2022年2022年华师大版九年级第章二次根式全章教案 .pdf

221. 二次根式（ 1）教学内容：二次根式的概念及其运用教学目标： 1、理解二次根式的概念，并利用a（a0）的意义解答具体题目2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题教学重难点关键：1重点：形如a（ a0）的式子叫做二次根式的概念；2难点与关键：利用“a（a0） ”解决具体问题教学过程：一、回顾当 a 是正数时，a表示 a的算术平方根，即正数a 的正的平方根当 a 是零时，a等于 0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根当 a 是负数时，a没有意义二、概括：a（a0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a（a0）是一个非负数，它的平方等于a即有：（1）a0（a0） ；（2）2)( a=a（a0） 形如a（a0）的式子叫做二次根式注意：在二次根式a中，字母a 必须满足a0，即被开方数必须是非负数三、例题讲解例题：x 是怎样的实数时，二次根式1x有意义？分析要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数解：被开方数x-10，即 x1所以，当x 1 时，二次根式1x有意义思考：2a等于什么？我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，分别计算对应的a2 的值，看看有什么规律：概括: 当 a0 时，aa2；当 a0 时，aa2这是二次根式的又一重要性质如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的例如：22)2(4xx=2x（x0） ；2224)(xxx四、练习: x 取什么实数时，下列各式有意义. （1）x43；（2）23x； （3）2)3(x； （4）xx3443名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - 五、拓展例：当 x 是多少时，23x+11x在实数范围内有意义？分析：要使23x+11x在实数范围内有意义，必须同时满足23x中的 0 和11x中的 x+10解：依题意，得23010 xx由得： x-32由得： x-1 当 x-32且 x-1 时，23x+11x在实数范围内有意义例： (1)已知 y=2x+2x+5，求xy的值 (答案 :2) (2)若1a+1b=0，求a2004+b2004的值 (答案 :25) 六、 归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1形如a（a0）的式子叫做二次根式， “”称为二次根号2要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数七、布置作业：教材P4：1、2 八、反思及感想：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - 22.1 二次根式（ 2）教学内容：1a（a0）是一个非负数；2 （a）2=a（a0） 教学目标： 1、理解a（a0）是非负数和（a）2=a（a0） ，并利用它们进行计算和化简2、 通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a）2=a（a0） ；最后运用结论严谨解题教学重难点关键：1重点：a（a0）是一个非负数； （a）2=a（a0）及其运用2难点、关键：用分类思想的方法导出a（a0）是一个非负数；?用探究的方法导出（a）2=a（a0） 教学过程：一、复习引入（学生活动）口答1什么叫二次根式？2当 a0 时，a叫什么？当 a0；（2）a20；（3）a2+2a+1=（a+1） 0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-22x 3+32=（2x-3）20所以上面的4 题都可以运用（a）2=a（a0）的重要结论解题解： （1）因为 x0，所以 x+10, （1x）2=x+1 （2） a20，（2a）2=a2 （3） a2+2a+1=（a+1）2 , 又（ a+1）20，a2+2a+10 ，221aa=a2+2a+1（4） 4x2-12x+9=（2x）2-2 2x3+32=（2x-3）2 , 又（ 2x-3）204x2-12x+90，（24129xx）2=4x2-12x+9 例 3 在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 六、归纳小结：本节课应掌握：1a（a0）是一个非负数；2 （a）2=a（a0）;反之 :a=（a）2（a0） 七、布置作业：教材 P4：3、4 八、反思及感想：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - - 22.1 二次根式（ 3）教学内容2aa（a0）教学目标： 1、理解2a=a（a0）并利用它进行计算和化简2、 通过具体数据的解答，探究2a=a（a0） ，并利用这个结论解决具体问题教学重难点关键：1重点：2aa（ a0） 2难点：探究结论3关键：讲清a0 时，2aa 才成立教学过程：一、复习引入： （老师口述并板收上两节课的重要内容）1形如a（a0）的式子叫做二次根式；2a（a0）是一个非负数；3(a)2a（a0） 那么，我们猜想当a0 时，2a=a 是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题二、探究新知： （学生活动）填空：22=_；20.01=_；21()10=_；22( )3=_；20=_；23()7=_（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：22=2；20.01=0.01；21()10=110；22( )3=23；20=0；23( )7=37因此，一般地：2a =a（a0）三、例题讲解：例 1 化简： （1）9（2）2( 4)（3）25（4）2( 3)分析：因为（ 1）9=-32， （2） （-4）2=42， （3）25=52， （4） （ -3）2=32，所以都可运用2a=a（a0）?去化简解： （1）9=23=3 （2）2( 4)=24=4 （3）25=25=5 （4）2( 3)=23=3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - 四、巩固练习： （见小黑板）五、应用拓展例 2 填空：当 a0 时，2a=_；当 aa，则 a可以是什么数？分析：2a=a（ a0） ，要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“ （）2”中的数是正数，因为，当a0 时，2a=2()a，那么 -a0（1）根据结论求条件； （2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1） 、 （2）可知2a=a，而 a要大于 a，只有什么时候才能保证呢？aa，即使 aa 所以 a 不存在；当aa，即使 -aa， a0 综上， a2，化简2(2)x-2(1 2 )x六、归纳小结：本课掌握：2a=a（a0）及运用，同时理解当a0 时，2a a 的应用拓展七、布置作业:1先化简再求值：当a=9 时，求 a+212aa的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为： 原式 =a+2(1)a=a+ （1-a） =1； 乙的解答为： 原式 =a+2(1)a=a+ （a-1） =2a-1=17两种解答中，_的解答是错误的，错误的原因是_2若 1995-a+2000a=a，求a-19952的值（提示：注意根式有意义的隐含条件）3. 若 -3x2 时，试化简 x-2+2(3)x+21025xx。八、反思及感想：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - 222 二次根式的乘除（1）教学内容：abab（a0，b0） ，反之ab=ab（a0，b0）及其运用教学目标： 1、理解abab（a0，b0） ，ab=ab（a0，b0） ，并利用它们进行计算和化简2、由具体数据，发现规律，导出abab（a0，b0）并运用它进行计算；?利用逆向思维，得出ab=ab（a0，b0）并运用它进行解题和化简教学重难点关键1、重点：abab（a0，b0） ，ab=ab（a0，b0）及它们的运用2、难点：发现规律，导出abab（a0，b0） 3、关键：要讲清ab（ a0,b、0）,并验证你的结论七、反思及感想：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - 222 二次根式的乘除（2）教学内容：ab=ab（ a0，b0） ，反过来ab=ab（a0，b0）及利用它们进行计算和化简教学目标 ;1、理解ab=ab（a0，b0）和ab=ab（a0，b0）及利用它们进行运算2、利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简教学重难点关键1重点：理解ab=ab（a0，b0） ，ab=ab（a0，b0）及用它们进行计算和化简2难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定教学过程 ; 一、设疑自探解疑合探自探 .（学生活动）请同学们完成下列各题：1填空（ 1）916=_，916=_；（2）1636=_，1636=_；（3）416=_，416=_；（4）3681=_，3681=_规律：916_916；1636_1636；416_416；3681_36812利用计算器计算填空: （1）34=_， （2）23=_， （3）25=_， （4）78=_规律：34_34；23_23；25_25；78_78。每组推荐一名学生上台阐述运算结果（老师点评），根据大家的练习和回答，我们进行合探：二次根式的除法规定：一般地，对二次根式的除法规定：ab=ab（ a0，b0） ，反过来ab=ab（a0，b0）下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目合探 1计算：（1）123（ 2）3128（3）11416（4）648分析：上面4 小题利用ab=ab（a0，b0）便可直接得出答案合探 2化简：（1）364（2）22649ba（3）2964xy（4）25169xy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - 分析：直接利用ab=ab（a 0，b0）就可以达到化简之目的二、应用拓展已知9966xxxx，且 x 为偶数，求（ 1+x）22541xxx的值分析：式子ab=ab，只有 a0，b0 时才能成立因此得到9-x 0且 x-60 ，即 60）和ab=ab（a0，b0）及其运用四、作业：（写在小黑板上）(一)、选择题 : 1计算112121335的结果是（） A275；B27；C2；D272阅读下列运算过程：1333333，225255555数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简26的结果是（） A2 B6 C136D6(二)、填空题1分母有理化:(1) 132=_;(2) 112=_;(3) 1025=_. 2已知 x=3，y=4，z=5，那么yzxy的最后结果是_(三)、综合提高题计算（1）32nnmm （-331nmm）32nm（m0，n0）（2）-3222332mna（232mna）2amn（a0）五、反思及感想：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - BAC22.2 二次根式的乘除(3) 教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算教学目标： 1、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式2、通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求重难点关键：1重点：最简二次根式的运用2难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式教学过程一、设疑自探解疑合探自探 1.（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）计算（ 1）35， （2）3227， （3）82a老师点评：35=155，3227=63，82a=2aa自探 2. 观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？（有如下两个特点： 1被开方数不含分母；2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式合探 1. 把下面的二次根式化为最简二次根式：(1) 5312; (2) 2442x yx y; (3) 238x y合探 2如图，在RtABC 中， C=90， AC=2.5cm ，BC=6cm ，求 AB 的长AB=222.56=2516916913()362424=6.5（cm）因此 AB 的长为 6.5cm二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=1 ( 21)2121( 21)( 21)=2-1，132=1 ( 32)3232( 32)(32)=3-2，同理可得：143=4-3，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（121+132+143+120022001） （2002+1）的值分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - 五、作业设计（写在小黑板上）（一）、选择题1如果xy（ y0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（） Axy（y0） Bxy（y0） Cxyy（y0） D以上都不对2把（ a-1）11a中根号外的（ a-1）移入根号内得（） A1aB1aC -1aD-1a3在下列各式中，化简正确的是（）A53=315B12=122C4a b=a2bD32xx=x1x4化简3227的结果是（）A-23； B-23； C-63； D-2（二）、填空题1化简422xx y=_ （x 0）2a21aa化简二次根式号后的结果是_（三）、综合提高题1已知a 为实数，化简：3a-a1a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确， ?请写出正确的解答过程：解：3a-a1a=aa-a1aa=（a-1）a2若 x、y 为实数，且y=224412xxx，求xyxyg的值六、反思及感想：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - 22.3 二次根式的加减(1) 教学内容：二次根式的加减教学目标：理解和掌握二次根式加减的方法重难点关键：1重点：二次根式化简为最简根式2难点关键：会判定是否是最简二次根式教学过程：一、设疑自探解疑合探自探（学生活动） ：计算下列各式（1） 22+32； （2）28-38+58； （ 3）7+27+39 7； （4）33-23+2因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如22与8表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的 （板书） 32+8=32+22=52和 33+27=33+33=63所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，?再将被开方数相同的二次根式进行合并合探 1计算：（1）8+18（2）16x+64x分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并合探 2计算（1）348-913+312（2） （48+20）+（12-5）二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展已知 4x2+y2-4x-6y+10=0 ，求（293xx+y23xy）-（x21x-5xyx）的值分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即 x=12，y=3其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同类二次根式，最后代入求值四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并五、作业设计（写在小黑板上）（一） 、选择题1以下二次根式： 12；22；23；27中，与3是同类二次根式的是（） A和B和C和D和2下列各式：33+3=63；177=1；2+6=8=22；243=22，其中错误的有（） A3 个B2 个C1 个D0 个（二） 、填空题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - 1在8、1753a、293a、125、323 aa、30.2、-218中，与3a是同类二次根式的有 _2计算二次根式5a-3b-7a+9b的最后结果是_（三） 、综合提高题1已知52.236，求（80-415）-（135+4455）的值（结果精确到0.01）2先化简，再求值（6xyx+33xyy）-（4xxy+36xy） ，其中 x=32，y=27六、反思及感想：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - 22.3 二次根式的加减(2) 教学内容：利用二次根式化简的数学思想解应用题教学目标：运用二次根式、化简解应用题重难点关键：讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点教学过程：一、设疑自探解疑合探上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们研究三道题以做巩固自探 1如图所示的RtABC 中，B=90，点 P 从点 B 开始沿 BA 边以1 厘米 /?秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 厘米 /秒的速度向点C 移动问：几秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米？ PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）分析：设 x 秒后 PBQ 的面积为35 平方厘米，那么PB=x，BQ=2x ，?根据三角形面积公式就可以求出x 的值解：设 x 后 PBQ 的面积为35 平方厘米则有 PB=x，BQ=2x 依题意，得：12x2x=35 x2=35 x=35所以35秒后 PBQ 的面积为35 平方厘米PQ=22222455 35PBBQxxx=57答：35秒后 PBQ 的面积为35 平方厘米，PQ 的距离为57厘米自探 2 要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材 （精确到 0.1m） ？解：由勾股定理，得AB=22224220ADBD=25BC=222221BDCD=5所需钢材长度为AB+BC+AC+BD =25+5+5+2 =35+732.24+713.7（m）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m 的钢材）三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展若最简根式343a bab与根式23226abbb是同类二次根式，求a、b 的值注： （?同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；?事实上，根式23226abbb不是最简二次根式，因此把23226abbb化简成 |b|26ab，才由同类二次根式的定义得3a-?b=?2，2a-b+6=4a+3b解：首先把根式23226abbb化为最简二次根式：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - 23226abbb=2(216)ba=|b|26ab由题意得432632ababab24632ababa=1，b=1 五、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题六、作业设计（写在小黑板上）（一）、选择题1已知直角三角形的两条直角边的长分别为5 和 5，那么斜边的长应为（） A52B50C25D以上都不对2小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和 20cm 的长方形的木框，?为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米A13100B1300C1013D513（二）、填空题1 某地有一长方形鱼塘， 已知鱼塘的长是宽的2 倍， 它的面积是1600m2， ?鱼塘的宽是 _m2已知等腰直角三角形的直角边的边长为2，?那么这个等腰直角三角形的周长是_（三）、综合提高题1若最简二次根式22323m与212410nm是同类二次根式，求m、n 的值2同学们，我们以前学过完全平方公式a22ab+b2=（ab）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（3）2，5=（5）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：（2-1）2=（2）2-212+12=2-22+1=3-22反之， 3-22=2-22+1=（2-1）23-22=（2-1）232 2=2-1 求： （1）32 2； （2）42 3； （3）你会算412吗？（4）若2ab=mn，则 m、n 与 a、b 的关系是什么？并说明理由六、反思及感想：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - 22.3 二次根式的加减(3) 教学内容：含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用教学目标： 1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算重难点关键：1、重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；2、难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算教学过程一、设疑自探解疑合探自探 1.（学生活动） ：请同学们完成下列各题: 1计算：（1） （2x+y） zx （2） （2x2y+3xy2） xy 2计算：（1） （2x+3y） （2x-3y）（2） （2x+1 ）2+（2x-1）2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现它主要有（1）?单项式单项式； （2）单项式多项式； （3）多项式单项式； （4）完全平方公式； （5）平方差公式的运用如果把上面的x、y、 z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？?仍成立整式运算中的x、y、z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，?当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式自探 2.计算： （ 1） （6+8）3（2） （46-32） 22分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，?所以直接可用整式的运算规律自探 3. 计算： （ 1） （5+6） （3-5）（2） （10+7） （10-7）分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展：已知xba=2-xab，其中 a、b 是实数，且a+b0，化简11xxxx+11xxxx，并求值分析：由于（1x+x） （1x-x）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可解：原式 =2(1)(1)(1)xxxxxx+2(1)(1)(1)xxxxxx=2(1)(1)xxxx+2(1)(1)xxxx=（x+1）+x-2(1)x x+x+2(1)x x=4x+2 xba=2-xabb（x-b）=2ab-a（x-a）bx-b2=2ab-ax+a2 （ a+b）x=a2+2ab+b2（ a+b）x=（a+b）2a+b0 x=a+b 原式 =4x+2=4 （a+b）+2 四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - 五、作业设计（写在小黑板上）（一）、选择题1 （24-315+2223）2的值是（） A2033-330B330-233C230-233D2033-302计算（x+1x） （x-1x）的值是（） A2 B3 C4 D1 （二）、填空题1 （-12+32）2的计算结果（用最简根式表示）是_2 （1-23） （1+23）-（23-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_3若 x=2-1，则 x2+2x+1=_ 4已知 a=3+22，b=3-22，则 a2b-ab2=_（三）、综合提高题1化简57101415212当 x=121时，求2211xxxxxx+2211xxxxxx的值 （结果用最简二次根式表示）六、反思及感想：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - -