2022年一次函数知识点及其典型例题.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点一次函数基本概念1、变量： 在一个变化过程中可以取不同数值的量；值的量；常量： 在一个变化过程中只能取同一数例题：在匀速运动公式svt中,v 表示速度 ,t 表示时间 , s 表示在时间 t 内所走的路程 ,就变量是 _,常量是 _；在圆的周长公式 _. C=2 r 中,变量是 _ ,常量是2、函数： 一般的,在一个变化过程中,假如有两个变量x 和 y,并且对于x 的每一个确定的值, y 都有唯独确定的值与其对应,那么我们就把x 称为自变量,把y 称为因变量, y是 x 的函数；* 判定 Y 是否为 X 的函数,只要看 X 取值确定的时候,Y 是否有唯独确定的值与之对应1例题：以下函数（1）y= x 2y=2x-1 3y= x 4y=2-1-3x 5y=x 2-1 中,是一次函数的有（）（A）4 个（ B）3 个（C）2 个（D）1 个3、函数的图像一般来说, 对于一个函数, 假如把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象4、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式；5、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；其次步：描点（在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点）平滑曲线连接起来） ；6、函数的表示方法；第三步：连线（依据横坐标由小到大的次序把所描出的各点用列表法：一目了然,使用起来便利, 但列出的对应值是有限的,不易看出自变量与函数 之间的对应规律；解析式法：简洁明白,能够精确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系,但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示；图象法：形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系；7、正比例函数及性质 一般地,形如 y=kxk 是常数, k 0的函数叫做正比例函数,其中 k 叫做比例系数 . 注：正比例函数一般形式 y=kx k 不为零 k 不为零 x 指数为 1 b 取零当 k>0 时,直线 y=kx 经过三、 一象限, 从左向右上升, 即随 x 的增大 y 也增大； 当 k<0时, .直线 y=kx 经过二、四象限,从左向右下降,即随 1 解析式 ：y=kx（k 是常数, k 0）2 必过点 ：（0,0）、（1,k）x 增大 y 反而减小3 走向： k>0 时,图像经过一、三象限；k<0 时, .图像经过二、四象限4 增减性 ：k>0,y 随 x 的增大而增大；k<0,y 随 x 增大而减小5 倾斜度 ：|k| 越大,越接近y 轴； |k| 越小,越接近x 轴 第 1 页,共 10 页 例题 ：.正比例函数y3 m5x ,当 m 时, y 随 x 的增大而增大 . 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -如yx23 b 是正比例函数,就名师总结优秀学问点）b 的值是（A.0 B.2 3C.2D.3x（个）之间的函数关系式是32.函数 y= k-1 x,y 随 x 增大而减小,就k 的范畴是 A.k0B.k1C.k1D.k1东方超市鲜鸡蛋每个0.4 元,那么所付款y 元与买鲜鸡蛋个数_平行四边形相邻的两边长为x、y,周长是 30,就 y 与 x 的函数关系式是_8、一次函数及性质一般地,形如 y=kx bk,b 是常数, k 0,那么 y 叫做 x 的一次函数 .当 b=0 时, y=kx b 即y=kx ,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数 . 注：一次函数一般形式 y=kx+b k 不为零 k 不为零 x 指数为 1 b 取任意实数一次函数 y=kx+b 的图象是经过（0,b）和（ -b ,0）两点的一条直线,我们称它为直k线 y=kx+b, 它可以看作由直线 y=kx 平移 |b| 个单位长度得到 .（当 b>0 时,向上平移； 当 b<0时,向下平移）（1）解析式 ：y=kx+bk 、 b 是常数, k 0 （2）必过点 ：（0,b）和（ -b ,0）k（3）走向： k>0 ,图象经过第一、三象限；k<0,图象经过其次、四象限k b>0,图象经过第一、二象限；b<0,图象经过第三、四象限0直线经过第一、二、三象限k0直线经过第一、三、四象限b0b0k0直线经过第一、二、四象限k0直线经过其次、三、四象限b0b0（4）增减性 ： k>0 ,y 随 x 的增大而增大；k<0,y 随 x 增大而减小 . （5）倾斜度 ：|k| 越大,图象越接近于 y 轴； |k| 越小,图象越接近于 x 轴 . （6）图像的平移 ： 当 b>0 时,将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位；当 b<0 时,将直线 y=kx 的图象向下平移 b 个单位 . 例题：如关于 x 的函数 y n 1 x m 1是一次函数,就 m= ,n . .函数 y=ax+b 与 y=bx+a 的图象在同一坐标系内的大致位置正确选项（）将直线 y3x 向下平移 5 个单位,得到直线 位,得到直线 . ；将直线 y-x- 5 向上平移 5 个单如直线yxa和直线yxb的交点坐标为 m 8,就ab_. 第 2 页,共 10 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -已知函数 y3x+1,当自变量增加名师总结优秀学问点）m 时,相应的函数值增加（ 3m+1 3m m 3m1 即两点确定一条直9、一次函数y=kx b 的图象的画法 . 并且只能画出一条直线,依据几何学问： 经过两点能画出一条直线,线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可.一般情形下：是先选取它与两坐标轴的交点： （0,b）,.即横坐标或纵坐标为0 的点 . b>0 b<0 b=0 经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限k>0 图象从左到右上升,y 随 x 的增大而增大经过第一、二、四象限经过其次、三、四象限经过其次、四象限k<0 图象从左到右下降,y 随 x 的增大而减小如 m0, n 0, 就一次函数y=mx+n 的图象不经过（）D.第四象限A. 第一象限B. 其次象限C.第三象限10、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数 y=kx b 的图象是一条直线,它可以看作是由直线得到（当 b>0 时,向上平移；当b<0 时,向下平移）. 11、直线 y=k 1x+b 1与 y=k 2x+b2 的位置关系（1）两直线平行：k1=k2且 b1b2 （2）两直线相交：k1k 2（3）两直线重合：k1=k2且 b1=b2 12、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）依据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；y=kx 平移 |b|个单位长度而（ 2）将 x、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数 为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式 . 13、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（ a,b 为常数, a 0）的形式,所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0 时,求相应的自变量的值. 从图象上看, 相当 第 3 页,共 10 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -于已知直线名师总结优秀学问点.y=ax+b 确定它与 x 轴的交点的横坐标的值14、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0 或 ax+b<0（ a,b 为常数, a 0）的形式,所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大 （小）于 0 时,求自变量的取值范畴. 15、一次函数与二元一次方程组（1）以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=a bxc的b图象相同 . y=和a 1b 1xc 1（2）二元一次方程组a 1xb 1yc 1的解可以看作是两个一次函数a 2xb 2yc 2b 1y=a 2xc 2的图象交点 . b 2b 2题型一、点的坐标细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -方法：x 轴上的点纵坐标为名师总结优秀学问点0,y 轴上的点横坐标为0；如两个点关于 x 轴对称,就他们的横坐标相同,纵坐标互为相反数；如两个点关于 y 轴对称,就它们的纵坐标相同,横坐标互为相反数；如两个点关于原点对称,就它们的横坐标互为相反数,纵坐标也互为相反数；1、 如点 A （m,n）在其次象限,就点（|m|,-n）在第 _象限；2、 如点 P（ 2a-1,2-3b）是其次象限的点,就 a,b 的范畴为 _ ；3、 已知 A （4, b）,B（a,-2）,如 A ,B 关于 x 轴对称,就a=_,b=_; 如 A,B关 于y 轴 对 称 , 就a=_,b=_; 如 如A , B关 于 原 点 对 称 , 就a=_,b=_；4、 如点 M（1-x,1-y ）在其次象限, 那么点 N（ 1-x,y-1）关于原点的对称点在第 _象限；题型二、关于点的距离的问题方法：点到x 轴的距离用纵坐标的肯定值表示,点到y 轴的距离用横坐标的肯定值表示；任意两点A xA,yA,B xB,yB的距离为x Ax B 2y Ay B2；如 AB x 轴,就A xA,0,B xB,0的距离为x Ax B；如 AB y 轴,就A0,yA,B0,yB的距离为y AyB；点A x A,yA到原点之间的距离为x A2yA21、 点 B（ 2,-2）到 x 轴的距离是 _；到 y 轴的距离是 _；2、 点 C（ 0,-5）到 x 轴的距离是 _；到 y 轴的距离是 _；到原点的距 离是 _；3、 点 D（a,b）到 x 轴的距离是 _；到 y 轴的距离是 _；到原点的距离 是_；4、 已 知 点P （ 3,0 ）, Q-2,0, 就PQ=_, 已 知 点M0,1,N0,1, 就22MQ=_; E2, 1 ,F2, 8,就 EF 两点之间的距离是_;已知点 G（ 2,-3）、H（3,4）,就 G、 H 两点之间的距离是_；5、 两点（ 3,-4）、（5,a）间的距离是2,就 a 的值为 _；6、 已知点 A（0,2）、B（-3,-2）、C（a,b）,如 C 点在 x 轴上,且 ACB=90 ° ,就 C 点坐 标为 _. 题型三、一次函数与正比例函数的识别方法：如 y=kx+bk,b 是常数, k 0,那么 y 叫做 x 的一次函数,特殊的,当b=0 时,一次 第 5 页,共 10 页 函数就成为y=kxk 是常数, k 0,这时, y 叫做 x 的正比例函数,当k=0 时,一次函数就成为如y=b,这时, y 叫做常函数；A 与 B 成正比例A=kBk 0 1、当 k_时,yk3x22 x3是一次函数；2、当 m_ 时,ym3x2m14x5是一次函数；3、当 m_ 时,ym4x2m14x5是一次函数；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -4、2y-3 与 3x+1 成正比例,且名师总结优秀学问点_ ；x=2,y=12, 就函数解析式为题型四、函数图像及其性质方法：函数图象经过象限性质变化规律b0 k0 b=0 b0 y=kx+b （k、b 为常数,且 k 0）k0 b0 b=0 b0 一次函数 y=kx+b （k 0）中 k、 b 的意义：k 称为斜率 表示直线 y=kx+b （k 0）的倾斜程度；b（称为截距）表示直线 y=kx+b（k 0）与 y 轴交点的,也表示直线在 y轴上的；同一平面内,不重合的两直线 y=k 1x+b 1（k 1 0）与 y=k 2x+b2（k2 0）的位置关系：当 时,两直线平行；当 时,两直线垂直；当 时,两直线相交；当 时,两直线交于 y 轴上同一点；特殊直线方程：细心整理归纳 精选学习资料 X 轴 : 直线 Y轴 : 直线 第 6 页,共 10 页 与 X 轴平行的直线与 Y 轴平行的直线一、三象限角平分线二、四象限角平分线 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点1、对于函数 y 5x+6,y 的值随 x 值的减小而 _；2、对于函数y12x , y的值随 x 值的 _而增大；233、一次函数 y=6-3mx 2n 4 不经过第三象限,就m、n 的范畴是 _；4、直线 y=6-3mx 2n 4 不经过第三象限,就 m、n 的范畴是 _；5、已知直线 y=kx+b 经过第一、二、四象限,那么直线 y=-bx+k 经过第 _象限；6、无论 m 为何值,直线 y=x+2m 与直线 y=-x+4 的交点不行能在第 _象限；7、已知一次函数（1）当 m 取何值时, y 随 x 的增大而减小？（2）当 m 取何值时,函数的图象过原点？题型五、待定系数法求解析式方法：依据两个独立的条件确定 k,b 的值,即可求解出一次函数 y=kx+b （k 0）的解析式；已知是直线或一次函数可以设 y=kx+b （k 0）；如点在直线上,就可以将点的坐标代入解析式构建方程；1、如函数 y=3x+b 经过点（ 2,-6 ）,求函数的解析式；2、直线 y=kx+b 的图像经过A（3,4）和点 B（2,7）,3、如图 1 表示一辆汽车油箱里剩余油量 y（升）与行驶时间 x（小时）之间的关系求油箱里所剩油 y（升）与行驶时间 x（小时）之间的函数关系式,并且确定自变量 x 的取值范畴；4、一次函数的图像与 y=2x-5 平行且与 x 轴交于点（ -2,0）求解析式；5、如一次函数y=kx+b 的自变量 x 的取值范畴是 -2 x6,相应的函数值的范畴是-11y9,求此函数的解析式；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -6、已知直线名师总结优秀学问点k、b 的值；y=kx+b 与直线 y= -3x +7 关于 y 轴对称,求7、已知直线y=kx+b 与直线 y= -3x +7 关于 x 轴对称,求k、b 的值；8、已知直线y=kx+b 与直线 y= -3x +7 关于原点对称,求k、b 的值；题型六、平移方法：直线 y=kx+b 与 y 轴交点为（ 0,b）,直线平移就直线上的点（0,b）也会同样的平移,平移不转变斜率 k,就将平移后的点代入解析式求出 b 即可；直线 y=kx+b 向左平移 2 向上平移 3 <=> y=kx+2+b+3; （“ 左加右减,上加下减”）；1. 直线 y=5x-3 向左平移 2 个单位得到直线；2. 直线 y=-x-2 向右平移 2 个单位得到直线13. 直线 y= x 向右平移 2 个单位得到直线24. 直线 y= 3 x 2 向左平移 2 个单位得到直线25. 直线 y=2x+1 向上平移 4 个单位得到直线6. 直线 y=-3x+5 向下平移 6 个单位得到直线7. 直线y1x向上平移 1 个单位,再向右平移1 个单位得到直线；_；38. 直线y3 x 41向下平移 2 个单位,再向左平移1 个单位得到直线9. 过点（ 2,-3）且平行于直线y=2x 的直线是 _ _；10. 过点（ 2,-3）且平行于直线y=-3x+1 的直线是 _. 11把函数 y=3x+1 的图像向右平移2 个单位再向上平移3 个单位,可得到的图像表示的函数是 _；12直线 m:y=2x+2 是直线 n 向右平移 2 个单位再向下平移5 个单位得到的,而（2a,7）在直线 n 上,就 a=_ ；题型七、交点问题及直线围成的面积问题方法：两直线交点坐标必满意两直线解析式,求交点就是联立两直线解析式求方程组的解；复杂图形“ 外补内割” 即：往外补成规章图形,或分割成规章图形（三角形）；往往挑选坐标轴上的线段作为底,底所对的顶点的坐标确定高；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点1、 直线经过（ 1,2）、（-3,4）两点,求直线与坐标轴围成的图形的面积；2、 已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A （3,4）,且 OA=OB （1）求两个函数的解析式； （2）求 AOB 的面积；4A32101234B3、 已知直线 m 经过两点 （1,6）、（-3,-2）,它和 x 轴、y 轴的交点式 B、A ,直线 n 过点（ 2,-2）,且与 y 轴交点的纵坐标是-3,它和 x 轴、 y 轴的交点是D、C；yAyDx（1）分别写出两条直线解析式,并画草图；（2）运算四边形ABCD 的面积；（3）如直线 AB 与 DC 交于点 E,求 BCE 的面积；B44、 如图,A、B 分别是 x 轴上位于原点左右两侧的点,点 P（ 2,-2O-36CEFp）在第一象限,直线PA 交 y 轴于点 C（0,2）,直线 PB 交细心整理归纳 精选学习资料 y 轴于点 D, AOP 的面积为 6；AE CDFP2,pBx（1）求 COP 的面积；O 第 9 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（2）名师总结优秀学问点求点 A 的坐标及 p 的值；（3）如 BOP 与 DOP 的面积相等,求直线 BD 的函数解析式；5、已知：经过点（ -3,-2）,它与 x 轴, y 轴分别交于点 B、A ,直线经过点（ 2,-2）,且与 y 轴交于点 C（0, -3）,它与 x 轴交于点 D （1）求直线 的解析式；（2）如直线 与 交于点 P,求 的值；6. 如图,已知点 A（2, 4）,B（-2,2）,C（4,0）,求 ABC 的面积；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 10 页 - - - - - - - - -