2022年2022年将军饮马问题的个模型及例题 .pdf

将军饮马问题问题概述路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题方法原理1. 两点之间，线段最短；2. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3. 中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4. 垂线段最短 .基本模型1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l 两侧；要求：在直线l 上找一点 P，使 PA+PB的值最小解：连接AB交直线 l 于点 P，点 P即为所求 , PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l 上任取异于点P的一点 P ，连接 AP 、BP ，在 ABP 中， AP +BP AB ，即 AP +BP AP+BP P为直线 AB与直线 l 的交点时， PA+PB最小 . 2.已知：如图，定点A和定点 B在定直线l 的同侧要求：在直线l 上找一点 P，使得 PA+PB值最小（或 ABP的周长最小）解：作点 A关于直线 l 的对称点A ，连接 A B交 l 于 P，点 P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l 为线段 AA 的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA ，要使 PA+PB最小，则需 PA +PB值最小，从而转化为模型1. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - 3.已知：如图，定点A、B分布在定直线l 的同侧（ A、B两点到 l 的距离不相等）要求：在直线l 上找一点P，使PA-PB的值最大解：连接BA并延长，交直线l 于点 P，点 P即为所求；理由：此时 PA-PB =AB ， 在 l 上任取异于点P的一点 P ，连接 AP 、 BP ， 由三角形的三边关系知P A-P BAB，即 P A-P BPA-PB4. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l 的两侧（ A、B两点到 l 的距离不相等）要求：在直线l 上找一点P，使PA-PB 的值最大解：作点 B关于直线 l 的对称点B ，连接 B A并延长交于点 P，点 P即为所求；理由：根据对称的性质知l 为线段 BB 的中垂线，由中垂线的性质得：PB=PB ，要使 PA-PB最大，则需PA-PB 值最大 ，从而转化为模型3. 典型例题 1-1 如图，直线y=23x+4 与 x 轴、 y 轴分别交于点A和点 B，点 C、D分别为线段AB 、OB的中点， 点 P为 OA上一动点， 当 PC+PD 最小时，点 P的坐标为 _，此时 PC+PD 的最小值为 _. 【分析 】符合基本模型2 的特征，作点D关于 x 轴的对称点D ，连接 CD交 x 轴于点 P，此时 PC+PD 值最小，由条件知CD为BAO的中位线， OP为 CDD的中位线，易求OP长，从而求出 P点坐标； PC+PD 的最小值即CD长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算. 【解答 】连接 CD ，作点 D关于 x 轴的对称点D，连接CD 交 x 轴名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - 于点 P，此时 PC+PD 值最小令y=23x+4 中 x=0，则 y=4，点 B坐标（ 0， 4） ；令 y=23x+4 中 y=0，则23x+4=0，解得： x=6，点A的坐标为（ 6，0） 点C、D 分别为线段AB 、OB的中点， CD为 BAO的中位线，CD x 轴，且 CD=21AO=3 ，点 D和点 D关于 x 轴对称， O为 DD 的中点，D （ 0， -1） ， OP为 CDD 的中位线，OP=21CD=23，点 P的坐标为（32，0） 在 RtCDD 中，CD =22DDCD=2243=5，即 PC+PD 的最小值为5. 【小结 】还可用中点坐标公式先后求出点C、点 P坐标；若题型变化， C、D不是 AB和 OB中点时，则先求直线CD 的解析式，再求其与x 轴的交点P的坐标 . 典型例题 1-2 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（ 0，1） ，点 B 的坐标为（32， 2） ，点 P在直线 y= x 上运动，当 |PAPB|最大时点 P的坐标为 _，|PAPB|的最大值是 _. 【分析 】符合基本模型4 的特征，作A关于直线y=x 对称点 C，连接 BC，可得直线BC的方程；求得BC与直线 y=x 的交点 P的坐标；此时 |PAPB|=|PCPB|=BC取得最大值，再用两点之间的距离公式求此最大值. 【解答 】作 A关于直线y=x 对称点 C，易得 C的坐标为（ 1，0） ；连接 BC，可得直线BC的方程为y=54x54，与直线y=x 联立解得交点坐标P 为（ 4， 4） ；此时 |PAPB|=|PC PB|=BC取得最大值，最大值BC=2223)2() 1(=241；【小结 】 “两点一线”大多考查基本模型2 和 4，需作一次对称点，连线得交点. 变式训练 1-1 已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0） ，OB=4 5，点 P是对角线OB上的一个动点，D （0，1） ，当 CP+DP 最短时，点 P的坐标为（）A （0，0） B （1，12）C （65，35） D （107，57）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - 变式训练 1-2 如图，菱形ABCD中，对角线AC和 BD交于点 O ，AC=2 ，BD=2 3,E 为 AB的中点， P为对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 _. 变式训练 1-3 如图， 已知直线 y=12x+1 与 y 轴交于点A，与 x 轴交于点D，抛物线 y=12x2+bx+c 与直线交于A、E两点，与 x 轴交于 B、C两点，且 B点坐标为（ 1，0） （1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使 |AMMC|的值最大，求出点M的坐标 . 拓展模型1.已知：如图，A为锐角 MON 外一定点；要求：在射线OM 上找一点P，在射线ON上找一点 Q ，使 AP+PQ的值最小 .解：过点A作 AQ ON于点 Q，AQ与 OM相交于点 P，此时， AP+PQ 最小；理由： AP+PQ AQ ，当且仅当A、P、Q三点共线时，AP+PQ 取得最小值AQ ，根据垂线段最短，当AQ ON时， AQ最小 . 2.已知：如图，A为锐角 MON 内一定点；要求：在射线OM 上找一点P，在射线 ON上找一点Q ，使 AP+PQ的值最小 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - 解：作点A关于 OM的对称点A，过点A作 AQ ON 于点 Q ，AQ交 OM于点 P，此时 AP+PQ 最小；理由：由轴对称的性质知AP=A P，要使 AP+PQ 最小，只需 A P+PQ最小，从而转化为拓展模型1 3.已知：如图，A为锐角 MON 内一定点；要求：在射线OM 上找一点P，在射线 ON上找一点 Q ，使APQ的周长最小解：分别作A点关于直线OM 的对称点A1, 关于 ON的对称点 A2，连接 A1A2交 OM 于点 P ，交 ON于点 Q，点P和点 Q即为所求，此时APQ周长最小，最小值即为线段A1A2的长度；理由：由轴对称的性质知AP=A1P，AQ=A2Q ， APQ的周长 AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q，当 A1、P、Q 、A2四点共线时，其值最小. 4. 已知：如图， A、B为锐角 MON 内两个定点；要求：在OM 上找一点 P，在 ON上找一点Q，使四边形APQB 的周长最小解：作点 A关于直线 OM的对称点A ，作点 B关于直线ON的对称点B ，连接 A B 交 OM 于 P，交 ON于 Q，则点 P、点 Q即为所求，此时四边形APQB周长的最小值即为线段AB和 A B 的长度之和；理由： AB长为定值，由基本模型将PA转化为 PA , 将QB转化为 QB ，当 A 、 P、Q、B 四点共线时，PA + PQ + QB 的值最小，即PA+PQ + QB 的值最小 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - 5. 搭桥模型已知： 如图， 直线 m n,A、B分别为 m上方和 n 下方的定点， （直线 AB不与 m垂直）要求：在 m 、n 之间求作垂线段PQ ，使得 AP+PQ+BQ 最小 . 分析： PQ为定值，只需AP+BQ最小，可通过平移，使P、 Q “接头”，转化为基本模型解：如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至点 A，使得 AA =PQ ，连接 AB交直线 n 于点Q，过点 Q作 PQ n，交直线m于点 P，线段 PQ即为所求，此时AP+PQ+BQ 最小 . 理由：易知四边形QPAA 为平行四边形，则QA =PA ，当 B、Q 、A三点共线时，QA +BQ最小，即AP+BQ 最小， PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ 最小 . 6.已知：如图，定点A、B分布于直线l 两侧，长度为a (a为定值 ) 的线段 PQ在 l 上移动（ P在 Q左边）要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB 最小分析： PQ为定值，只需AP+QB 的值最小，可通过平移，使 P、Q“接头”，转化为基本模型解：将点A沿着平行于l 的方向，向右移至A ，使AA= PQ=a,连接 A B交直线 l 于点 Q，在 l 上截取PQ=a （P在 Q左边），则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB 的最小值为A B+PQ ，即 A B+a 理由：易知四边形APQA 为平行四边形，则PA=QA ，当 A 、Q、B三点共线时， QA +QB最小，即PA+QB 最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB 值最小 . 7.已知：如图，定点A、B分布于直线l 的同侧，长度a (a 为定值 ) 的线段 PQ在 l 上移动（ P在 Q左边）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - 要求：确定PQ的位置，使得 四边形 APQB 周长最小分析： AB长度确定，只需AP+PQ+QB 最小，通过作A点关于 l 的对称点，转化为上述模型3 解：作 A点关于 l 的对称点A ，将点 A 沿着平行于l 的方向，向右移至A，使 A A=PQ=a ，连接 AB 交 l 于 Q，在 l 上截取 QP=a （P在 Q左边），线段PQ即为所求，此时四边形APQB 周长的最小值为AB+AB+PQ ，即 AB+AB+a 典型例题 2-1 如图， 在矩形 ABCD 中，AB=10 ，BC=5 ，若点 M 、N分别是线段AC 、AB上的两个动点，则BM+MN 的最小值为【分析 】符合拓展模型2 的特征，作点B关于 AC的对称点 E，再过点 E 作 AB的垂线段，该垂线段的长即BM+MN 的最小值，借助等面积法和相似可求其长度.【解答 】作点 B关于 AC的对称点E，再过点E作 EN AB于 N，则 BM+MN=EM+MN，其最小值即EN长； AB=10 ，BC=5 ，AC=22BCAB=55，等面积法求得AC边上的高为55510=25， BE=45，易知 ABC ENB ，代入数据解得EN=8 即 BM+MN 的最小值为8【小结 】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，有些题则作动点的对称点易解 . 典型例题 2-2 如图， AOB=60 ，点 P是 AOB内的定点且OP=，点 M 、N分别是射线 OA 、 OB上异于点O的动点，则 PMN 周长的最小值是 （）ABC6 D3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - 【分析 】符合拓展模型3 的特征；作P 点分别关于OA 、OB的对称点C、D，连接 CD分别交OA 、 OB于 M 、N，此时 PMN 周长最小，其值为CD长；根据对称性连接OC 、OD ，分析条件知OCD 是顶角为120的等腰三角形，作底边上高，易求底边CD. 【解答 】作 P点分别关于OA 、 OB的对称点C、 D，连接 CD分别交 OA 、OB于 M 、N，如图，则 MP=MC ，NP=ND ，OP=OD=OC= ， BOP= BOD ， AOP= AOC ， PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC， COD= BOP+ BOD+ AOP+ AOC=2 AOB=120 ，此时 PMN 周长最小，作OH CD于 H，则 CH=DH ， OCH=30 ， OH= OC=，CH=OH= ， CD=2CH=3 即 PMN 周长的最小值是3；故选： D【小结 】根据对称的性质，发现OCD 是顶角为 120的等腰三角形，是解题的关键，也是难点.典型例题 2-3 如图， 已知平行四边形ABCO ，以点 O为原点， OC所在的直线为 x 轴，建立直角坐标系，AB交 y 轴于点 D，AD=2 ，OC=6 ，A=60，线段 EF所在的直线为OD的垂直平分线， 点 P为线段 EF上的动点， PM x 轴于点 M点，点 E与 E关于 x 轴对称，连接BP 、EM （1）请直接写出点A坐标为，点 B坐标为；（2）当 BP+PM+ME的长度最小时，请求出点P的坐标 . 【分析 】 （1）解直角三角形求出OD ，BD的长即可解决；（2） 符合“搭桥模型” 的特征； 首先证明四边形OPME 是平行四边形， 可得 OP=EM ，PM是定值， PB+ME =OP+PB 的值最小时， BP+PM+ME的长度最小，此时P点为直线 OB与 EF的交点，结合OB的解析式可得P点坐标；【解答 】 （1）在 RtADO 中， A=60， AD=2 ， OD=2 ?tan60 =2， A （ 2，2） ，四边形ABCO 是平行四边形，AB=OC=6 ， DB=6 2=4， B（4，2）（ 2）如图，连接 OP EF垂直平分线段OD ，PM OC ， PEO= EOM= PMO=90 ，四边形OMPE 是矩形， PM=OE=， OE=OE ， PM=OE ， PM OE ，四边形OPME 是平行四边形, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - OP=EM ， PM是定值， PB+ME =OP+PB 的值最小时，BP+PM+ME的长度最小，当 O、P 、B共线时， BP+PM+ME的长度最小，直线OB的解析式为y=x， P（2，） 【小结 】求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移（构造平行四边形）的方法，转化为基本模型. 典型例题 2-4 如图所示，在平面直角坐标系中，RtAOB的顶点坐标分别为 A（ 2，0） ，O（0，0） ，B（0，4） ，把 AOB绕点 O按顺时针方向旋转90，得到 COD （1）求 C 、D两点的坐标；（2）求经过A、 B、D三点的抛物线的解析式；（3）在（ 2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点 E在点 F的上方）， 且 EF=1， 使四边形ACEF的周长最小，求出 E、F 两点的坐标【分析 】符合拓展模型7 的特征，通过作对称、平移、连线，可找出E、F点，结合直线的解析式和抛物线的对称轴可解出E、F 坐标 .【解答 】 （1）由旋转的性质可知：OC=OA=2 ，OD=OB=4, C点的坐标是（ 0，2） ，D点的坐标是（4，0） ，（2）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， 4a-2b+c=0 由题意，得 16a+4b+c=0 c=4 解得 a=-12，b=1，c=4，所求抛物线的解析式为y=-12x2 + x + 4；（3）只需 AF+CE最短，抛物线y=-12x2+ x + 4的对称轴为x=1，将点 A向上平移至A1（ 2，1） ，则 AF=A1E，作 A1关于对称轴x=1 的对称点A2（4，1） ，连接 A2C，A2C与对称轴交于点E，E为所求，可求得A2C的解析式为 y=-14x + 2，当 x=1 时， y=74，点 E的坐标为 (1,74) ，点 F的坐标为 (1,34) 【小结 】解决此类题的套路是“对称、平移、连线”；其中，作对称和平移的顺序可互换. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - 变式训练 2-1 几何模型：条件：如图1，A，B是直线 l 同旁的两个定点问题：在直线l 上确定一点P ，使 PA+PB的值最小方法：作点A关于直线l 的对称点A ，连接 AB交 l 于点 P，即为所求 . （不必证明）模型应用：（ 1）如图 2，已知平面直角坐标系中两定点A （0， 1）和 B（2， 1） ，P为 x 轴上一动点，则当PA+PB的值最小是点P的横坐标是，此时 PA+PB= （ 2）如图 3，正方形ABCD的边长为4， E为 AB的中点， P是 AC上一动点，连接BD ，由正方形对称性可知，B与 D 关于直线 AC对称连接ED交 AC于 P，则 PB+PE的最小值是（ 3）如图 4，在菱形ABCD 中， AB=10， DAB=60 ， P是对角线AC上一动点， E，F分别是线段 AB和 BC上的动点，则PE+PF的最小值是（ 4）如图 5，在菱形ABCD 中， AB=6 ， B=60，点 G是边 CD边的中点，点EF分别是AG ，AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是变式训练 2-2 如图，矩形ABCD 中， AD=15 ，AB=10 ，E为 AB边上一点，且DE=2AE ，连接 CE与对角线BD交于 F；若 P、Q分别为 AB边和 BC边上的动点，连接EP 、PQ和 QF ；则四边形EPQF周长的最小值是 _. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - 变式训练 2-3 如图，已知直线l1l2，l1、l2之间的距离为8，点 P 到直线 l1的距离为 6，点 Q到直线 l2的距离为4，PQ=4，在直线 l1上有一动点 A，直线 l2上有一动点B，满足 AB l2，且 PA+AB+BQ 最小，此时PA+BQ= 变式训练 2-4 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC 的边 OA在 y 轴的正半轴上，OC在x 轴的正半轴上，OA=AB=2 ，OC=3 ，过点 B 作 BD BC ，交 OA于点 D将 DBC绕点 B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E和 F（1）求经过A、 B、C三点的抛物线的解析式；（2）当 BE经过（ 1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点 Q在点 P 的上方），且 PQ=1 ，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标中考真题1. 要在街道旁建奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A 、B到它的距离之和最短？小聪以街道为x 轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，A点坐标为 （0，3） ，B点坐标为（ 6，5） ，则 A、 B两点到奶站距离之和的最小值是2. 如图，矩形ABOC 的顶点 A的坐标为（4，5） ，D是 OB的中点， E是 OC上的一点，当ADE的周长最小时，点E的坐标是（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - A （0，）B （0，）C （ 0，2）D （0，）3. 如图，在矩形ABCD 中， AB=5 ，AD=3 ，动点 P满足 SPAB=31S矩形 ABCD，则点 P到 A 、B两点距离之和 PA+PB的最小值为（）ABC5D4. 已知抛物线y=x2+1 具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3） ，P 是抛物线y=x2+1 上一个动点，则 PMF周长的最小值是（）A 3 B 4 C5 D6 5. 如图， 点 A （a，3） ，B （b，1）都在双曲线y=上，点 C，D，分别是 x 轴，y 轴上的动点，则四边形ABCD 周长的最小值为（）ABC D6. 如图， 在 RtABC中，C=90 ，AC=3 ，BC=4 ，D、E分别是 AB 、BC边上的动点，则AE+DE的最小值为（）ABC5 D7. 如图， RtABC中， BAC=90 ， AB=3 ，AC=6，点 D，E 分别是边BC ，AC上的动点，则 DA+DE 的最小值为8. 如图，等腰 ABC的底边 BC=20 ，面积为120，点 F 在边 BC上，且 BF=3FC ，EG是腰 AC的垂直平分线，若点D在 EG上运动，则CDF周长的最小值为9. 如图，菱形ABCD的边长为6， ABC=120 ， M是 BC边的一个三等分点，P 是对角线AC上的动点，当PB+PM 的值最小时，PM的长是（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - ABCD10. 如图，在RtABC中， ACB=90 ， AC=6，BC=8 ，AD平分 CAB交 BC于 D点， E，F 分别是 AD ， AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）ABCD6 11. 如图， 在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边 AB，BC分别相交于M ，N 两点 OMN 的面积为10若动点 P在 x 轴上，则 PM+PN的最小值是（）A 6B 10 C2D212. 如图， ABC中，AC=BC=2 ，AB=1 ，将它沿 AB翻折得到 ABD ，则四边形 ADBC的形状是形， P、E、F 分别为线段AB 、AD、DB上的任意点，则PE+PF的最小值是13. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c 与直线 y=x+3 交于 A，B 两点，交x 轴于 C、D两点，连接 AC 、 BC ，已知 A（0，3） ，C（ 3，0） （1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使|MBMD| 的值最大，并求出这个最大值；（3）点 P为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点 P作 PQ PA交 y 轴于点 Q，问：是否存在点P，使得以A ，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - 明理由14. 如图，在四边形ABCD中， B=C=90 ， AB CD ，AD=AB+CD（1）用尺规作ADC的平分线DE ，交 BC于点 E ，连接 AE （保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（ 1）的条件下，证明： AE DE ；若 CD=2 ， AB=4 ，点 M ，N分别是 AE ，AB上的动点，求BM+MN 的最小值15. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a 0）经过点A（ 1，0） ，B（3，0） ，C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）连接 AC 、BC ，N为抛物线上的点且在第四象限，当S NBC=SABC时，求 N点的坐标；（3）在（ 2）问的条件下，过点C作直线 l x 轴，动点 P （m ，3）在直线 l 上，动点 Q （m ，0）在 x 轴上，连接PM 、PQ 、NQ ，当 m为何值时， PM+PQ+QN的和最小，并求出 PM+PQ+QN和的最小值16. 如图，直线y=5x+5 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 C，过 A，C 两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x 轴于另一点B （1）求二次函数的表达式；（2）连接 BC ，点 N是线段 BC上的动点，作ND x 轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；（3）若点 H为二次函数y=ax2+4x+c 图象的顶点，点M （4，m ）是该二次函数图象上一点，在 x 轴、 y 轴上分别找点F，E，使四边形HEFM 的周长最小，求出点F，E的坐标名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - 17. 如图 1，已知抛物线y=（x2） （x+a） （a0）与 x 轴从左至右交于A，B两点，与y轴交于点C（1）若抛物线过点T（1，） ，求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D，使得以 A、B、D三点为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由（3）如图 2，在（ 1）的条件下，点P的坐标为（ 1，1） ，点 Q（6，t ）是抛物线上的点，在 x 轴上， 从左至右有M 、N两点， 且 MN=2 ，问 MN在 x 轴上移动到何处时，四边形 PQNM的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标18. 如图，对称轴为直线x=2 的抛物线经过A（ 1，0） ，C （0，5）两点，与x 轴另一交点为 B已知 M （0，1） ，E（a，0） ，F（a+1，0） ，P是第一象限内抛物线上的动点（1）求此抛物线的解析式；（2）当 a=1 时，求四边形MEFP 的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若 PCM 是以点 P为顶点的等腰三角形，求a 为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - 19. 探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（ x1， y1） ， P2（ x2， y2） ， 可 通 过 构 造 直 角 三 角 形 利 用 图1得 到 结 论 ： P1P2=他还利用图2 证明了线段P1P2的中点 P （x， y） P的坐标公式：x=，y=（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（2）已知点M （2， 1） ，N（ 3，5） ，则线段MN 长度为；直接写出以点A（2，2） ，B（ 2，0） ，C（3， 1） ，D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：；拓展：（3）如图 3，点 P（ 2，n）在函数 y=x（x0）的图象 OL与 x 轴正半轴夹角的平分线上，请在OL 、x 轴上分别找出点E、F，使 PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - 20. 如图，直线y=kx+b（ k、b 为常数）分别与x 轴、 y 轴交于点A（ 4，0） 、B （0，3） ，抛物线 y= x2+2x+1 与 y 轴交于点C（1）求直线y=kx+b 的函数解析式；（2）若点 P（x，y）是抛物线y=x2+2x+1 上的任意一点，设点P 到直线 AB的距离为d，求 d 关于 x 的函数解析式，并求d 取最小值时点P的坐标；（3）若点 E在抛物线 y=x2+2x+1 的对称轴上移动，点F在直线 AB上移动，求CE+EF的最小值21. 如图，在平面直角坐标系中，OA=6 ，以 OA为边长作等边三角形ABC ，使得 BC OA ，且点 B、C落在过原点且开口向下的抛物线上（1）求这条抛物线的解析式；（2） 在图中， 假设一动点P从点 B出发，沿折线 BAC的方向以每秒2 个单位的速度运动，同时另一动点Q从 O点出发， 沿 x 轴的负半轴方向以每秒1 个单位的速度运动，当点 P运动到 A点时， P、Q都同时停止运动，在P、Q的运动过程中，是否存在时间t ，使得PQ AB ，若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由；（3）在 BC边上取两点E、F，使 BE=EF=1个单位，试在AB边上找一点G，在抛物线的对称轴上找一点H，使得四边形EGHF 的周长最小，并求出周长的最小值本人所著初中几何模型与解题通法已发行，可在当当、淘宝和京东搜索购买特色： 1.由一线名师编写，更专业权威，各地历年中考压轴题几乎都能在书中找到对应的模型和方法，甚至出现大量高度类似题。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - 2.包含 79 个中考热门模型，约500 道优质中考原题；3.包含 18 个中考热门专题，每个专题包括模型介绍、方法原理、例题精讲、变式训练和中考真题，做到理论联系实际，讲练结合。4.例题精讲具有启发性，包括解题思路的分析，解答过程，易错点和技巧的总结，使读者触类旁通。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - -