2022年一元二次不等式的解法.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -§ 15 一元二次不等式解法 课时支配 2 课时 淡定说课一元二次不等式解法是在一元二次方程及二次函数的基础上学习的,是集合学问的进一步运用和巩固,也是为后面的函数学问作预备的 . 本节通过让同学对比中学学过的一元一次不等式、一元一次方程及一次函数即“ 三个一次” 的关系,去寻求一元二次不等式、一元二次方程及二次函数即“ 三个二次” 的关系,能依据一元二次方程根的判别式确定一元二次不等式的解集,在此基础上 由浅入深, 分别介绍了 x+ax+b>0 与x+ax+b<0 型, x a >0与 x a <0 型及含参数的一元二次不等式的x b x b解法 . 同学的易错点是一元二次不等式解集的形式,即对解在 “ 两根之间”仍是在“ 两根之外”分不清晰 因此,教学中有必要指出：先看清二次项系数是正是负,再利用一元二次不等式的解题步骤进行求解解含参数的一元二次不等式中；同学对分类争论不易把握,教学中通过例题分析,帮忙同学归纳出引起分类争论的三种情形 . 一元二次不等式的求解过程,也是函数与方程思想、数形结合思想、 等价转化思想及分类争论思想的综合应用过程,教学中应提示同学深刻体会 . 第一课时 课题一元二次不等式解法 一 § 1.5.1 教学目标 一 教学学问点1. 一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 . 2. 一元二次不等式的解法 . 二 才能训练要求1. 通过由图象找解集的方法提高同学规律思维才能,渗透数形结合思想 . 2. 提高运算 变形 才能 . 三 德育渗透目标渗透由详细到抽象思想 . 教学重点一元二次不等式解法 教学难点1. 一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间关系 . 2. 数形结合思想渗透 . 教学方法发觉式教学法通过“ 三个二次” 关系的寻求,得到一元二次不等式的解 . 教具预备幻灯片五张细心整理归纳 精选学习资料 第一张： 记作§1.5.1 A 第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -y2x7 其部分对应值表x2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y3 2 1 0 1 2 3 图象：填表： 同学完成 当 x3.5 时, y 0,得 2x7 0; 当 x3.5 时, y 0,得 2x7 0; 当 x3.5 时, y 0,得 2x7 0. 其次张： 记作§1.5.1 B 一般地,设直线 y axb 与 x 轴的交点是 x0,0 ,就有如下结果：一元一次方程 axb0 的解集是 xx x0 一元一次不等式 ax b0（ 0解集 1 当 a0 时,一元一次不等式 axb0 的解集是 xxx0 ；一元一次不等式 axb0 的解集是 xxx0. 2 当 a0 时,一元一次不等式axb0 的解集是 xxx0 ；一元一次不等式axb0 的解集是 xxx0. 第三张： 记作§1.5.1 C 举例： yx 2x6,对应值表x3 2 1 0 1 2 3 4 y6 0 4 6 6 4 0 6 图象：方程 x 2x60 的解 _ 不等式 x 2x6 0 的解集 _ 不等式 x 2x6 0 的解集 _ 第四张： 记作§1.5.1 D yax 2bxc a0）与 x 轴的相关位置 . 分三种情形：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -第五张： 记作§1.5.1 E 教学过程 . 复习回忆 1. “ 三个一次” 关系师 在中学我们学习了一元一次方程、一元一次不等式与一次函数 . 它们之间具有什 么关系呢 . 我们共同来看下面问题：幻灯片： § 1.5.1 A y2x7 其部分对应值表x2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y3 2 1 0 1 2 3 图象：填表：当 x3.5 时, y 0,即 2x7 0 当 x3.5 时, y 0,得 2x7 0 当 x3.5 时, y 0,得 2x7 0 细心整理归纳 精选学习资料 注： 1 引导同学由图象得结论. 数形结合 第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2 由同学填空 . 师 从上例的特别情形,可得到什么样的一般结论？老师引导下让同学发觉其结论 . 幻灯片：（§ 1.5.1 B ）一般地,设直线 y axb 与 x 轴的交点是 x0,0 就有如下结果 . 一元一次方程 axb0 的解集是 xx x0 一元一次不等式 axb0（ 0 解集1 当 a0 时,一元一次不等式 axb0 的解集是 xxx0 ,一元一次不等式 axb0 的解集是 xxx0. 2 当 a0 时,一元一次不等式axb0 的解集是 xxx0 ；一元一次不等式axb0 的解集是 xxx0. 注： 结论的得到由同学完成表达 . . 讲授新课“ 三个二次” 的关系一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间关系 . 师从下面特例寻求“ 三个二次” 关系 . 幻灯片： § 1.5.1 C 举例： yx 2x6,对应值表x3 2 1 0 1 2 3 4 y6 0 4 6 6 4 0 6 图象：方程 x 2x60 的解 x 2 或 x3 不等式 x 2x6 0 的解集 xx 2 或 x3. 不等式 x 2x6 0 的解集 x 2x3 .师 结合函数的对应值表,可以确定函数的图象,与 x 轴交点的坐标, 进而确定对应的一元二次方程 x 2x60 的根 . 要确定一元二次不等式 x 2x60 与 x 2x60 的解集,那么就要在一元二次方程根的基础上结合图象完成 . 师 我们仿“ 三个一次” 关系,yax 2bxc（a0）与 x 轴相关位置,情形如下：幻灯片： § 1.5.1 D 细心整理归纳 精选学习资料 yax2bxc（a 0）与 x 轴相关位置 第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -分三种情形：师 以上三种情形,从图象我们可以发觉其与 有关 . 生由一元二次方程ax2 bxc 0 的判别式 b24ac 的三种情形 0, 0, 0）来确定 . 师引导同学发觉：要分三种情形争论,以寻求对应的一元二次不等式ax2bxc0 与 ax2 bxc 0 的解集 . 幻灯片：（§ 1.5.1 D ） 师 请同学们摸索, 如 a0,就一元二次不等式ax2 bxc0 及 ax2bxc0 其解集如何,课后仿上表给出结果 . 3. 例题解析 师生共同活动 例 1解不等式2x 23x20 第 5 页,共 9 页 - - - - - - - - - 分析： 由“ 三个二次” 关系,相应得到所求解集. 解： 由 2x23x20 知 9160,a20. 2x23x20 的解集为 xx11 或 x22, 22x23x 20 的解集为 xx1 或 x2. 2评述 : 由例 1 解题过程可知,问题要顺当求解,应先考虑对应方程的判别式及二次项系数是否大于零,然后依据不等式解集情形求得原不等式的解集. 例 2解不等式 3x26x 2. 分析：通过观看 3x 26x2 与表格中不等式形式比较可发觉,它们不同地方在于二次细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -项系数 . 故第一将其变形为二次项系数大于零情形,转化为熟知类型,然后求解. 解： 原不等式 3x26x 2 变形为 3x 26x20. 3x26x20 对应的 36240,30, 方程 3 x26x20 解得x1 13 , x2133 . 3所以原不等式的解集是 x13 x133 . 3例 3解不等式4x 24x10 分析： 因 40 解法同例 1 解： 因 4x 24x10 对应的 16160, 就方程 4x 24x10 的解是 x1 x212所以,原不等式的解集是 x x1 2例 4解不等式 x 22x30. 解： 将原不等式变形为：x 22x 30 因 x 22x30 对应 412 0 故 x 22x30 无实数解,即其解集为那么原不等式解集是师 上述几例每一例都有各自特点,反映在两个方面：一是二次项系数,二是判别式 对于二次项系数不大于零的要化成大于零的式子,然后求解 . . 课堂练习课本 P20练习 1 3 1. 解以下不等式：13 x 27x20 1 ,x22 3解： 由题 3x27x20 对应的 4924250,其解 x13x27x 20 的解集为 x1 x2 32 6x2x20 解： 将原不等式变形为：细心整理归纳 精选学习资料 6x2x2 0. x1x2 第 6 页,共 9 页 6x2x2 0 对应的 1480, 其解 x12 ,x231 . 26x2x2 0 的解集为 xx2 或 x31 ,即为原不等式解集 2. 34 x 24x10 解： 由题 4x24x 10 对应的 16160,就方程4x 24x10 的解是 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1所以,原不等式解集为24 x 23x 50 解： x 23x50,其 9200 故 x 23x50 无实数解原不等式的解集为 R2. x 是什么实数时,函数 yx 24x1 的值1 等于 0. 2 是正数 . 3 是负数 . 分析： 将问题等价转化为 yx 24x 1,当 y0,y0 及 y0 时,求 x 取值 . 解： 1 由于 x 2 4x1 0 其解集 xx23 或 x23 所以, x23 或 x 23 时, y0 2 由于 x 24x10,其 1640 对应解集 x x23 或 x23 所以, x 24x10 的解集为 xx 23 或 x23 即当 x23 或 x23 时, y0 3 由上知 x 24x 10, 0 解集 xx 23 或 x23 故当 2 3 x23 时, y0 3. x 是什么实数时,x 2x 12 有意义 . 分析：要使式子有意义, 就需 x 2x120, 故问题相当于解 x 2x120 这个不等式 . 解： 由题 x 2x120 对应 1 480,其解集 xx 4 或 x3 ,故 x 2x 120 的解集为 xx 4 或 x3. . 课时小结一元二次方程、 一元二次不等式、二次函数之间的关系,给出明白一元二次不等式的方法. 即解一元二次不等式的步骤：先把二次项系数化成正数,再解对应的一元二次方程,最后,依据一元二次方程的根,结合不等号的方向,写出不等式的解集 . . 课后作业 一 课本： P21习题 1.5 1,3, 5,6 1. 解以下不等式14 x 24x15 细心整理归纳 精选学习资料 解： 原不等式可变形为：4x 24x150 第 7 页,共 9 页 由于 4 x24x15 0 对应的 1616× 150,4x 24x150 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解集为 xx3 或 x5 2 2故 4x 24x150,即原不等式解集为 xx3 或 x5 2 2214 4x 2x解： 将原不等式变形：4x 2x140 因 4x 2x140 对应 116× 140 其解为 x1 2 或 x27 47 ,44x2x140 的解集为 x 2x即为原不等式的解集. 3 x（x2） x（3x） 1 解： 原不等式变形为x 2 2x3xx21 即 2x 2x10. 因 2x 2x10 对应 180 其解为： x11 或 x21. 2. 2x2x1 0 的解集为 x1 x1 ,即为原不等式的解集 24 x 22x80 解： 将原不等式变形为：x22x 80 因 x22x80 对应 4320 其解为x1 4,x2 2 x 2 2x8 0 对应的解集为 x 4x2 ,即为原不等式解集. 0.大于 0.小于 0. 3. x 是什么实数时,以下函数的值等于1 y25x2解： 当 x± 5 时, y0; 当 5 x5 时, y0; 当 x 5 或 x5 时, y0. 2 yx 214x45 解： 当 x5 或 x9 时, y0 当 x5 或 x9 时, y0 当 5x9 时, y0 3 yx 26x10 解： 由 yx 26x10 知 36 400,又二次项系数大于零,那么当 xR 时, y 0 4 y x 24x4 解： 由 y x 24x4 知 16160 又二次项系数小于零,那么当 x 2 时, y0,当 x 2 时, y0 5. 解不等式 0 x 2 x24 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -分析： 问题的解决关键在于合理地进行“ 等价转化”. 解： 原不等式相当于不等式组x2x24 x 2x3 xx 1 或 x2 x2x20不等式的解集为 不等式的解集为因此原不等式的解集为 xx 1 或 x2 x 2x 3 x 2x 1 或 2x 3 6. 已知 UR且 A xx 23x20 ,求 UA. 解： 因 x 23x20 对应的 980, 其解集 xx1 2 或 x2 1 就有 A xx 23x 20 x 2x 1 得 UA xx 2 xx 1 x 2 或 x 1 二1. 预习内容：课本 P20P212. 预习提纲1 一元二次不等式可转化为什么不等式组来解 . 2 简洁的分式不等式如何求解 . 板书设计§ 1.5.1 一元二次不等式解法1. “ 三个一次” 关系 小结 解法归纳 2. “ 三个二次” 关系 练习例题解析 作业 例 1例 4 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 9 页 - - - - - - - - -