2022年中考数学黄金知识点系列专题三角形.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 教学资料参考参考范本中考数学黄金学问点系列专题 25 三角形_年_月_日1 / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - _部门聚焦考点温习懂得 一、三角形 1、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线 段叫做三角形的角平分线；（2）在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线；（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的 高线（简称三角形的高）；2、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边；推论：三角形的两边之差小于第三边；（2）三角形三边关系定理及推论的作用：判定三条已知线段能否组成三角形 当已知两边时,可确定第三边的范畴；证明线段不等关系；3、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于 180° ；推论：直角三角形的两个锐角互余；2 / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角；二、全等三角形 1、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成 SAS” ）“ 边角边” 或“（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ 角边角” 或“ASA” ）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ 边边边” 或“ SSS” ）；直角三角形全等的判定：对于特别的直角三角形,判定它们全等时,仍有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“ 斜边、直角边” 或“ HL” ）2. 全等三角形的性质：三、等腰三角形 1、等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边；即等腰三角形的顶角平 分线、底边上的中线、底边上的高重合；推论 2：等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于 60° ；2、等腰三角形的判定定理及推论：3 / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 定理：假如一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）；这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等；推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论 2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形；推论 3：在直角三角形中,假如一个锐角等于 的一半；3、三角形中的中位线30° ,那么它所对的直角边等于斜边连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半；名师点睛典例分类 考点典例一、三角形中位线【例 2】（20xx 广西来宾第 9 题）如图,在ABC中,AB=4,BC=6,DE、DF是 ABC的中位线,就四边形BEDF的周长是（）D10 A5 B7 C8 【答案】 D【解析】考 点：三角形中位线定理4 / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【点睛】此题考查了三角形的中位线定理,中位线是三角形中的一条重要线段,由于 它的性质与线段的中点及平行线紧密相连,因此,它在几何图形的运算及证明中有着 广泛的应用【举一反三】（20xx 辽宁葫芦岛第 9 题）如图,在ABC中,点 D,E 分别是边 AB,AC的中点, AFBC,垂足为点 F,ADE=30° ,DF=4,就 BF的长为（）A4 B 8 C 2 D 4【答案】 D【解析】试题分析：在 RT ABF中, AFB=90° ,AD=DB,DF=4,利用直角三角形斜边中线性质可得 AB=2DF=8,再由 AD=DB,AE=EC,可得 DE BC,ADE=ABF=30° ,所以 AF=AB=4,由勾股定理可得 BF=4应选 D考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线考点典例二、等腰三角形【例 2】已知等腰ABC的两边长分别为 2 和 3,就等腰 ABC的周长为（）A7 B8 C 6 或 8 D 7 或 8 【答案】 D【解析】试题分析：由于等腰三角形的两边分别为 以有两种情形,需要分类争论2 和 3,但没有明确哪是底边,哪是腰,所试题解析：当 2 为底时,三角形的三边为 3,2、3 可以构成三角形,周长为 8；当 3 为底时,三角形的三边为 3,2、2 可以构成三角形,周长为 7应选 D5 / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形,如条件中没 有明确哪边是底哪边是腰时,应在符合三角形三边关系的前提下分类争论【举一反三】（20xx 湖南湘西州第 14 题）一个等腰三角形一边长为 个等腰三角形的周长是（）A13cm B14cm C13cm或 14cm D以上都不对【答案】 C. 【解析】等腰三角形的性质；三角形三边关系考点典例三、全等三角形4cm,另一边长为 5cm,那么这考 点 ：【例 3】（20xx 新疆生产建设兵团第 4 题）如图,在ABC和 DEF中, B=DEF,AB=DE,添加以下一个条件后,仍旧不能证明ABC DEF,这个条件是（）AA=D BBC=EF C ACB=F D AC=DF 【答案】 D. 【解析】试题分析：由 B=DEF,AB=DE,添加 A=D,利用 ASA可得 ABC DEF；添加BC=EF,利用 SAS可得 ABC DEF；添加 ACB=F,利用 AAS可得 ABC DEF；故答案选 D考点：全等三角形的判定 . 【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理,证明三角形全等的方法有：SSS,SAS,ASA,AAS,仍有直角三角形的 HL定理6 / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【举一反三】（20xx 河北第 21 题）（本小题满分 9 分）如图,点 B,F,C,E 在直线 l 上（F,C之间不能直接测量）,点 A,D在 l 异侧,测 得 AB=DE,AC=DF,BF=EC. （1）求证： ABC DEF；. （2）指出图中全部平行的线段,并说明理由第 21 题图【答案】 1 详见解析；（ 2） ABC=DEF,ACB=DFE,理由见解析 . 【解析】 AB DE,AC DF,理由如下, ABC DEF,ABC=DEF,ACB=DFE, AB DE,AC DF. 考点：全等三角形的判定及性质；平行线的判定 . 考点典例四、相像三角形 7 / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 4】（20xx 新疆生产建设兵团第7 题）如图,在ABC中, D、E分别是 AB、AC的中点,以下说法中不正确选项（）ADE=BC B C ADE ABC DS ADE：S ABC=1： 2【答案】 D. 【解析】考点：相像三角形的判定及性质 . 【点睛】此题考查了相像三角形的判定与性质,等高的三角形的面积的比等于底边的比,熟记相像三角形面积的比等于相像比的平方,用BDE的面积表示出ABC的面积是解题的关键【举一反三】（20xx 内蒙古巴彦淖尔第 7 题）如图, E为.ABCD的边 AB延长线上的一点,且 BE：AB=2：3, BEF的面积为 4,就 .ABCD的面积为（）A30 B27 C14 D32 【答案】 A8 / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【解析】考点：相像三角形的判定与性质；平行四边形的性质考点典例五、位似三角形【例 5】（20xx 湖北十堰第 5 题）如图,以点 O为位似中心,将ABC缩小后得到 ABC ,已知 OB=3OB ,就 ABC 与 ABC的面积比为（）A1：3 B1：4 C1：5 D1：9 【答案】 D. 【解析】试题分析：由 OB=3OB ,可得 OB ：OB=1:3,已知以点 O为位似中心,将ABC缩小后得到 ABC ,即可得ABC ABC,所以 , 再由相像三角形的面积比等于相像比的平方即可得ABC 与 ABC的面积比为 1:9 ,故答案选 D.考点：位似变换9 / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质,利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键【举一反三】如图, ABC与 A1B1C1为位似图形,点O是它们的位似中心,位似比是1：2,已知 ABC的面积为 3,那么 A1B1C1的面积是【答案】 12【解析】 ABC与 A1B1C1为位似图形, ABC A1B1C1,位似比是 1：2,相像比是 1：2, ABC与 A1B1C1的面积比为： 1：4, ABC的面积为 3, A1B1C1的面积是： 3× 4=12考点典例六：直角三角形【例 6】（ 20xx 辽宁沈阳第 9 题）如图,在 就 BC的长是（）Rt ABC中, C=90° , B=30° , AB=8,10 / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - A B 4 C8 D 4【答案】 D. 【解析】考 点 ：解直角三角形 . 【点睛】此题可以考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中,锐角的正弦为 对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比边【举一反三】（20xx 浙江宁波第 16 题）如图,在一次数学课外实践活动中,小聪在距离旗杆 10m 的 A处测得旗杆顶端 B的仰角为 60° ,测角仪高 AD为 1m,就旗杆高 BC为 m（结果保留根号）【答案】 10+1.【解析】11 / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 考点：解直角三角形的应用 . 课时作业才能提升一、挑选题1. （20xx 河南第 6 题）如图,在ABC中, ACB=90° ,AC=8,AB=10. DE垂直平分AC交 AB于点 E,就 DE的长为【】（C）4 （D）3 （A）6 （B）5 【答案】 D. 【解析】考点：勾股定理；三角形的中位线定理 . 12 / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2. （20xx 河北第 15 题）如图,ABC中, A=78° , AB=4,AC=6.将 ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相像的是（）第 15 题图【答案】 C. 【解析】试题分析：只要三个角相等,或者一角相等,两边成比例即可；选项项不能判定两 个三角形相像,故答案选 C. 考点：相像三角形的判定 . 3. （20xx 山东滨州第 6 题）如图,ABC中,D为 AB上一点, E为 BC上一点,且AC=CD=BD=BE,A=50° ,就 CDE的度数为（）A50°B51°C51.5 °D52.5 °【答案】 D. 【解析】13 / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 考 点 ：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质4. （20xx 山东枣庄第 4 题）如图,在ABC中,AB = AC ,A = 30° ,E 为BC延长线上一点, ABC与 ACE的平分线相交于点A15° B17.5 ° C20°D22.5 °【答案】 A. 【解析】D,就 D等于试题分析：在ABC中, AB=AC,A=30° ,依据等腰三角形的性质可得ABC=ACB=75° ,所以 ACE=180° - ACB=180° -75 ° =105° ,依据角平分线的性质可得DBC=37.5° , ACD=52.5° ,即可得 BCD=127.5° ,依据三角形的内角和定理可得D=180° - DBC-BCD=180° -37.5 ° -127.5 ° =15° ,故答案选 A. 考点：等腰三角形的性质；三角形的内角和定理 . 5. （20xx 湖南怀化第 10 题）在 Rt ABC中, C=90° ,sinA=,AC=6cm,就 BC的长度为（）A6cm B7cm C8cm D9cm 【答案】 C【解析】试题分析：已知 sinA=,设 BC=4x,AB=5x,又因 AC2+BC2=AB2,即 62+（4x）2=（5x）2,解得： x=2 或 x= 2（舍）,所以 BC=4x=8cm,故答案选 C考点：解直角三角形14 / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6. （20xx 湖南永州第 9 题）如图,点 D,E 分别在线段 AB,AC上,CD与 BE相交于 O点,已知 AB=AC,现添加以下的哪个条件仍不能判定ABE ACD（）AB=C BAD=AE CBD=CE DBE=CD 【答案】 D【解析】考点：全等三角形的判定 . 二、填空题 7. （20xx 山东枣庄第 14 题）如图是耸立在高速大路边水平地面上的交通警示牌,经 测量得到如下数据： AM=4米, AB=8米, MAD=45° , MBC=30° ,就警示牌的高 CD 为 米（结果精确到 0.1 米,参考数据： =1.41 ,=1.73 ）【答案】 2.9. 【解析】试题分析：在 Rt AMD中, MAD=45° ,AM=4米,可得 MD=4米；在 Rt BMC中,BM=AM+AB=12 米, MBC=30° ,可求得 MC=4米,所以警示牌的高 CD=4-4=2.9 米.考点：解直角三角形 . 8. （20xx 山东济宁第 12 题）如图,ABC中, ADBC,CEAB,垂足分别为 D、E,AD、CE交于点 H,请你添加一个适当的条件：,使 AEH CEB15 / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【答案】 AH=CB或 EH=EB或 AE=CE 添加其中任意一个即可 【解析】试题分析：依据 AAS添加 AH=CB或 EH=EB；依据 ASA添加 AE=CE可证 AEH CEB考点：全等三角形的判定 . 9. （20xx 湖南娄底第 14 题）如图,已知 A=D,要使 ABC DEF,仍需添加一个条件,你添加的条件是（只需写一个条件,不添加帮助线和字母）【答案】 B=DEF（答案不唯独,符合要求即可）【解析】考 点 ：相像三角形的判定10. （20xx 福建泉州第 11 题）如图,在BC=8,就 DE= 【答案】 4考点：三角形中位线定理ABC中, D、E分别是边 AB、AC的中点,11. （20xx 福建泉州第 14 题）如图,在 Rt ABC中,E是斜边 AB的中点,如 AB=10,就 CE= 16 / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【答案】 5【解析】试题分析：依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得 CE=AB=5.考点：直角三角形斜边上的中线三解答题12. （20xx 山东淄博第 22 题）（ 8 分）如图,已知ABC,AD平分 BAC交 BC于点 D,BC的中点为 M,ME AD,交 BA的延长线于点 E,交 AC于点 F（1）求证： AE=AF；（2）求证： BE=（AB+AC）【答案】（ 1）详见解析；（ 2）详见解析 . 【解析】试题分析：（ 1）依据角平分线的性质及平行线的性质易AEF=AFE,即可得AE=AF；（2）作 CG EM,交 BA的延长线于 G,已知 AC=AG,依据三角形中位线定理的推论证明 BE=EG,再利用三角形的中位线定理即可证得结论17 / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质13. （20xx 湖南怀化第 17 题）如图,已知（1）求证： ADB BCA；AD=BC,AC=BD（2）OA与 OB相等吗？如相等,请说明理由18 / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【答案】 1 详见解析；（ 2）OA=OB,理由详见解析 . 【解析】考 点 ：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定14. （20xx 湖南怀化第 21 题）如图,ABC为锐角三角形, AD是 BC边上的高,正方形 EFGH的一边 FG在 BC上,顶点 E、H分别在 AB、AC上,已知 BC=40cm,AD=30cm（1）求证： AEH ABC；（2）求这个正方形的边长与面积【答案】（ 1）详见解析；（ 2）正方形 EFGH的边长为 cm,面积为 cm2【解析】19 / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 试题分析：（ 1）依据 EH BC即可证明 AEH ABC；（ 2）如图设 AD与 EH交于点 M,易证四边形 EFDM是矩形,设正方形边长为x,由（ 1）知 AEH ABC,依据相像三角形的性质可得得,代入数据列出方程即可解决问题考点：相像三角形的判定与性质15. 20xx 湖北襄阳第 19 题 本小题满分 6 分 如图,在 ABC中AD平分 BAC,且 BD=CD,DEAB于点 E,DFAC于点 F1 求证： AB=AC；2 如 AD=2,DAC=30° ,求 AC的长20 / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【答案】（ 1）详见解析；（ 2）4. 【解析】考 点 ：角平分线的性质；全等三角形的判定及性质；直角三角形的性质 . 21 / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 21 页
