2022年不等式与不等式组知识点.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 精品学问点不等式与不等式组学问点归纳一、不等式的概念1不等式：用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式；2不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式,都叫做这个不等式的解；任何一个适合这个不等式的未知数的值,3不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式,它的全部解的集合叫做这个不等式的解 的集合,简称这个不等式的解集；4解不等式：求不等式的解集的过程,叫做解不等式；5用数轴表示不等式的解集；二、不等式的基本性质1不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式,不等号的方向不变；2不等式两边都乘以（或除以）同一个正数,不等号的方向不变；3不等式两边都乘以（或除以）同一个负数,不等号的方向转变；说明：在一元一次不等式中,不像等式那样,等号是不变的,是随着加或乘的运算转变；假如不等式乘以 0,那么不等号改为等号所以在题目中,要求出乘以的数,那么就要看看 0,否就不等式 题中是否显现一元一次不等式,假如显现了,那么不等式乘以的数就不等为 不成立；例: 1已知不等式3x-a0 的正整数解恰是1,2,3,就 a 的取值范畴是； 第 1 页,共 15 页 2已知关于x 的不等式组xa01无解,就 a 的取值范畴是52x2x403不等式组1x20的整数解为；24假如关于x 的不等式（ a-1）x<a+5 和 2x<4 的解集相同,就a 的值为5已知关于x 的不等式组x34x1 的解集为x2,那么 a 的取值范畴是2xa06当 x时,代数式2x5的值不大于零7.如x<,就2x2（用“>” “ =” 或“ ” 号填空）8.不等式72 x>,的正整数解是9.不等式x >a10的解集为 x <,就 a10.如a> b >c,就不等式组xa的解集是xbxc细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -11.如不等式组2xa1名师总结精品学问点1 b1 的值为的解集是 < x <,就ax2 b312.有解集 < x <的不等式组是（写出一个即可）13.一罐饮料净重约为 g,罐上注有“ 蛋白质含量 0 6.” 其中蛋白质的含量为 _ g 14.如不等式组 x a 的解集为 x >,就 a 的取值范畴是x 3三、一元一次不等式（重点）1一元一次不等式的概念：一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是 1,且不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式；2解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（ 3）移项（4）合并同类项（5）将 x 项的系数化为1 例：一、 判定题（每题1 分,共 6 分）（）1、 ab,得 amb m 2、 由 a3,得 a3 2（）3、 x = 2是不等式 x34 的解（）4、 由1 1,得a a 2 25、 假如 ab, c0,就 ac 2bc2（）（）6、 假如 ab 0,就a 1 b（）二、 填空题（每题2 分,共 34 分）5；1、如 ab,用“ ” 号或“ ” 号填空：a 5 bab ； 12a 212b；6a 6b；22、x 与 3 的和不小于 6,用不等式表示为3、当 x 时,代数式2x3 的值是正数；4、代数式 1 2x 的不大于 8x 的值,那么 x 的正整数解是 4 25、假如 x7 5,就 x ；假如x 0,那么 x 26、不等式 axb 的解集是 xb ,就 a 的取值范畴是 a7、一个长方形的长为 x 米,宽为 50 米,假如它的周长不小于式为；280 米,那么 x 应满意的不等8、点 A（5,y1）、B（2,y 2）都在直线y = 2x 上,就 y1 与 y 2的关系是m 的取值范畴； 第 2 页,共 15 页 9、假如一次函数y = （2m） xm 的图象经过第一、二、四象限,那么是；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -四、一元一次不等式组（难点）名师总结精品学问点1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组；2、几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集；3、求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组；4、当任何数 x 都不能使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为空集；5、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集；例：一、挑选题1以下不等式组中,是一元一次不等式组的是（）20,Ax2,Bx10,C3 x x20,30D3 x1x3y202xx1x2以下说法正确选项（）A不等式组x3,的解集是 5<x<3 Bx2,的解集是 3<x< 2 x5x3）Cx2,的解集是 x=2 Dx3,的解集是 x 3x2x33不等式组x2 , 3的最小整数解为（）x482xA 1 B0 C1 D4 4在平面直角坐标系中,点P（2x6,x5）在第四象限,就x 的取值范畴是（A3<x<5 B 3<x<5 C 5<x<3 D 5<x<3 5不等式组x20,的解集是（）x30Ax>2 Bx<3 C2<x<3 D无解二、填空题细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 15 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -6如不等式组x2,名师总结精品学问点有解,就 m 的取值范畴是 _xm7已知三角形三边的长分别为2,3 和 a,就 a 的取值范畴是 _8将一筐橘子分给如干个儿童,假如每人分 4 个橘子,就剩下 9 个橘子； .假如每人分 6个橘子,就最终一个儿童分得的橘子数将少于 3 个,由以上可推出,共有 _个儿童,分_个橘子9如不等式组xax2,的解集是 1<x<1 ,就（ a+b）2006=_b20三、解答题10解不等式组2x2x4, 1x1x023211如不等式组xm1,无解,求 m 的取值范畴x2m112为节省用电,某学校于本学期初制定了具体的用电方案.假如实际每天比方案多用2度电, 那么本学期用电量将会超过 2530 度；假如实际每天比方案节省了 2 度电,那么本学期用电量将会不超过 2200 度如本学期的在校时间按 110 天运算, 那么学校每天方案用电量在什么范畴内？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 15 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 精品学问点易错点分析：易错点 1：误认为一元一次不等式组的“ 公共部分” 就是两个数之间的部分例 1 解不等式组x10, x20再错解： 由,得 x 1,由,得x 2,所以不等式组的解集为2x1错因剖析： 解一元一次不等式组的方法是先分别求出不等式组中各个不等式的解集,利用数轴求出这些不等式解集的公共部分此题错在对“ 公共部分” 的懂得上,误认为两个数之间的部分为“ 公共部分”（即解集）实际上,这两部分没有“ 公共部分”,也就是说此不等式组无解,而所谓“ 公共部分” 的解是指“ 两线重叠” 的部分此外,有些同学可能会受到解题次序的影响,把解集表示成 正解： 由,得 x 1由,得1x 2 或 2x1 等,这些都是错误的x 2,所以此不等式组无解易错点 2：误认为“ 同向解集哪个表示范畴大就取哪个”5x 126 3x, 例 2 解不等式组 4x35221x 3 错解： 解不等式,得 x3解不等式,得 x5由于 x3 的范畴较大,所以4 4不 等式组的解集为 x3 4错因剖析： 本例错解中, 由于对不等式组的解集懂得得不深刻,在依据两个解集的范畴确定不等式组的解集时,形成错误的熟识 其实在求两个一元一次不等式组成的不等式组的解集时,可归纳为以下四种基本类型（设 ab）,xa,x a,xa,xa, xb, x b, xb, xb利用数可确定它们的解集分别为xb, xa,ax b,空集也可以用下面的口诀来帮忙记忆, “ 同大取大,同小取小,大小小大中间取,大大小小取不了（空集）” 正解： 解不等式,得x3解不等式,得4x5所以不等式组的解集为x5易错点 3：混淆解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 15 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 3 解不等式组名师总结精品学问点x 2 2x311,3x 22x33错解： 由,得 2x14,即 x7,所以不等式组的解集为 x7错因剖析： 本例错在将解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法混淆,误将解二元一次方程组中的加减消元法用在解一元一次不等式组中产生此类错误的根本缘由是没有正确区分解一元一次不等式组和解二元一次方程组的不同点,（1）解二元一次方程组时,两个方程不是单独存在的； （2）由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集,可归纳为“ 独立解,集中到”,即独立地解不等式组中的每一个不等式组中的每一个不等式,在解的过程中,各不等式彼此不发生关系,“ 组”的作用在最终,即每一个不等式的解集都要求出来后,再利用数轴从“ 公共部分” 的角度去求“ 组” 的解集正解： 由不等式,得 32x 17,即 x343由不等式,得 72x 3,即 x67所以原不等式组的解集为34 3x 6 7易错点 4：在去分母时,漏乘常数项2x31,例 4 解不等式组 x12 2 x错解： 由,得 x2在 x212 x 的两边同乘 2,得 x 12 2x于是有 x1 3,所以原不等式组的解集为 2x1 3错因剖析： 解一元一次不等式组,需要先求出每一个不等式的解,最终找出它们的公共部分 对不等式进行变形时,肯定要使用同解变形,不然就简单出错本例的解答过程中没有把握不等式的运算性质,在去分母时漏乘了中间的一项此外,仍要留意在表示 “ 大小小大中间取”这类不等式的解集时应按一般次序,把小的那个数放在前面,大的那个数放在后面,用“ ” 连接细心整理归纳 精选学习资料 正解： 由,得 x 2在x1 22 x 的两边同乘2,得 x14 2x于是有 x 第 6 页,共 15 页 1,所以原不等式组的解集为1x2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 精品学问点易错点 5：忽视不等式两边同乘（或除以）的数的符号,导致不等式方向出错例 5 解关于 x 的不等式（1 2a）x 12a错解： 去分母,得 12ax212a将不等式两边同时除以（12a）,得 x2错因剖析： 在利用不等式的性质解不等式时,假如不等式两边同乘（或除以）的数是含字母的式子,应留意争论含字母的式子的符号本例中不等式两边同乘 或除以 的12a,在不确定取值符号的情形下进行约分,所以出错正解： 将不等式变形,得12ax212ax10 7,就关于 x 的不等式 ax（1）当 1 2a0 时,即 a1 2时, x2；（2）当 1 2a0 时,即 a1 2时,不等式无解；（3）当 1 2a0 时,即 a1 2时, x2例 6 假如关于 x 的不等式 2abxa5b0 的解集是b 的解集是 _错解： 由于不等式（2a b） xa5b 0 的解集是x10 7,所以 5ba10 7,就有2ab7,5ba10,解得a5,从而知 axb 的解集是 x3 5b3错因剖析： 此题错因有两个, 一是忽视了原不等式的不等号方向与解集的不等号方向正好相反； 二是对含有字母系数的不等式没有依据解集的情形确定字母系数的取值范畴,所以a0,在解题时错误得出2ab7,解得a5,从而错误得到axb 的解集是 x3 55ba10,b3正解：由不等式 （2ab）x a5b 0 的解集是 x10 7,得2ab0,解得5ba 2ab10 7,a3 5所以 axb 的解集是 x3 5易错点 6：查找待定字母的取值范畴时易漏特别情形例 7 如关于 x 的不等式组5 2x 1,x a2无解,就 a 的取值范畴是 _ 错解： 由52x 1,得x3,又由于不等式组无解,所以a 的取值范畴是a3xa0,xa错因剖析： 由已知不等式的解集确定不等式组的解集时,可按“ 同大取大,同小取小,大小小大中间取, 大大小小取不了”的基本规律求解,但当已知不等式组的解集而求不等式 第 7 页,共 15 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 精品学问点的解集中待定字母取值范畴时就不能完全套用此规律,仍应考虑特例,即 a3,有 x3 及x3,而此时不等式组也是无解的况因此, 此题错在没有考虑待定字母的取值范畴的特别情正解： 由52x 1,得x3,又由于不等式组无解,所以a 的取值范畴是a3xa0xa例 8已知关于x 的不等式组xa0,的整数解共有5 个,就a 的取值范畴是32x 1_错解： 由xa0,解得 32x 1x a,又由于原不等式组的整数解共有5 个,所以 ax 2,x 2这 5 个整数解为 3, 2, 1,0,1,从而有 a 3或 a 3错因剖析：此题主要考查同学们是否会运用逆向思维解决含有待定字母的一元一次不等式组的特解上述解法错在忽视ax2 中有 5 个整数解时, a 虽不唯独,但也有肯定的限制, a 的取值范畴在3 与 4 之间,其中包括3,但不应包括4,所以错解在确定a 的取值范畴时扩大明白的范畴正解： 由xa0,解得 32x 1xa,又由于原不等式组的整数解共有5 个,所以axx22又知这 5 个整数解为 3, 2, 1,0,1故 a 的取值范畴是4a 3总之,对于解一元一次不等式（组）问题,我们要深刻领悟一元一次不等式（组）的基础学问,熟识这 6 个易错点,坚固地把握一元一次不等式（组）的解法和步骤,从而远离解一元一次不等式（组）的错误深潭细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 15 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 精品学问点中考考点解读：1. （2022 山东滨州 3 分） 不等式2x1x1的解集是【】x84x1Ax3Bx2C 2x3D空集【答案】 A；【考点】 解一元一次不等式组；【分析】 解一元一次不等式组,先求出不等式组中每一个不等式的解集,再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小解不了（无解）；因此,是：x解 2x1x+1得x2,解x +84 x1得x3；按同大取大,得不等式组的解集3应选 A；2. （2022 山东滨州 3 分） 李明同学早上骑自行车上学,中途因道路施工步行一段路,到学校共用时 15 分钟他骑自行车的平均速度是250 米/ 分钟,步行的平均速度是80 米/ 分钟他家离学校的距离是2900 米如果他骑车和步行的时间分别为x, y 分钟,列出的方程是【】Axy1y2900Bxy15y2900480 x250250x80Cxxy1y2900Dxy15y29004250 x8080250【答案】 D；【考点】 由实际问题抽象出二元一次方程组；【分析】 李明同学骑车和步行的时间分别为x, y分钟,由题意得：李明同学到学校共用时15 分钟,所以得方程：x y + =15；李明同学骑自行车的平均速度是250 米/ 分钟, x 分钟骑了 250 x 米；步行的平均速度是 80 米/ 分钟, y 分钟走了 80 y 米；他家离学校的距离是 2900 米,所以得方程：250 +80 =2900；应选 D；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 15 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -3. （2022 山东德州 3 分） 已知名师总结精品学问点】a+2b=4,就 a+b 等于【3a+2b=8A3 B8 3 C 2 D1 【答案】 A；【考点】 解二元一次方程组；【分析】 两式相加即可得出4a+4b=12,方程的两边都除以4 即可得出答案： a+b=3；应选 A；4. （2022 山东东营 3 分） 方程k1 x21kx+1=0有两个实数根,就k 的取值范畴是4【】 D k<1 A k1 B k1 C k>1 【答案】 D；【考点】 一元二次方程的意义和根的判别式；【分析】 当 k=1 时,原方程不成立,故k 1,1=0为一元二次方程；当 k 1 时,方程k1 x21kx+4此方程有两个实数根,b24ac（1k）24（k1）11k（k1）22k0,解得：k 1；4综上 k 的取值范畴是k1；应选 D；mx ny=8的解,就 2mn 的算术5. （2022 山东菏泽3 分） 已知x=2是二元一次方程组y=1nxmy=1平方根为【】D 4 A± 2 B2 C2 【答案】 C；【考点】 二元一次方程组的解和解二元一次方程组,求代数式的值,算术平方根；【分析】 x =2是二元一次方程组mx ny=8的解,2m n + =8,解得m =3； 第 10 页,共 15 页 - - - - - - - - - y=1nxmy=12nm =1n=22mn=232=4=2；即 2mn的算术平方根为2；应选 C；6. （2022 山东莱芜 3 分） 对于非零的实数a、b,规定 ab 1 b 1 a如 22x 1 1,就 x【】细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A 5 6 B名师总结精品学问点 1 6 5 4 C 3 2 D【答案】 A；【考点】 新定义,解分式方程；【分析】 ab 1 b 1 a,22x 1 1,22x 1 111 =1 2；m 2n 23mn2x11=33 2x1 =26x3=26x=5x=5；2x26检验,合适；应选A；7. （2022 山东莱芜3 分）已知 m、n 是方程 x222x 10 的两根, 就代数式的值为【】A9 B± 3 C 3 D5 【答案】 C；【考点】 一元二次方程根与系数的关系,求代数式的值；【分析】 m、n 是方程 x222x10 的两根, m n=2 2 ,mn=1；】2 2m +n +3mn =m+n2+mn =2 22+1=8+1=9=3 ；应选 C；8. （2022 山东临沂 3 分）用配方法解一元二次方程x24x5时,此方程可变形为 【Ax221 B x221Cx229Dx229【答案】 D；【考点】 配方法解一元二次方程；【分析】x24x52 x4 +45+41x22=9；应选 D；】2x59. （2022 山东临沂 3 分） 不等式组3x11x的解集在数轴上表示正确选项【A2BCD【答案】 A；【考点】 解一元一次不等式组,在数轴上表示不等式的解集；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 15 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【分析】 解一元一次不等式组,名师总结精品学问点再利用口诀求出这先求出不等式组中每一个不等式的解集,些解集的公共部分：同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小解不了（无解）；因此,2 x 1 5 x 33 x 11 x x 1 1 x 3；2不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（,向右画；,向左画）,数轴上的点把数轴分成如干段,假如数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个； 在表示解集时“ ” ,“” 要用实心圆点表示；“ ” ,“ ” 要用空心圆点表示；因此,在数轴上表示为：应选 A；10. （2022 山东临沂 3 分） 关于 x、y 的方程组3xym的解是x1,就 mn 的xmyny1值是【】A5 B3 C 2 D1 【答案】 D；【考点】 二元一次方程组的解和解二元一次方程组,求代数式的值；3x y m x 1 3 1 m m 2【分析】 方程组 的解是,；x my n y 1 1 m n n 3m n = 2 3 =1； 应选 D；11. （2022 山东日照 4 分） 已知关于 x 的一元二次方程 k 2 2x 22k 1x 1=0 有两个不相等的实数根,就 k 的取值范畴是【】A k> 4 且 k 2 Bk4 且 k 2 C k > 3 且 k 2 Dk3 且 k 23 3 4 4【答案】 C；【考点】 一元二次方程根的判别式,一元二次方程的定义；【分析】 方程为一元二次方程,k2 0,即k 2； 第 12 页,共 15 页 - - - - - - - - - 方程有两个不相等的实数根, 0,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（ 2k 1）2 4（k2）名师总结精品学问点20,即（ 2k 12k 4）（2k12k4） 0,5（ 4k3） 0,k3；4k的取值范畴是 k3 且k 2；应选 C；412. （2022山东日照 4分） 某校同学理想服务小组在“ 学雷锋” 活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人 . 假如分给每位老人 4盒牛奶, 那么剩下 28盒牛奶； 假如分给每位老人 5盒牛奶,那么最终一位老人分得的牛奶不足 4盒,但至少 1盒. 就这个敬老院的老人最少有【】（A）29 人（B）30 人（C）31 人（D） 32 人【答案】 B；【考点】 一元一次不等式组的应用；【分析】 设这个敬老院的老人有x 人,就有牛奶（ 4x 28）盒,依据关键语句“ 假如分给每位老人 5 盒牛奶,那么最终一位老人分得的牛奶不足 4 盒,但至少 1 盒” 可得不等式组：4x 28 5 x 1 < 4, 解得： 29x32；4x 28 5 x 1 1x 为整数,x 最少为 30；应选 B；x 8 4 x 113. （2022 山东泰安 3 分） 将不等式组 的解集在数轴上表示出来,正确的x 16 3 x是【】ABC D 【答案】 C；【考点】 解一元一次不等式组,在数轴上表示不等式的解集；【分析】 解一元一次不等式组,先求出不等式组中每一个不等式的解集,再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小解不了（无解）；因此,x84 x1 ,由得,x 3；由得, x 4；x163x其解集为： 3 x 4；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页,共 15 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 精品学问点不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（,向右画；,向左画）,数轴上的点把数轴分成如干段,假如数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解 集有几个就要几个；在表示解集时“ ” ,“ ” 要用实心圆点表示；“ ” ,“ ” 要用空心圆点表示；因此,3 x 4 在数轴上表示为：应选 C；14.（2022 山东潍坊 3 分） 不等式组2x+3>5的解等于【】3x2<4A 1<x<2 B x>1 C x<2 D x<1或 x>2 【答案】 A；【考点】 解一元一次不等式组；【分析】 解一元一次不等式组,先求出不等式组中每一个不等式的解集,再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小解不了（无解）；因此,解 2x 35 得,x1；解 3x24 得,x2,此不等式组的解集为：1x2 ；应选 A；15. （2022 山东潍坊 3 分） 下图是某月的日历表,在此日历表上可以用一个矩形圈出 3× 3个位置相邻的 9 个数 如 6,7,8,l3 ,14,l5 ,20,21,22 如圈出的 9 个数中,最大数与最小数的积为 192,就这 9 个数的和为【】A32 B 126 C 135 D144 【答案】 D；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页,共 15 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 精品学问点【考点】 分类归纳（数字的变化类）,一元二次方程的应用；【分析】 由日历表可知,圈出的 9 个数中,最大数与最小数的差总为 16,又已知最大数与最小数的积为 192,所以设最大数为 x,就最小数为 x16；x（ x16）=