2022年与二次函数有关的存在性问题.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载与二次函数有关的存在性问题1、如图,已知抛物线与x 轴交于 A、B两点, A 在 B 的左侧, A 坐标为 1,0,与 y 轴交于点C0,3,ABC 的面积为 6. 1 求抛物线的解析式；2 抛物线的对称轴与直线 BC 相交于点 M , 点 N 为 x 轴上一点,当以 M N B 为顶点的三角形与 ABC相像时,请你求出 BN 的长度；3 设抛物线的顶点为 D 在线段 BC 上方的抛物线上是否存在点 P , 使得 PDC 是等腰三角形？如存在,求出符合条件的点 P 的坐标；如不存在,请说明理由 . y DCMAOBx2、如下列图 , 在平面直角坐标系xoy 中, 直角梯形 CBAO的边 OC在 y 轴的负半轴上, OA在x 轴的正半轴上,AOC=90° ,且 OA=OC=3,BC=2；1 求过点 A、B、C的抛物线的解析式；2 将线段 OA绕 O 逆时针旋转 45° ,交对称轴于点 F,连接 CF,已知点 M是抛物线上一动点,且 M的横坐标为 a,且 a>1, 当点 M运动到直线 y=1 的下方时,设CFM的面积为 S,试写出 S 与 a 的函数关系式,并求出访得CFM的面积最大时 M的坐标；3 在对称轴上是否存在一个点 P,使得 P与 A、B 构成的PAB为直角三角形,如存在,求出 P 的坐标；如不存在,请说明理由；y F O B A x C D 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 11 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -3、如图,已知抛物线y1x2mx学习必备n欢迎下载x 交于 A、 B 两点,与 y 轴交n 0 与直线 y2于点 C,OA OB,BC x 轴 1 求该抛物线的解析式； 2 设 D、E 是线段 AB 上异于 A、B 的两个动点 点 E 在点 D 的上方 ,DE2 过 D、E 两点分别作 y 轴的平行线,交抛物线于点 F、G设 D 点的横坐标为 x ,四边形 DEGF 的面积为 y ,求 y 与 x 之间的关系式,写出自变量 x 的取值范畴,并求出 x 为何值时, y 有最大值,最大值为多少？ 3 如点 P 为该抛物线对称轴上一动点,在第 2 问条件下,当 y 取得最大值时,是否存在点 P,使得以、 D、E 为顶点的三角形是等腰三角形？如有,恳求出 P 点坐标；如没有,请说明理由y A 细心整理归纳 精选学习资料 B O E x 第 2 页,共 11 页 D G F C - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载练习：1、如图,在平面直角坐标系中,一抛物线的对称轴为直线x1,与 y 轴负半轴交于C 点,与 x 轴交于 A 、B 两点,其中 求此抛物线的解析式；B 点的坐标为（ 3,0）,且 OB OC如点 G（2,y）是该抛物线上一点,点 P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点,当点 P运动到什么位置时,APG 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和APG 的最大面积 . 如平行于 x 轴的直线与该抛物线交于 M 、N 两点（其中点 M 在点 N 的右侧）,在 x 轴上是否存在点 Q,使 MNQ 为等腰直角三角形？如存在,恳求出点 Q 的坐标；如不存在,请说明理由yA O B xC GD2、如图,抛物线y=ax210ax+8 与 y 轴交于点26 题图 图 10A,与 x 轴交于点 C、D,点 B 在抛物线上,且 AB x 轴,AB=AC ,点 P 是抛物线的对称轴上一动点；M 的坐D x （1）求抛物线的对称轴及a 的值；（2）当 PAC 的周长最小时,求出点P 的坐标；（3）在 y 轴上是否存在点M ,使四边形MPBC 为等腰梯形,如存在,求出点标,如不存在,请说明理由；B y A C O 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 11 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -3、已知：m,n是方程2 x6x5学习必备欢迎下载mn ,0的两个实数根,且抛物线yx2bxc 的图象经过点Am,B 0,n1 求这个抛物线的解析式；2 设（1）中的抛物线与 x 轴的另一交点为 C,抛物线的顶点为 D,试求出点 C,D 的坐标2和BCD 的面积；（注：抛物线 y ax 2bx c a 0 的顶点坐标为 b,4 ac b）；2 a 4 a3 P 是线段 OC 上的一点,过点 P 作 PH x 轴,与抛物线交于 H 点,如直线 BC 把PCH 分成面积之比为 2 :3 的两部分,恳求出 P 点的坐标yDBCOAx27 题图细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 11 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载答案：1、解： 1 C0,3OC3a1,t0又SABC1AB OC6AB42 A 为 1,0 B 为 3,0设抛物线解析式ya x1x3,将C0,3代入求得yx22x3 M 为 1,22 抛物线的对称轴为直线xb1,由B3,0,C0,32a得直线 BC 解析式为yx3对称轴x1与直线BC:yx3相交于点M.设 N 为 ,0,当MNBACB 时,BNMB3t2 2BCAB3 24可直接设 BN 的长为未知数 . MNBCAB 时,BNMB34t2 2t3ABCB3 2所以 BN 的长为 3 或8 33 存在 . 由yx22x3得,抛物线的对称轴为直线xb1,顶点 D 为2a1,4.细心整理归纳 精选学习资料 x当 PDPC 时,设 P 点坐标为 , ,依据勾股定理,233x10,解得 第 5 页,共 11 页 得x23y2x2 14y2 ,即y4x.又 P 点 , x y 在抛物线上,4xx22x3,即x3523y4x525或525 ,即 点 P 坐 标 为25 5 ,25或25,525. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -当 CDPD 时,即学习必备欢迎下载P C 关于对称轴对称此时 P 的纵坐标为3,即3x22x3,解得x 12,x20 舍去 , P 为2,3当 PCCD 时, P 只能在 C 点左边的抛物线上,所以不考虑或 2,3.符合条件的点P坐标为325 5 ,25,325 5 ,252、1 OAOC 3 A3,0 C0,-3 BC2 OCBA为梯形y 又四边形BC / x轴B2,-3 2将 A,B 代入到031 4 分O F D B A x y=ax2+bx 3 中9a3b34a2b3a12C b2c3 y=x2 2x-3 对称轴：b 2a2F1, 1 C0, 3 设 CF：y=kx-3 将 F代入 k-3=1 k=4 CF: y=4x-3 5 分D,就四边形MDEC为直设 Ma, a2-2a-3 y 轴于 E,两垂线交于分别过 M过 F 作垂线,如下列图交角梯形 . 细心整理归纳 精选学习资料 SCFMS MDECSADF1SEFC11EFCE1a11a22a3 第 6 页,共 11 页 DM2CEDEMD DE221a22a34a41222 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -令 -a2 + 2a + 4 = m 原式学习必备2欢迎下载a21mm4a44m22 3a22a44a4a26a221 a 223a 7 分b3 3 又102a12当 a = 3时, S 有最大值 . 此时 M3, 0 8 分0 存在：当 PAB 90设 P1, n 就 AP 2 = 22 + n2 = 4 + n2 AB2 = 3 - 22 + 32 = 10 BP2 = 12 + 3 + n2 = n2 + 6n + 10 AP 2 + AB2 = BP2 4 + n2 +10 = n2 + 6n + 10 6n = 4 n = 2 3 第 7 页,共 11 页 - - - - - - - - - P1, 12 9 分3 APB900 时 AP2 = 22 + n2 = 4 + n2 BP2 = 12 + 3 + n2 =n2 + 6n + 10 AB 2 = 10 4 + n2 + n2 + 6n + 10 =10 2n2 + 6n + 4 = 0 n1 = -1 n2 = -2 P21, -1 P31, -2 11 分 ABP900 AB2 + BP2 = AP2P41, 8 12 分3P1, 12,P1, 21,P1, 32,P 1, 48使得 ABP为 Rt33练习： 1、解：设抛物线的解析式为yax2bxca0细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载由已知得： C（0, 3）,A （ 1,0）1 分abc0a16 分9a3 bc0解得b22 分c3c3抛物线的解析式为yx22x33 分过点 P 作 y 轴的平行线与AG 交于点 Q 由yx22x3,令 x=2,就 y=3 点 G 为（ 2, 3）设直线 AG 为ykxn k0 2kn0解得k1n1kn3即直线 AG 为yx15 分设 P（ x,x22x3）,就 F（x, x1）,PFx2x2SAPGSAPFSGPF12 xx233x21x3222当x1时, APG 的面积最大2此时 P 点的坐标为1,15,SAPG的最大值为277 分248（注：利用四边形的面积来表示存在APG 的面积也可以,只要答案正确即可）MN x 轴,且 M、N 在抛物线上M 、N 关于直线 x=1 对称设点 M 为（ m,m22m3）且m1MN2 m1 当 QMN=90 ° ,且 MN=MQ 时, MNQ 为等腰直角三角形MQ MN 即 MQ x 轴2 m3 526 题图2m1m22m3即2m12 m2m3或2m1 2 m解得m 125,m 225（舍）或m 15,m 2（舍）点 M 为（ 25 , 22 5 ）或（5,225）点 Q 为（ 25 ,0）或（5,0）当 QNM=90 ° ,且 MN=NQ 时, MNQ 为等腰直角三角形细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 11 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -同理可求点Q 为（学习必备欢迎下载5,0）或（25,0）当 NQM=90 ° ,且 MQ=NQ 时, MNQ 为等腰直角三角形过 Q 作 QEMN 于点 E,就 QE=1 MN 5,0）或B D x 212 m1 m22 m3方程有解2由抛物线及等腰直角三角形的轴对称性知点Q 为（ 1,0）综上所述,满意存在满意条件的点Q,分别为（5,0）或（ 25 ,0）或（25,0）或（ 1,0）12 分2、.解：（）yax2100ax8E 抛物线的对称轴为：x10 a5 1 分y 2 a令 x = 0, 就: y = 8 点 A坐标为： 0,8 A AB / x轴P 点 A与点 B 关于对称轴 x = 5对称C M 点 B坐标为：（10,8 ） 2 分O AB = 10又 AB = AC 在 Rt AOC中,OCAC2AO282 102 86点的坐标为（-b ,0） 3 分将 C-b,0代入yax2100ax得： 36a + 60a +8 = 0 4 分a112（）CPACACPCPA而 AC = 10 为定值当CPAC的取得最小值时,PC + PA 最小由抛物线的对称性可知：此时点 P 即为 BC 直线 x = 5 的交点 . 5 分令直线 BC 的解析式为： y = kx + b k 0. 细心整理归纳 精选学习资料 由 C-6,0, B0,8 得：6 kb0 第 9 页,共 11 页 10 kb8解得：k1 2b3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -直线 BC的解析式为：学习必备欢迎下载 6 分y1x82当 x = 5 时,y5821 7 分22 21 2此时点 P 的坐标为5,（）符合条件的点M 存在 . 8 分由四边形的表示方法知：点M 与点 P 在直线 BC 的同侧 . 明显： MC 与 PB 不平行 . MP / BC 1令点的坐标为（0, m）,就：直线 MP 的解析式为：y x m2点 P 的坐标为：5, m 52在 Rt MOC与 Rt PBE中2 2 2 2MC MO OC m 362 2 2 5 2 2 2 221PB PE EB m 8 5 m 11 m2 4由： MC = PB 得：MC 2PB 2m 236 m 211 m 2214m 74此时点 M的坐标为：0, 7 10 分43、解：（1）解方程 x 26 x 5 0,得 x 1 5,x 2 1······· ····· ····· ··············· （1 分）由 m n ,有 m 1,n 5所以点 A , B 的坐标分别为 A , ,B 0 5, ······· ····· ····· ··············· （2 分）将 A , ,B 0 5, 的坐标分别代入 y x 2bx c ,1 b c 0,b 4,得 解这个方程组,得c 5c 5所以抛物线的解析式为 y x 24 x 5····· ·············· ····· ····· ··· ····· ·· （3 分）（2）由 y x 24 x 5,令 y 0,得 x 24 x 5 0D yH 解这个方程,得 x 1 5,x 2 1所以 C 点的坐标为 5 0, B E 细心整理归纳 精选学习资料 C M P O A x 第 10 页,共 11 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载由顶点坐标公式运算,得点 D 2 9, ············· ·················· ············· ···· （4 分）细心整理归纳 精选学习资料 过 D 作 x 轴的垂线交x 轴于 M , 第 11 页,共 11 页 就SDMC195227,22S梯形MDBO129514,···· ·············· ······························· ·· （5 分）2SBOC15 525DMCSBOC14272515···· ····· ·· （6 分）22所以SBCDS 梯形MDBOS22（3）设 P 点的坐标为a, ,由于线段 BC 过 B , C 两点,所以 BC 所在的直线方程为yx5那么, PH 与直线 BC 的交点坐标为E a,a5,······ ···················· （7 分）PH 与抛物线yx24x5的交点坐标为H a,2 a4 a5 ···· ·· （8 分）由题意,得EH3EP ,即a24 a5a53a522解这个方程,得a3或a5（舍去）·· ········· ····· ····· ····· ········ ·· （9 分）22a52a5EH2EP,即4 a5a33解这个方程,得a2或a5（舍去）3P 点的坐标为3 0 2或2 0 3（10 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -