2022年一元二次方程知识点和易错点总结.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载一元二次方程学问点总结学问结构梳理（1）含有 个未知数；（2）未知数的最高次数是1、概念（3）是方程；xm 2nn0；的（4）一元二次方程的一般形式是（1）法,适用于能化为一元；二次方程一 元 二 次2、解法（2）法,即把方程变形为ab=0 的形式,（3）（a,b 为两个因式） , 就 a=0 或法（4）法,其中求根公式是方 程（5）当时,方程有两个不相等的实数根；当时,方程有两个相等的实数根；当时,方程有没有的实数根；可用于解某些求值题（1）一元二次方程的应用（2）（3）可用于解决实际问题的步骤（4）（5）学问点归类（6）建立一元二次方程模型 学问点一 一元二次方程的定义假如一个方程通过移项可以使右边为0,而左边只含有一个未知数的二次多项式,那么这样的方程叫做一元二次方程；留意：一元二次方程必需同时满意以下三点：一个未知数；方程是整式方程； 它只含有未知数的最高次数是 2. 同时仍要留意在判定时,需将方程化成一般形式；例 以下关于 x 的方程,哪些是一元二次方程？x 2 25 3； x 2 6 x 0（3）x x 5（4）x 20（5）2 x x 3 2 x 21学问点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为 ax 2bx c 0（a,b,c 是已知数,a 0）；其中 a,b,c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载留意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数,常数项都包括它前面的符号；（2）要精确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必需把它先化为一般形式；（3）形如ax2bxc0不肯定是一元二次方程,当且仅当a0时是一元二次方程；例 1 将以下方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项；（1）5x27x；（2）x2 x3m8； （3）3x4x3x22m2例 2 已知关于 x 的方程m1xm221x20是一元二次方程时,就学问点三 一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解,如：当 x 2 时,2 2x 3 x 2 0 所以 x 2 是 x 3 x 2 0 方程的解；一元二次方程的解也叫一元二次方程的根；学问点四 建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程；留意 ：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系； （2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系；例 如图（ 1）,有一个面积为 150 的长方形鸡场,鸡场一边靠墙（墙长18m）,另三边用竹篱笆围成,鸡场如竹篱笆的长为 35m,求鸡场的长和宽各为多少？（只设未知数,列出方程,并将它化成一般形式；）因式分解法、直接开平方法学问点一因式分解法解一元二次方程假如两个因式的积等于0,那么这两个方程中至少有一个等于0,即如 pq=0时,就 p=0 或 q=0；用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为 0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积； （3）令每个因式分别为 0,得两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载关键点：（1）要将方程右边化为 0；（2）娴熟把握多项式因式分解的方法,常用方法有：提公式法,公式法（平方差公式,完全平方公式）等；例用因式分解法解以下方程：2x23250；（ 3 ）（ 1 ）5x24x；（ 2 ）x26x952x2；学问点二直接开平方法解一元二次方程如x2aa0,就 x 叫做 a 的平方根,表示为xa,这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法；（ 1）x2aa0的 解 是xa；（ 2）xm2nn0的 解 是x2cn；xnm；（3）mxn2cm0,且c0的解是m例用直接开平方法解以下一元二次方程3x12（1）9x2160； （2）x52160； （3）x5学问点三敏捷运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程形如axb2k0k0的方程,既可用因式分解法分解,也可用直接开平方法解；例运用因式分解法和直接开平方法解以下一元二次方程； 第 3 页,共 12 页 - - - - - - - - - （1）4x52360；（2）12x230细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载学问点四 用提公因式法解一元二次方程把方程左边的多项式（方程右边为0 时）的公因式提出,将多项式写出因式的乘积形式,然后利用“ 如 pq=0 时,就 p=0 或 q=0” 来解一元二次方程的方法,称为提公因式法；如 ：0. 01t22t0, 将 原 方 程 变 形 为t0.01 t20, 由 此 可 得 出t0 或t20,即t 10,t22000. 0留意 ：在解方程时,千万留意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子,否就可能丢失原方程的根；学问点五 形如“x 2a b x b 0 a , b 为 常 数” 的方程的解法；对于形如“x 2 a b x b 0 a , b 为常数” 的方程（或通过整理符合 其 形 式 的 ）, 可 将 左 边 分 解 因 式 , 方 程 变 形 为 x a x b 0, 就x a 0 或 x b 0,即 x 1 a , x 2 b；注 意 ：应 用 这 种 方 法 解 一 元 二 次 方 程 时, 要 熟 悉“x 2 a b x b 0 a , b 为常数” 型方程的特点；例 解以下方程：（1）x 2 5 x 6 0；（2）x 2 x 12 0配方法学问点一 配方法解一元二次方程时, 在方程的左边加上一次项系数一半的平方,再减去这个数,使得含未知数的项在一个完全平方式里,这种方法叫做配方, 配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了,这样解一元二次方程的方法叫做配方法；留意 ：用配方法解一元二次方程x2pxq0,当对方程的左边配方时,肯定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后,仍要再减去这个数；细心整理归纳 精选学习资料 例用配方法解以下方程：（2）x27x20 第 4 页,共 12 页 （1）x26x50；2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载学问点二 用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程的步骤：（1） 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方,再减去这个数；2（2） 把原方程变为 x m n 的形式；（3） 如 n 0,用直接开平方法求出 x 的值,如 n 0,原方程无解；例 解以下方程：x 2 4 x 3 0学问点三 用配方法解二次项系数不是 1 的一元二次方程当一元二次方程的形式为ax2bxc0a0,a1时,用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为 的系数；1：方程的左、右两边同时除以二项2 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方,再减去这个2数,把原方程化为 x m n 的形式；（3）如 n 0,用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程；例 用配方法解以下方程：（1）3 x 2 9 x 2 0；（2）x 24 x 3 0公式法学问点一一元二次方程的求根公式ac的 第 5 页,共 12 页 一元二次方程ax2bxc0a0的求根公式是：xbb242a0用求根公式法解一元二次方程的步骤是： （1）把方程化为ax2bxc0a0,形式,确定的值a ,b .c（留意符号）；（2）求出b24ac的值；（3）如b24ac就a,b .把及b24ac的值代人求根公式xbb24 ac,求出x 1, x 2；2a细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例用公式法解以下方程学习必备欢迎下载（1）2x23x10； （2）2xx210； （3）x2x250学问点二挑选适合的方法解一元二次方程直接开平方法 用于解左边的含有未知数的平方式,右边是一个非负数或也是 一个含未知数的平方式的方程因式分解 要求方程右边必需是0,左边能分解因式；公式法 是由配方法推导而来的,要比配方法简洁；留意：一元二次方程解法的挑选,应遵循先特别,再一般,即先考虑能否用直接 开平方法或因式分解法, 不能用这两种特别方法时, 再选用公式法, 没有特别要 求,一般不采纳配方法,由于配方法解题比较麻烦；例用适当的方法解以下一元二次方程：8x60；（ 3）x2x1 0（1）2x3292x32；（2）x2学问点三一元二次方程根的判别式一元二次方程ax2bxc0a0根的判别式 =b24ac运用根的判别式,不解方程,就可以判定一元二次方程的根的情形：（1） =b24ac 0方程有两个不相等的实数根；（2） =b24ac方程有两个相等的实数根；=0（3） =b24ac方程没有实数根； 0利用根的判别式判定一元二次方程根的情形的步骤：把全部一元二次方程化为一般形式；确定a,b . c的值；运算b24ac的值；依据b24ac的符号判定方程根的情形；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载例 不解方程,判定以下一元二次方程根的情形：（1）2x23x50；（2）9x230x25；（3）x26x100学问点四根的判别式的逆用在方程ax2bxc0a0中,但不能忽视二次（1）方程有两个不相等的实数根b24ac 0（2）方程有两个相等的实数根b24ac=0（3）方程没有实数根b24ac 0 留意 ：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范畴,项系数不为 0 这一条件；例m 为何值时,方程2m1x24mx2 m30的根满意以下情形： 第 7 页,共 12 页 - - - - - - - - - （1）有两个不相等的实数；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；学问点五一元二次方程的根与系数的关系如x 1, x 2是一元二次方程ax2bxc0a0的两个根,就有x1x 2b,ax 1x2ba依据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：（1）x12x22x 1x222x 1x2（2）11x 1x 2x 1x 2x 1x 2（3）x 1ax2ax1x2ax 1x2a2；（4）x 1x2 =x 1x22=x 1x224x 1x2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例已知方程2x25x3学习必备欢迎下载,不解方程,求以下各式的值；0的两根为x 1, x 2（1）x12x22；（2）x 1x22；学问点六依据代数式的关系列一元二次方程利用一元二次方程解决有关代数式的问题时,要善于用一元二次方程表示题 中的数量关系（即列出方程） ,然后将方程整理成一般形式求解,最终作答；例当x取什么值时,代数式x2x60与代数式3 x2的值相等？一元二次方程的应用 学问点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤（1） 审题,（2）设未知数,（3）列方程,（4）解方程,（5）检验,（6）作答；关键点 ：找出题中的等量关系；学问点二 用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关得到问题 增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法： （1）如基数为 a,增长率 x为,就一次增长后的值为a 1x,两次增长后的值为a1x2；（2）如基数为 a,降低率 x 为,就一次降低后的值为a 1x,两次降低后的值为a1x2；例 某农场粮食产量在两年内由 率为x,列出关于x的方程为3000 吨增加到 3630 吨,设这两年的年平均增长学问点三 用一元二次方程解与市场经济有关的问题与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等；与利润相关的常用关系式有：（1）每件利润 =销售价 -成本价；（2）利润率 =（销售价进货价）÷ 进货价×100%；（3）销售额 =售价× 销售量200 件,0.5 元,例 某商店假如将进货价为8 元的商品每件 10 元售出,每天可售现在实行提高售价,削减进货价的方法增加利润,已知这种商品每涨价 其销量削减 10 件；（1）要使每天获得 700 元,请你帮忙确定售价；（2）当售价定为多少时,能使每天获得的利润最多？并求出最大利润；易错学问辨析：（1）判定一个方程是不是一元二次方程,应把它进行整理,化成一般形式后细心整理归纳 精选学习资料 再进行判定,留意一元二次方程一般形式中a0. . 第 8 页,共 12 页 （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式（3）用配方法时二次项系数要化1. （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载一元二次方程测试题一、挑选题1、如关于 x 的一元二次方程 m-1x 2+5x+m 2-3m+2=0 有一个根为 0,就 m 的值等于（）A、1 B、2 C、1 或 2 D、0 2、巴中日报讯： 今年我市小春粮油再获丰收,全市产量估量由前年的 45 万吨提升到 50 万吨,设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为 x ,就可列方程为（）2 2A 45 2 x 50 B451 x 50 C501 x 45 D 451 2 503、已知 a,b 是关于 x 的一元二次方程 x 2nx 1 0 的两实数根, 就式子b a 的a b值是（）2 2 2 2An 2 Bn 2 Cn 2 Dn 24、 已知 a、b、c 分别是三角形的三边,就方程 a + bx 2 + 2cx + a + b0的根的情形是（）A没有实数根 B可能有且只有一个实数根C有两个相等的实数根D有两个不相等的实数根5、已知m,n是方程x22x10的两根,且7 m214ma 3n26n78, 第 9 页,共 12 页 - - - - - - - - - 就 a 的值等于（）A5 B.5 C.-9 D.9 6、已知方程x2bxa0有一个根是a a0,就以下代数式的值恒为常数的是（）A abBa bC abD ab7、x22x20 的一较小根为x1,下面对x 1的估量正确选项（）A2x11B11x0C01x1D11x28、关于 x 的一元二次方程x2mx2m10的两个实数根分别是x 1、x 2,且2 x 12 x 27,就x 1x 22的值是（）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A1 学习必备欢迎下载C13 D25 B12 9、某校九年级同学毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2450 张相片,假如全班有x 名同学,依据题意,列出方程为 A、xx1 2450B、xx1 2450C、2x x1 2450D、x x1 2450210、如关于x的一元二次方程k1x2xk20的一个根为1,就k的值为C1 D0或1 A1 B011、设 a, 是方程x2x20220的两个实数根,就a22ab 的值为（）A2006 B2007 C2022 D2022 12、对于一元二次方程ax 2+bx+c=Oa 0 ,以下说法：如 a+c=0,方程 ax 2+bx+c=O必有实数根；如 b2+4ac<0,就方程 ax 2+bx+c=O肯定有实数根；如 a-b+c=0,就方程 ax 2+bx+c=O肯定有两个不等实数根；如方程 ax2+bx+c=O有两个实数根, 就方程 cx2+bx+a=0肯定有两个实数根其中正确选项 A B C D二、填空题1、如一元二次方程x2a+2x+2a=0 的两个实数根分别是3、b,就 a+b= 2、设 x1、x2 是一元二次方程 x2+4x3=0 的两个根,求2x1x22+5x23+a =2 ,就 a= 第 10 页,共 12 页 3、方程（ x 1）（x + 2 ）= 2 （x + 2 ）的根是4、已知关于 x 的一元二次方程ax2bx10a0有两个相等的实数根,ab2 a2 2b24的值为 _细心整理归纳 精选学习资料 5、在等腰ABC中,三边分别为a 、 b 、 c ,其中a5,如关于x的方程 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2 xb2x6b0学习必备欢迎下载ABC的周长为 _有两个相等的实数根,就6、已知关于x的一元二次方程x26xk20（k为常数）m2设1x,x 为方程的两个实数根,且x 12x 214,就 K的值为 _7、已知m、n 是方程x22003x20040的两根,就n22004n2005与2004m2005的积是 . 三、简答题3x1、已 知 x 是 一 元 二 次 方 程2 xx23x110的 实 数 根 , 求 代 数 式 ：3xx2x52的值x22 mx2 m0有两个实数根1x 和x ；62、已知关于 x 的一元二次方程（1）求实数 m的取值范畴；x 1（2）当x 12x220时,求 m的值；2 axbxc0a0两根,就有 第 11 页,共 12 页 （友情提示：如1x、x 是一元二次方程x 2bx x2ca ,a ）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载3、某产品第一季度每件成本为 分率为 x；50 元,其次、三季度每件产品平均降低成本的百（1）衣用含 x 的代数式表示其次季度每件产品的成本；（2）假如第三季度每件产品成本比第一季度少9.5 元,试求 x 的值；4、如关于x的一元二次方程x22 2kxk2120有实数根、求实数 k 的取值范畴；细心整理归纳 精选学习资料 设tk,求 t 的最小值 第 12 页,共 12 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -