .如能,请运算出图 2 中的小路的宽和图 3 中扇形的半径；如不能符合条件,请说明理由 . 解 都能 .（ 1）设小路宽为 x,就 18x+16 xx 22× 18 ×15,即 x 234 x+180 0,3解这个方程,得 x 34 436,即 x6.6. 2（ 2）设扇形半径为 r,就 3.14r 22× 18 × 15,即 r 257.32 ,所以 r7.6. 3说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积,面积公式；其原就是形变积不变；或形变积也变,但重量不变,等等 . BQ九、动态几何问题图 3 A P C例 9如图 4 所示,在ABC中, C 90° ,AC 6cm ,BC8cm ,点 P 从点 A 动身沿边 AC向点 C以 1cm/s 的速度移动,点Q 从 C点动身沿 CB边向点 B 以 2cm/s 的速度移动 . （ 1）假如 P、Q 同时动身,几秒钟后,可使PCQ的面积为 8 平方厘米？（ 2）点 P、Q 在移动过程中,是否存在某一时刻,使得PCQ的面积等于ABC的面积的一半 .如存在,求出运动的时间；如不存在,说明理由 . 解 由于 C90° ,所以 ABAC 2BC 26 28 2 10（ cm）. （ 1）设 xs 后,可使PCQ的面积为 8cm2,所以 APxcm,PC 6xcm ,CQ 2xcm. 细心整理归纳 精选学习资料 第 5 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -就依据题意,得1·6 x ·2x 8.整理,得 x 26x+8 0,解这个方程,得x12,x2 4. 2所以 P、Q 同时动身, 2s 或 4s 后可使 PCQ的面积为 8cm2. （ 2）设点 P 动身 x 秒后, PCQ的面积等于ABC面积的一半 . . 就依据题意,得16x ·2x1 2×1 2× 6× 8.整理,得 x 2 6x+12 0. 2由于此方程没有实数根,所以不存在使PCQ的面积等于 ABC面积一半的时刻. 说明此题虽然是一道动态型应用题,但它又要运用到行程的学问,求解时必需依据路程速度× 时间十、梯子问题例 10 一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上,梯子的底端距墙角 6m. （ 1）如梯子的顶端下滑 1m,求梯子的底端水平滑动多少米？（ 2）如梯子的底端水平向外滑动 1m,梯子的顶端滑动多少米？（ 3）假如梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离,那么滑动的距离是多少米？解 依题意,梯子的顶端距墙角 10 26 28（m ）. （ 1）如梯子顶端下滑 1m,就顶端距地面 7m. 设梯子底端滑动 xm. 就依据勾股定理,列方程 72+6+ x 2 102,整理,得 x 2+12 x 15 0,解这个方程,得 x1 1.14 ,x2 13.14 （舍去）,所以梯子顶端下滑 1m ,底端水平滑动约 1.14m. （ 2）当梯子底端水平向外滑动 1m 时,设梯子顶端向下滑动 xm. 就依据勾股定理,列方程 8x2+6+1 2 100. 整理,得 x 216x+13 0. 解这个方程,得 x1 0.86 ,x2 15.14 （舍去） . 所以如梯子底端水平向外滑动 1m ,就顶端下滑约 0.86m. （ 3）设梯子顶端向下滑动 xm 时,底端向外也滑动 xm. 就依据勾股定理,列方程 8 x2+6+ x 2 102,整理,得 2x 2 4x0,解这个方程,得 x1 0（舍去）,x22. 所以梯子顶端向下滑动 2m 时,底端向外也滑动 2m. 说明 求解时应留意无论梯子沿墙如何上下滑动,梯子始终与墙上、地面构成直角三角形 . 十一、航海问题例 11如图 5 所示,我海军基位置于A 处,在其正南方向200 海里处有一重要AC目标 B,在 B的正东方向200 海里处有一重要目标C,小岛 D 恰好位于 AC的中点,岛上有一补给D码头；小岛F 位于 BC上且恰好处于小岛D 的正南方向,一艘军舰从 A 动身,经 B 到 C匀速巡航一艘补给船同B E F图 5 第 6 页,共 10 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -时从 D 动身,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送往军舰 . （ 1）小岛 D 和小岛 F 相距多少海里？（ 2）已知军舰的速度是补给船的2 倍,军舰在由 B 到 C的途中与补给船相遇于E 处,那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到 0.1 海里）解（ 1）F位于 D 的正南方向,就DFBC.由于 ABBC,D 为 AC的中点,所以 DF1 2AB100 海里,所以,小岛D 与小岛 F相距 100 海里 . （ 2）设相遇时补给船航行了 x海里,那么DEx海里,AB+BE2x海里,EFAB+BC AB+BECF 300 2x海里 . 在 Rt DEF 中,依据勾股定理可得方程 x 2 100 2+300 2x 2,整理,得 3x 2 1200x+100000 0. 解这个方程,得 x1 200 100 6 118.4 ,x2 200+100 6（不合题意,舍去）. 3 3所以,相遇时补给船大约航行了 118.4 海里 . 说明 求解此题时,肯定要认真地分析题意,准时发觉题目中的等量关系,并能从图形中查找直角三角形,以便正确运用勾股定理布列一元二次方程 . 十二、图表信息例 12 如图 6 所示,正方形 ABCD的边长为 12,划分成 12× 12 个小正方形格,将边长为 n（n 为整数,且 2n 11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式,黑白相间地摆放,第一张 n×n的纸片正好盖住正方形 ABCD左上角的n×n个小正方形格,其次张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为 n 1× n1个小正方形 . 如此摆放下去,直到纸片盖住正方形 ABCD的右下角为止 .请你认真观看摸索后回答以下问题：（ 1）由于正方形纸片边长 n的取值不同, .完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同,请填写下表：纸片的边长 n 2 3 4 5 6 使用的纸片张数（ 2）设正方形 ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1,未被盖住的面积为S2. 当 n 2 时,求 S1S2 的值；是否存在使得 S1S2的n值？如存在,恳求出来；如不存在,请说明理由 . 解（ 1）依题意可依次填表为：11、10、9、8、7. （ 2）S1n 2+12 n n 2 n 1 2 n 2+25 n 12. 当 n 2 时, S1 22+25 × 212 34,S2 12× 12 34 110. 所以 S1S234 110 1755. 2,即 n2 25n+84 0,图 6 第 7 页,共 10 页 如 S1S2,就有 n2+25 n 121 2× 12解这个方程,得n1 4,n2 21（舍去） . 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -所以当 n4 时, S1S2.所以这样的 n 值是存在的 . 说明 求解此题时要通过阅读题设条件及供应的图表,准时挖掘其中的隐含条件,对于求解第（3）小题,可以先假定问题的存在,进而构造一元二次方程,看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判定 . 十三、探究在在问题例 13将一条长为20cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形. . （ 1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少. （ 2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗 . 如能,求出两段铁丝的长度；如不能,请说明理由解（ 1）设剪成两段后其中一段为xcm,就另一段为（ 20x） cm. 就依据题意,得x2+20x217,解得 x1 16,x24,44当 x 16 时, 20x4,当 x 4 时, 20x16,答这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm 和 16cm. 20y2 12,整（2）不能 .理由是：不妨设剪成两段后其中一段为ycm,就另一段为（ 20y） cm. 就由题意得y2+44理,得 y 2 20y+104 0,移项并配方,得y 102 40,所以此方程无解,即不能剪成两段使得面积和为12cm2. b 24ac0,方程说明此题的第（ 2）小问也可以运用求根公式中的b2 4ac 来判定 .如 b 24ac 0,方程有两个实数根,如没有实数根,此题中的b24ac 160 即无解 . 十四、平分几何图形的周长与面积问题例 14 如图 7,在等腰梯形 ABCD中, ABDC5,AD4,BC 10.点 E.在下底边 BC上,点 F 在腰 AB 上. （ 1）如 EF平分等腰梯形 ABCD的周长,设 BE 长为 x,试用含 x 的代数式表示 BEF的面积；（ 2）是否存在线段 EF将等腰梯形 ABCD的周长和面积同时平分？如存在,求出此时 BE的长；如不存在,请说明理由；（ 3）是否存在线段 EF将等腰梯形 ABCD的周长和面积同时分成 1 2 的两部分？如存在,求此时 BE的长；如不存在,请说明理由 . 解（ 1）由已知条件得,梯形周长为12,高 4,面积为 28. AD 第 8 页,共 10 页 过点 F 作 FGBC于 G,过点 A 作 AKBC于 K. F就可得, FG125x× 4,B G K E C 图 7 所以 S BEF1 2BE·FG2 5x 2+245x（7x10）. x17,x25（不合题意,舍去） ,（ 2）存在 .由（ 1）得2 5x 2+245x14 ,解这个方程,得细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -所以存在线段EF 将等腰梯形 ABCD的周长与面积同时平分,此时BE 7. （ 3）不存在 .假设存在,明显有 S BEFS多边形AFECD 12,即 BE+ BF AF+ AD+ DC 1 2.就有2 x 2+16 x28,5 5 3整理,得 3x 2 24x+70 0,此时的求根公式中的 b 24ac576 840 0,所以不存在这样的实数 x.即不存在线段 EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成 1 2 的两部分 . 说明 求解此题时应留意：一是要能正确确定 x的取值范畴；二是在求得 x25 时,并不属于 7x 10,应准时地舍去；三是处理第（ 3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探究问题的存在性 . 十五、利用图形探究规律例 15在如图 8 中,每个正方形有边长为1 的小正方形组成：图 8 （ 1）观看图形,请填写以下表格：正方形边长1 3 5 7 n（奇数）黑色小正方形个数2 4 6 8 n（偶数）正方形边长黑色小正方形个数（ 2）在边长为 n（n1）的正方形中,设黑色小正方形的个数为 P1,白色小正方形的个数为 P2,问是否存在偶数n,使 P25P1？如存在,请写出 n的值；如不存在,请说明理由 . 解（ 1）观看分析图案可知正方形的边长为 1、3、5、 7、 、 n 时,黑色正方形的个数为 1、5、 9、13、2n 1（奇数）；正方形的边长为 2、 4、 6、 8、 、 n 时,黑色正方形的个数为 4、 8、12、 16、 2n（偶数） . （ 2）由（ 1）可知 n 为偶数时 P12n,所以 P2n 2 2n.依据题意,得 n 22n 5× 2n,即 n 212n 0,解得 n112,n20（不合题意,舍去）.所以存在偶数 n12,使得 P2 5P1. 说明 此题的第（ 2）小问是属于存在性问题,求解时,可以先假设结论存在,进而从中找到数量关系,使问题获解 . 综上所言,列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的连续和进展,列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型,然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系,从而将实际问题转化为方程模型,要善于将一般语言转化为代数式,在审题时,要特殊留意关键词语,如“ 多少、快、慢、和、细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -差、倍、分、超过、剩余、增加、削减” 等等,此外,仍要把握一些常用的公式或特殊的等量关系,如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等. 第 10 页,共 10 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -