2022年三角函数总复习.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -第六章学习必备欢迎下载三角函数考纲导读1明白任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；懂得任意角的正弦、余弦、正切的定义；明白余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切2把握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式）及运用3能正确运用三角公式进行简洁的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明4把握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象会用“ 五点法 ”画出正弦函数、余弦函数和 y A sin x 的简图,懂得 A、的物理意义5会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsinx,arccosx,arctanx 表示角6把握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形,能利用运算器解决解三角形 的运算问题学问网络角的概念的推广、弧度制任意角的三角函数的定义任意角的三角函数同角三角函数基本关系诱导公式 三角两角和与差的三角函数两角和与差的正弦、余弦、正切函二倍角的正弦、余弦、正切数三角函数的图象和性质ysinx, ycosx 的图象和性质ytanx 的图象和性质yAsinx的图象已知三角函数值求角高考导航三角部分的学问是每年高考中必考的内容,近几年的高考对这部分学问的命题有如下特点：1降低了对三角函数恒等变形的要求,加强了对三角函数图象和性质的考查特别是三角函数的最大值与最小值、周期2以小题为主一般以挑选题、填空题的形式显现,多数为基础题,难度属中档偏易其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形,如运用三角公式进行化简、求值解决简洁的综合题等细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载3更加强调三角函数的工具性,加强了三角函数与其它学问的综合,如在解三角形、立体 几何、平面解析几何中考查三角函数的学问基础过关任意角的三角函数一、 角的概念的推广1与角终边相同的角的集合为2与角终边互为反向延长线的角的集合为3轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在 x 轴上的角的集合为,终边在 y 轴上的角的集合为,终边在坐标轴上的角的集合为4象限角是指：5区间角是指：6弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为 1 弧度的角,它将任 意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系7弧度与角度互化：180o. 弧度, 1o弧度, 1 弧度o8弧长公式： l ；扇形面积公式：S二、 任意角的三角函数9定义：设 Px, y是角终边上任意一点, 且 |PO| r,就 sin； cos；tan；10三角函数的符号与角所在象限的关系：y x y x y x O O + O sinx, cosx, tanx, 12、正弦、余弦、正切、余切函数的定义域和值域：解析式ysinx ycosx ytanx 定义域值 域13三角函数线：在图中作出角的正弦线、余弦线、正切线yO x细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载同角三角函数的基本关系及诱导公式1同角公式：1 平方关系： sin 2cos 21,1 tan 2,1cot22 商数关系： tan ,cot 1, cot 1 3 倒数关系： tan 1,sin 2诱导公式：22ksin cos 223322sin cos 规律：奇变偶不变,符号看象限 3同角三角函数的关系式的基本用途：依据一个角的某一个三角函数值,求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式4诱导公式的作用：诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为0°90o角的三角函数值两角和与差的三角函数1两角和的余弦公式的推导方法：2基本公式sin ± sin cos ±cos sincos ± ; tan ± . 3公式的变式tan tan tan 1tan tan tan tan1tan tan tan 4常见的角的变换：2 ；22 2x 22 ；44x2二倍角的正弦、余弦、正切1基本公式：sin2 ； 第 3 页,共 12 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -cos2 学习必备欢迎下载；tan2 . 2公式的变用：1cos2 ；1cos2 三角函数的化简和求值1三角函数式的化简的一般要求： 函数名称尽可能少； 项数尽可能少； 尽可能不含根式； 次数尽可能低、尽可能求出值2常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次3求值问题的基本类型及方法 “给角求值 ”一般所给的角都是非特别角,解题时应当认真观看非特别角与特别角之间的 关系,通常是将非特别角转化为特别角或相互抵消等方法进行求解 “给值求值 ”即给出某些角的三角函数（式）的值,求另外的一些角的三角函数值,解题 关键在于：变角,使其角相同； “给值求角 ”关键也是：变角,把所求的角用含已知角的式子表示,由所求得的函数值结 合该函数的单调区间求得角4反三角函数arcsin、 arccos 、arctan分别表示 2,2、0, 、（2,2）的角三角函数的恒等变形一、 三角恒等式的证明1三角恒等式的证明实质是通过恒等变形,排除三角恒等式两端结构上的差异（如角的差 异、函数名称的差异等） 2证三角恒等式的基本思路是“消去差异,促成同一”,即通过观看、分析,找出等式两边在角、名称、结构上的差异,再选用适当的公式,消去差异,促进同一3证明三角恒等式的基本方法有：化繁为简；左右归一；变更问题二、 三角条件等式的证明1三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程,须留意转化过程确保 充分性成立2三角条件等式的证明,关键在于认真地找出所附加的条件和所要证明的结论之间的内在 联系,其常用的方法有： 代入法：就是将结论变形后将条件代入,从而转化为恒等式的证明 综合法：从条件动身逐步变形推出结论的方法 消去法：当已知条件中含有某些参数,而结论中不含这些参数,通过消去条件中这些参 数达到证明等式的方法 分析法：从结论动身,逐步追溯到条件的证明方法,常在难于找到证题途径时用之三角函数的图象与性质1用“ 五点法 ” 作正弦、余弦函数的图象“ 五点法 ” 作图实质上是选取函数的一个,将其四等分,分别找到图象的 第 4 页,共 12 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载点,点及 “平稳点 ” 由这五个点大致确定函数的位置与外形2ysinx,ycosx,y tanx 的图象函ysinx y cosx ytanx 数图象注：正弦函数的对称中心为,对称轴为 余弦函数的对称中心为,对称轴为 正切函数的对称中心为3“ 五点法 ”作 yAsin x >0 的图象令 x' x转化为 y sinx',作图象用五点法,通过列表、描点后作图象 函数 yAsin x的图象与函数 ysinx 的图象关系振幅变换： yAsinxA>0 ,A 1的图象,可以看做是ysinx 的图象上全部点的纵坐标都,A>1 或0<A<1 到原先的倍（横坐标不变）而得到的周期变换： ysin x >0, 1的图象,可以看做是把ysinx 的图象上各点的横坐标 >1或 0< <1到原先的 倍纵坐标不变 而得到的 由于 ysinx 周期为 2,故 ysin x >0 的周期为相位变换：ysinx 0的图象,可以看做是把 ysinx 的图象上各点向 >0或向 <0平移 个单位而得到的由 ysinx 的图象得到 yAsin x的图象主要有以下两种方法：相位 周期 振幅ysinx 变换 变换 变换或ysinx周期 变换相位振幅个单位后一种方法变换变换>0或向右 <0平移说明：前一种方法第一步相位变换是向左其次步相位变换是向左>0或向右 <0平移个单位三角函数的性质1三角函数的性质函数ysinx ycosx ytanx 定义域值 域奇偶性有界性周期性单调性细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载最大 小值2函数 ysinx 的对称性与周期性的关系 如相邻两条对称轴为xa 和 xb,就 T 如相邻两对称点a,0和b,0 ,就 T 如有一个对称点a,0和它相邻的一条对称轴x b,就 T注：该结论可以推广到其它任一函数三角函数的最值1一元二次函数与一元二次方程一元二次函数与一元二次方程（以后仍将学习一元二次不等式）的关系始终是高中数学函数这部分内容中的重点,也是高考必考的学问点我们要弄清晰它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之,一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标2函数与方程两个函数 y f x 与 y g x 图象交点的横坐标就是方程 f g x 的解；反之,要求方程 f x g x 的解,也只要求函数 y f x 与 y g x 图象交点的横坐标3二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解,第一要找到方程的根所在的区间 m n ,就必有 f m f n 0,再取区间的中点 p m n,再判定 f p f m 的正负号, 如 f f m 0,就根在区2间 m p 中；如 f f m 0,就根在 , p n 中；如 f 0,就 p 即为方程的根按照以上方法重复进行下去,直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求）,即可得一个近似值典型例题例 1. 如是其次象限的角,试分别确定2,2, 3的终边所在位置. 的集合 : 例 2. 在单位圆中画出适合以下条件的角的终边的范畴,并由此写出角1 sin3 ;2cos 21 . 2变式训练： 求以下函数的定义域：（1）y=2cosx1；（2）y=lg3-4sin2x）. 第 6 页,共 12 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 3. 已知角的终边在直线学习必备欢迎下载,tan的值3x+4y=0 上,求 sin,cos变式训练： 已知角的终边经过点P3,m m0,且sin2m,试判定角所在的4象限,并求 cos和tan的值tan; 例 4 已知 f=sincos 2tansin（1）化简 f;（2）如是第三象限角,且cos31,求 f的值 . 25变式训练： 已知 A sinkcos k kZ就 A 构成的集合是 sincosA 1, 1, 2, 2 B1, 1 3,求cos2的值cos2C2, 2 D 2, 1, 01, 2 例 5求值： 1 已知2,cos752 已知tan11,求以下各式的值sin3cos；sin2sintansincos例 6. 已知2x0,sin xcos x1 5（1）求 sin xcos x 的值（2）求sin2x2sin2x的值1tanx例 7已知 tan=2,求以下各式的值：（1）2sin3cos;（ 2）2sin23cos 2;（3）4sin2-3sincos-5cos2. 4sin9cos4sin29cos 2例 8求以下各式的值（1）2sin50 °+sin10 °1+3 tan10 °·2sin280细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（2）sin40 12cos 401学习必备欢迎下载2cos 240cos40例 9. 已知 4,3,0,4, cos 43 ,sin 53 5 ,求 sin 的值1344例 10. （1）如 sinA=5 ,sinB= 510 ,且 A,B 均为钝角 ,求 A+B 的值 . 10（2）已知 tan 1 , tan -21 ,且 、（ 0,7）,求 2 的值 .例 11 已知 为锐角,且tan1的值 . ,求sin2cossin2sin2cos2例 12已知fx 3sin2xsinxcosx；1 求f25的值；2 设 0,f213 2,求 sin 的值64例 13已知 sin2 2 sin 2 cos cos2 1,0,2,求 sin 、tan 的值例 14. 化简：（1）cos 40sin50 13tan 10（2）1sin6xcos6xsin701cos 401sin4xcos4x（3）sin 2·sin2+cos22 cos1- 2cos2· cos2. 第 8 页,共 12 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 15. 已知6sin2sincos2cos2学习必备欢迎下载 ,求 sin （23）的值0,2,例 16已知3,tancot1043（1）求 tan 的值；（2）求5sin228sin2cos211cos228的值例 17求证：1coscos212sin2sin；tan 4tan 42tan2 cossinsin2例 181：求证：tan5tan34tan5tan3cos2cos4:2：已知 2tanA 3tanB,求证： tanA B5sin2BB,cos2例 191：如下列图, D 是直线三角形ABC 斜边上 BC 上一点, AB AD ,记 CAD=ABC=B A D C （1）证明： sin cos2 =0；（2）如AC3 DC,求 的值: 20： .已知, 0,2且 sin · cos 第 9 页,共 12 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（1）求证：tansin2cos学习必备欢迎下载；（2）用 tan 表示 tan 1sin2例 21.在 ABC 中,如 sinA ·cos 2CsinC·cos 2A3 2sinB,求证： sinA sinC2 sinB22例 22.已知函数 yAsin xA>0 , >0 如 A3,1 ,23,作出函数在一个周期内的简图3,求 和 如 y 表示一个振动量,其振动频率是2 ,当 x24时,相位是例 23 已知函数 y=3sin1x42（1）说明此图象是由 y=sinx 的图象经过怎么样的变化得到的；（2）求此函数的振幅、周期和初相；（3）求此函数图象的对称轴方程、对称中心 . 例 24如图为 y=Asin x+ 的图象的一段,求其解析式 . 例 25设关于 x 的方程 cos2x3 sin2xk1 在0,2内有两不同根,求 的值及 k 的取值范畴细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 26. 化简 f x cos6 k12x学习必备1欢迎下载3 sin 32xx R,kZ并求cos6 k32 x23f x 的值域和最小正周期例 27 已知函数 f x 12sinxxcos2 求 f x 的定义域 用定义判定 f x 的奇偶性 在, 上作出函数 f x 的图象 指出 f x 的最小正周期及单调递增区间例 28 设函数fx sinax3cosax0a1,gxtanmx6 0m1,已知 fx 、gx 的最小正周期相同,且 2g1f1 ；（1）试确定 fx 、gx的解的式；（2）求函数 fx 的单调递增区间例 29 已知函数 yacosxb 的最大值为1,最小值是 3,试确定fxb sinax 3的单调区间例 30. 求以下函数的最值 ysin2xsinx； y2 cos3x2cosx；y1sinxx0 ,2呢？1cosx3cosx例 31. 试求函数 ysinx cosx2sinxcosx2 的最大值与最小值,又如细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载1 例 32. 已知 sinxsiny 3,求 sinycos 2x 的最大值变式训练： 在 ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为a、b、c,如 b 2ac,求 y1sin2BBsinBcos的取值范畴例 33设 a0,如 ycos 2xasinxb 的最大值为出访 y 取得最大、最小值时的 x 值0,最小值为 4,试求 a 与 b 的值,并求变式训练： 设函数fx 3cos2xsinxcosxa（其中 >0,aR）,且 fx 的图象在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6（1）求 的值；（2）假如f x 在区间3,5 x 的最小值为63 ,求 a 的值 第 12 页,共 12 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -