2022年不等式恒成立问题中的参数求解策略.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载不等式恒成立问题中的参数求解策略摘要：不等式恒成立问题的题目一般综合性都比较强,本文结合例题谈谈不等式恒成立问题中参数的求解策略关键词：不等式；恒成立；求解策略在不等式中,有一类问题是求参数在什么范畴内不等式恒成立；恒成立条件下不等式参数的取值范畴问题,涉及的学问面广,综合性强,同时数学语言抽象,如何从题目中提取可借用的学问模块往往捉摸不定,难以寻找,是同学们学习的一个难点,同时也是高考命题中的一个热点；下面结合例题浅谈不等式恒成立问题的解题策略题型一、可化为二次函数类型有关含有参数的一元二次不等式问题,如能把不等式转化成二次函数或二次方程,通过根的判别式或数形结合思想,可使问题得到顺当解决；经常有以下两类情形：可化为二次函数在 R上恒成立问题设 f x ax 2bx c a 0 ,（1）f x 0 在 x R 上恒成立 a 0且 0；（2）（ 2）f x 0 在 x R 上恒成立 a 0且 0；2例 1 对于 xR,不等式 x 2 x 3 m 0 恒成立,求实数 m 的取值范畴；2解 ： 不 妨 设 f x x 2 x 3 m, 其 函 数 图 象 是 开 口 向 上 的 抛 物 线 , 为 了 使2f x 0 x R ,只需 0 ,即 2 4 3 m 0,解得 m 2 m , ；2变形：如对于 xR,不等式 mx 2 mx 3 0 恒成立,求实数 m 的取值范畴；2此题需要对 m 的取值进行争论,设 f x mx 2 mx 3；当 m=0 时, 3>0,明显成立；当 m>0 时,就<0 0 m 3；当 m<0 时,明显不等式不恒成立；由知m 0, ；2关 键 点 拨 ： 对 于 有 关 二 次 不 等 式 ax bx c 0（ 或 <0 ） 的 问 题 , 可 设 函 数f x ax 2 bx c,由 a 的符号确定其抛物线的开口方向,再依据图象与 x 轴的交点问题,由判别式进行解决；可化为二次函数在闭区间上恒成立问题设fx ax2bxc a0时f,fx0 在x,上恒成立 第 1 页,共 7 页 （1）当a0细心整理归纳 精选学习资料 b0或b或b0,2 a2 a2 af0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -fx0 在x,上恒成立学习必备0欢迎下载ff0（2）当a0时,fx0 在x,上恒成立f0是f0fx0 在x,上恒成立2bbb2a或2a或2 af00f0x22 kx例 2 已知函数fx,在x1时恒有fxk,求实数 k 的取值范畴；解：令Fxfxkx220对一切x1恒成立, 而F xkx2k,就Fx开口向上的抛物线；当图象与x 轴无交点满意<0,即4k242k0,解得 2<k<1；fxk是时Fx0,只需当图象与x 轴有交点,且在x1,0k2 或k13k2F1 012k2k0,2k1k1由知3k12关键点拨：为了使fxk在x1,恒成立,构造一个新函数Fx解题的关键,再利用二次函数的图象性质进行分类争论,使问题得到圆满解决；二、利用函数最值法（分别参数法）假如能够将参数分别出来,建立起明确的参数和变量x 的关系, 就可以利用函数的单调性求解；afx恒成立afxmax,即大于时大于函数fx值域的上界；afx恒成立afxmin,即小于时小于函数fx值域的下界；例 3 （1）求使不等式asinxcosx ,x0,恒成立的实数a 的范畴；解析：由于函asinxcosx2sinx4,x44,3,4明显函数有最大值2 ,a2；已知二次函数fxax2x,假如 x 0, 1时f|x|1,求实数 a 的取值范畴；解： x 0,1时,|fx|11fx1,即1ax2x1当 x=0 时, a R 细心整理归纳 精选学习资料 当 x , 时,问题转化为ax2x1恒成,由a11恒成立,即求11 第 2 页,共 7 页 ax2x1x2xx2x - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -的最大值；设ux11学习必备1欢迎下载10,x1,ux为减函数,112；因xx2xx24所以当 x=1 时,uxmax2,可得a2；11121由a11恒成立,即求11的最小值；设vx1x2x2xx2xxx24；因x10,x1,vx为增函数,所以当x=1 时,vxmin0,可得 a0； ,由知2a0；1关键点拨：在闭区间 0,1上使|fx|1分别出 a,然后争论关于x的二次函数在上的单调性；三、变换主元法,适用于一次函数型在解含参不等式时,有时如能换一个角度,变参数为主元,可以得到意想不到的成效,使问题能更快速地得到解决；例 6 如不等式2x1mx21 ,对满意2m2全部的 x 都成立,求 x 的取值范畴；解：原不等式可化为mx21 2x102令fmx21m2x12m是关于 m 的一次函数；f22x21 2x1 0解得127x123由题意知f2 2x21 2x1017,123x 的取值范畴是2关键点拨：利用函数思想,变换主元,通过直线方程的性质求解；四、数形结合法对一些不能把数放在一侧的,可以利用对应函数的图象法求解；例 7、当 x1,2 时,不等式 x-12<log ax 恒成立,求a 的取值范畴；分析：如将不等号两边分别设成两个函数,就左边为二次函数,右边为对数函数,故可细心整理归纳 精选学习资料 以采纳数形结合借助图象位置关系通过特指求解a 的取值范畴；y y1=x-12y2=log ax 第 3 页,共 7 页 解：设 T1:f x =x2 1,T2:g x log ax , 就 T1的图象为右图所示的抛物线,要使对一切x1,2, 1 2 x f x <g x 恒成立刻 T1的图象肯定要在T2的图象所的下方,明显a>1, 并且必需也只需g2f2o 故 log a2>1,a>1,1<a2. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载对应练习：1、设f x lg12xa4x,其中 aR ,假如x.1时,f x 恒有意义,求 a 的取3值范畴；分析：假如x12x.1时,f x 恒有意义,就可转化为12xa4x0恒成立,即参数分别后a42x22x,x.1恒成立,接下来可转化为二次函数区间x最值求解；解：假如x.1时,tf x 恒有意义12xa4x0,对xt,1恒成立 . a142x2x22xx.1恒成立；1,恒成xag t 对2又x.1就t1,令t2x,g t t22立,又g t 在t1,上为减函数,g maxg1 213,a3 4；242、设函数是定义在 上的增函数, 假如不等式faxx2f2a 对于任细心整理归纳 精选学习资料 意x0,1恒成立,求实数a 的取值范畴；12axx22a 对于任意 第 4 页,共 7 页 分析：此题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为x0,1恒成立,从而转化为二次函数区间最值求解；x0,1恒成立解：f x 是增函数f1axx2f2a 对于任意1axx22a 对于任意x0,1恒成立xax1a ,x0,1,x2ax1a0对于任意x0,1恒成立,令g x - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载g0 a,03、所以原问题g xmin,0又g xmigaa,2即 2021a ,a0a0易求得a1；2,ag x mina2a1, 242,a2a+cos2x<5-4sinx恒成立,求实数a 的取值范畴；已知当 xR时,不等式方法一）分析：在不等式中含有两个变量 a 及 x,此题必需由 x 的范畴（ x R）来求另一变量 a 的范畴,故可考虑将 a 及 x 分别构造函数利用函数定义域上的最值求解 a 的取值范畴；解：原不等式4sinx+cos2x<-a+53sinx当 xR时,不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立-a+5>4sinx+cos2xmax设fx=4sinx+cos2x 就fx= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2sinx-12+3 -a+5>3a<2方法二）题目中显现了sinx及 cos2x ,而 cos2x=1-2sin2x, 故如采纳换元法把换元成 t, 就可把原不等式转化成关于 解；t 的二次不等式,从而可利用二次函数区间最值求细心整理归纳 精选学习资料 ft解：不等式a+cos2x<5-4sinx可化为-1,1, -1,1恒成立；递减, 第 5 页,共 7 页 a+1-2sin2x<5-4sinx,令 sinx=t,就 t不等式 a+cos2x<5-4sinx恒成立2t2-4t+4-a>0,t, 1内单调设ft= 2t2-4t+4-a,显然fx在-1min=f1=2-a,2-a>0a<2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -4、设 fx=x2-2ax+2, 当 x学习必备欢迎下载a 恒成立,求 a 的取值-1,+ 时,都有 fx范畴；分析：在 fx a 不等式中, 如把 a 移到等号的左边, 就原问题可转化为二次函数区间恒成立问题；解：设 Fx= fx-a=x 2-2ax+2-a. 当 =（-2a ）2-42-a=4（a-1a+2<0 时,即-2<a<1 时,对一切 x -1,+ ,Fx 0 恒成立；）当 =4（a-1a+2 0 时由图可得以下充要条件：y 0 a 1 a 2 0f 1 0 即 a 3 02 a ,1 a ,1-1 o x 2得-3 a-2; 综上所述： a 的取值范畴为 -3 ,1 ；5、已知关于 x 的方程 lgx 2+20x-lg8x-6a-3=0 有唯独解,求实数 a 的取值范畴；分析：原方程可化成 lgx 2+20x=lg8x-6a-3, 从而得 x 2+20x=8x-6a-3>0, 如将等号两边分别构造函数即二次函数 y= x 2+20x 与一次函数 y=8x-6a-3 ,就只需考虑这两个函数的图象在 x 轴上方恒有唯独交点即可；解：令 T1：y1= x2+20x=（x+10）2-100, T2：y2=8x-6a-3,y 细心整理归纳 精选学习资料 就如下列图, T1的图象为一抛物线,T2的图象是一条斜率-20 l1 o lx 第 6 页,共 7 页 为定值 8,而截距不定的直线,要使T1和 T2 在 x 轴上有唯l2 一交点,就直线必需位于l 1和 l 2之间；（包括 l 1但不包括l 2 当直线为l1 时,直线过点（-20 ,0）此时纵截距为 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -6a-3=160,a=163; 学习必备欢迎下载6当直线为 l 2时,直线过点（0,0）,纵截距为 -6a-3=0 ,a= 1a 的范畴为 163,1）；6 2 26、对于满意 |p| 2 的全部实数 p, 求使不等式 x 2+px+1>2p+x 恒成立的 x 的取值范 围；分析：在不等式中显现了两个变量：x、P,并且是给出了 p 的范畴要求 x 的相应范围,直接从 x 的不等式正面动身直接求解较难,如逆向思维把 p 看作自变量, x看成参变量,就上述问题即可转化为在 -2 ,2 内关于 p 的一次函数函数值大于 0恒成立求参变量 x 的范畴的问题；解：原不等式可化为 x-1p+x 2-2x+1>0, 令 fp= x-1p+x 2-2x+1, 就原问题等价于 fp>0 在 p-2,2 上恒成立,故有：y y -2 2 x -2 o 2 x 方法一：x10 0或x100x<-1 或 x>3. 3 或x1f2f 2方法二：f 200即x24x030解得：xf2x21x1 或x1x<-1 或 x>3. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 7 页 - - - - - - - - -