2022年九年级数学上相似三角形期末复习题及答案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 相像三角形提优训练题一挑选题（共10 小题）BC 于 E,交 DC 的延长线于F, BGAE1如图,在平行四边形ABCD 中, AB=6 ,AD=9 , BAD 的平分线交于 G,BG=,就 EFC 的周长为（）D8A 11 B10 C92如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AD 上,连接 CE 并延长与 BA 的延长线交于点 F,如 AE=2ED ,CD=3cm ,就 AF 的长为（）A 5cm B6cm C7cm D8cm 3如图,在 ABC 中,AB=AC=a ,BC=b（ab）在 ABC 内依次作 CBD= A,DCE= CBD ,EDF= DCE 就EF 等于（）BCDA 4如图,正方形ABCD 是一块绿化带,其中阴影部分EOFB,GHMN 都是正方形的花圃已知自由翱翔的小鸟,将随机落在这块绿化带上,就小鸟在花圃上的概率为（）第 1 页,共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A BCD6如图,在 .ABCD 中, E 为 CD 上一点,连接 EC= （）AE、BD ,且 AE 、BD 交于点 F,S DEF：S ABF=4：25,就 DE：A 2：5 B2：3 C3：5 D3：2 8如下列图,在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 相交于点 O,E 为 OD 的中点,连接 AE 并延长交 DC 于点 F,就 DF：FC=（）A 1：4 B1：3 C2：3 D1：2 二填空题（共 10 小题）12如图,在 .ABCD 中, AB=6cm ,AD=9cm , BAD 的平分线交BC 于点 E,交 DC 的延长线于点F,BGAE ,垂足为 G,BG=4cm,就 EF+CF 的长为_cm13如下列图,在 ABC 中, BC=6,E、F 分别是 AB 、AC 的中点,动点的平分线交CE 于 Q,当 CQ=CE 时, EP+BP=_P 在射线 EF 上, BP 交 CE 于 D, CBP名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 14如图,小明在打网球时, 使球恰好能打过网, 而且落在离网 4 米的位置上, 就球拍击球的高度 h 为 _15正方形 ABCD 的边长为 1cm,M、N 分别是 BC、CD 上两个动点, 且始终保持 AM MN ,当 BM= _cm 时,四边形 ABCN 的面积最大,最大面积为 _ cm 217在 ABC 中, P 是 AB 上的动点（ P 异于 A 、B）,过点 P 的直线截 ABC ,使截得的三角形与 ABC 相像,我们不妨称这种直线为过点P 的 ABC 的相像线,简记为P（ lx）（x 为自然数）第 3 页,共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）如图 ,A=90 °,B= C,当 BP=2PA 时, P（ l1）、P（l2）都是过点 P 的 ABC 的相像线（其中 l1BC,l2 AC ）,此外,仍有 _ 条；（2）如图 , C=90°, B=30°,当 = _ 时, P（ lx）截得的三角形面积为 ABC 面积的18如图,在 Rt ABC 中, ABC=90 °,BA=BC 点 D 是 AB 的中点,连接 CD,过点 B 作 BG 丄 CD,分别交CD、CA 于点 E、F,与过点A 且垂直于 AB 的直线相交于点G,连接 DF给出以下四个结论：第 4 页,共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ； 点 F 是 GE 的中点； AF=AB ；_ S ABC =5S BDF,其中正确的结论序号是19如图,n 个边长为 1 的相邻正方形的一边均在同始终线上,点 M 1,M2,M3,Mn分别为边 B1B 2,B2B3,B3B4,BnBn+1的中点, B1C1M 1的面积为 S1, B2C2M 2的面积为 S2, BnCnM n的面积为 Sn,就 Sn=_（用含 n 的式子表示）名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 20如图, ABC 是斜边 AB 的长为 3 的等腰直角三角形,在 ABC 内作第 1 个内接正方形A 1B1D1E1（D1、E1在 AB 上,A 1、B 1 分别在 AC 、BC 上）,再在 A1B 1C 内接同样的方法作第2 个内接正方形A 2B 2D2E2,如此下去,操作 n 次,就第 n 个小正方形A nBnD nEn 的边长是_三解答题（共8 小题）21如图, 在 Rt ABC 中,C=90 °,点 P 为 AC 边上的一点, 将线段 AP 绕点 A 顺时针方向旋转 （点 P 对应点 P）,当 AP 旋转至 APAB 时,点 B、P、 P恰好在同始终线上,此时作PEAC 于点 E名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）求证： CBP= ABP ；（2）求证： AE=CP ；（3）当, BP=5时,求线段AB 的长25在 ABC 中, CAB=90 °,AD BC 于点 D,点 E 为 AB 的中点, EC 与 AD 交于点 G,点 F 在 BC 上（1）如图 1, AC：AB=1 ：2,EFCB,求证： EF=CD （2）如图 2, AC：AB=1 ：,EFCE,求 EF：EG 的值第 7 页,共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 28如图,点 B 在线段 AC 上,点 D,E 在 AC 同侧, A=C=90°,BDBE,AD=BC （1）求证： AC=AD+CE ；（2）如 AD=3 ,CE=5,点 P 为线段 AB 上的动点,连接DP,作 PQ DP,交直线 BE 于点 Q；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - （i）当点 P 与 A ,B 两点不重合时,求的值；DQ 的中点所经过的路径（线段）长（直接写出结果,不必写出（ii ）当点 P 从 A 点运动到 AC 的中点时,求线段解答过程）29如图,在直角梯形 ABCD 中, AD BC, BCD=90 °, ABC=45 °,AD=CD ,CE 平分 ACB 交 AB 于点 E,在 BC 上截取 BF=AE ,连接 AF 交 CE 于点 G,连接 DG 交 AC 于点 H,过点 A 作 ANBC,垂足为 N,AN 交 CE于点 M 求证： CM=AF ； CEAF ； ABF DAH ； GD 平分 AGC （）第 9 页,共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 九年级数学相像三角形提优训练题参考答案与试题解析一挑选题（共 10 小题）1（2022.自贡）如图,在平行四边形 ABCD 中, AB=6 ,AD=9 , BAD 的平分线交 BC 于 E,交 DC 的延长线于F,BG AE 于 G,BG=,就 EFC 的周长为（）A 11 B10 C9 D8考点 ： 相像三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质分析：判定出 ADF 是等腰三角形, ABE 是等腰三角形,DF 的长度,继而得到 EC 的长度,在 Rt BGE 中求出 GE,继而得到 AE ,求出 ABE 的周长, 依据相像三角形的周长之比等于相像比,可得出 EFC 的周长解答：解：在 .ABCD 中, AB=CD=6 , AD=BC=9 , BAD 的平分线交 BC 于点 E, BAF= DAF , AB DF,AD BC, BAF= F=DAF , BAE= AEB , AB=BE=6 , AD=DF=9 , ADF 是等腰三角形, ABE 是等腰三角形, AD BC, EFC 是等腰三角形,且 FC=CE, EC=FC=9 6=3,在 ABG 中, BGAE ,AB=6 ,BG=4, AG= =2, AE=2AG=4 , ABE 的周长等于 16,又CEF BEA ,相像比为 1：2, CEF 的周长为 8应选 D点评：此题主要考查了勾股定理、相像三角形、等腰三角形的性质,留意把握相像三角形的周长之比等于相像比,此题难度较大2（2022.重庆）如图,在平行四边形ABCD 中,点 E 在 AD 上,连接 CE 并延长与 BA 的延长线交于点F,如 AE=2ED ,CD=3cm ,就 AF 的长为（）第 11 页,共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A 5cm B6cm C7cm D8cm 考点 ： 相像三角形的判定与性质；平行四边形的性质分析：由边形 ABCD 是平行四边形,可得AB CD ,即可证得 AFE DEC ,然后由相像三角形的对应边成比例,求得答案解答：解：四边形ABCD 是平行四边形, AB CD , AFE DEC , AE：DE=AF ：CD , AE=2ED ,CD=3cm , AF=2CD=6cm 应选 B点评：此题考查了相像三角形的判定与性质以及平行四边形的性质此题难度不大,留意把握数形结合思想的应 用3（2022.孝感） 如图,在 ABC 中,AB=AC=a ,BC=b（a b）在 ABC 内依次作 CBD= A,DCE= CBD ,EDF= DCE就 EF 等于（）CDA B考点 ： 相像三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质专题 ： 压轴题分析：依次判定 ABC BDC CDE DFE,依据相像三角形的对应边成比例的学问,可得出EF 的长度解答：解： AB=AC , ABC= ACB ,又 CBD= A, ABC BDC ,同理可得： ABC BDC CDE DFE,=,=,=,=, AB=AC , CD=CE ,名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解得： CD=CE=,DE=,EF=应选 C点评：此题考查了相像三角形的判定与性质,此题中相像三角形比较简单找到,难点在于依据对应边成比例求解线段的长度,留意认真对应,不要出错4（2022.咸宁）如图,正方形 ABCD 是一块绿化带,其中阴影部分 EOFB,GHMN 都是正方形的花圃已知自由翱翔的小鸟,将随机落在这块绿化带上,就小鸟在花圃上的概率为（）A BCD考点 ： 相像三角形的应用；正方形的性质；几何概率专题 ： 压轴题分析：求得阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率；解答：解：设正方形的 ABCD 的边长为 a,就 BF= BC=,AN=NM=MC= a,阴影部分的面积为（）2+（a）2= a 2,小鸟在花圃上的概率为 =应选 C点评：此题考查了正方形的性质及几何概率,关键是表示出大正方形的边长,从而表示出两个阴影正方形的边长,最终表示出面积6（2022.内江）如图,在.ABCD 中, E 为 CD 上一点,连接AE 、BD ,且 AE 、BD 交于点 F,S DEF： S ABF=4：25,就 DE：EC=（）B2：3 C3：5 D3：2 A 2：5 考点 ： 相像三角形的判定与性质；平行四边形的性质分析：先依据平行四边形的性质及相像三角形的判定定理得出 DEF BAF ,再依据S DEF：S ABF=4： 25 即解答：可得出其相像比,由相像三角形的性质即可求出 DE：AB 的值,由 AB=CD 即可得出结论解：四边形 ABCD 是平行四边形,名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - AB CD , EAB= DEF, AFB= DFE, DEF BAF , S DEF：S ABF=4：25, DE：AB=2 ：5, AB=CD , DE：EC=2：3应选 B点评：此题考查的是相像三角形的判定与性质及平行四边形的性质,熟知相像三角形边长的比等于相像比,面积 的比等于相像比的平方是解答此题的关键8（2022.恩施州）如下列图,在平行四边形ABCD 中, AC 与 BD 相交于点 O,E 为 OD 的中点,连接AE 并延长交 DC 于点 F,就 DF：FC=（）C2：3 D1：2 A 1：4 B1：3 考点 ： 相像三角形的判定与性质；平行四边形的性质分析：第一证明 DFE BAE ,然后利用对应变成比例,E 为 OD 的中点,求出DF：AB 的值,又知AB=DC ,即可得出 DF：FC 的值解答：解：在平行四边形ABCD 中, AB DC ,就 DFE BAE ,=, O 为对角线的交点, DO=BO ,又 E 为 OD 的中点, DE= DB,就 DE： EB=1：3, DF：AB=1 ：3, DC=AB , DF：DC=1 ：3, DF：FC=1：2应选 D点评：此题考查了相像三角形的判定与性质以及平行四边形的性质,难度适中,解答此题的关键是依据平行证明 DFE BAE ,然后依据对应边成比例求值名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二填空题（共 10 小题）12（2022.南通）如图,在.ABCD 中, AB=6cm ,AD=9cm , BAD 的平分线交BC 于点 E,交 DC 的延长线于点F,BG AE,垂足为 G,BG=4cm,就 EF+CF 的长为5cm考点 ： 相像三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质专题 ： 压轴题分析：第一,由于 AE 平分 BAD ,那么 BAE= DAE ,由 AD BC,可得内错角DAE= BEA ,等量代换后 可证得 AB=BE ,即 ABE 是等腰三角形, 依据等腰三角形“三线合一 ”的性质得出 AE=2AG ,而在 Rt ABG 中,由勾股定理可求得 AG 的值,即可求得 AE 的长；然后,利用平行线分线段成比例的性质分别得出 EF,FC 的长,即可得出答案解答：解： AE 平分 BAD , DAE= BAE ；又 AD BC , BEA= DAE= BAE , AB=BE=6cm , EC=9 6=3（cm）, BGAE ,垂足为 G, AE=2AG 在 Rt ABG 中, AGB=90 °,AB=6cm ,BG=4 cm, AG= =2（cm）, AE=2AG=4cm ； EC AD ,=,=,解得： EF=2（ cm）,FC=3（cm）, EF+CF 的长为 5cm故答案为： 5点评：此题考查了平行四边形的性质,相像三角形的判定与性质,勾股定理等学问的把握程度和敏捷运用才能,同时也表达了对数学中的数形结合思想的考查,难度适中名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 13（2022.菏泽）如下列图,在 ABC 中, BC=6 ,E、F 分别是 AB 、AC 的中点,动点 P 在射线 EF 上, BP 交 CE于 D, CBP 的平分线交 CE 于 Q,当 CQ= CE 时, EP+BP= 12考点 ： 相像三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理专题 ： 压轴题分析：延长 BQ 交射线 EF 于 M ,依据三角形的中位线平行于第三边可得EF BC,依据两直线平行,内错角相等解答：可得 M= CBM ,再依据角平分线的定义可得PBM= CBM ,从而得到 M= PBM ,依据等角对等边可得 BP=PM ,求出 EP+BP=EM ,再依据 CQ= CE 求出 EQ=2CQ ,然后依据 MEQ 和 BCQ 相像,利用相像三角形对应边成比例列式求解即可解：如图,延长 BQ 交射线 EF 于 M , E、F 分别是 AB 、AC 的中点, EF BC, M= CBM , BQ 是 CBP 的平分线, PBM= CBM , M= PBM , BP=PM , EP+BP=EP+PM=EM , CQ= CE, EQ=2CQ ,由 EF BC 得, MEQ BCQ ,=2, EM=2BC=2 ×6=12,即 EP+BP=12故答案为： 12点评：此题考查了相像三角形的判定与性质,角平分线的定义,平行线的性质,延长BQ 构造出相像三角形,求出 EP+BP=EM 并得到相像三角形是解题的关键,也是此题的难点14（2022.巴中）如图,小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且落在离网4 米的位置上,就球拍击球的高度h为1.5 米第 16 页,共 29 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 考点 ： 相像三角形的应用分析：依据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE BC 可知, ADE ACB ,依据其相像比即可求解解答：解： DE BC , ADE ACB ,即=,就=, h=1.5m故答案为： 1.5 米点评：此题考查了相像三角形在测量高度时的应用,解题时关键是找出相像的三角形,然后依据对应边成比例列 出方程,建立适当的数学模型来解决问题15（2022.自贡） 正方形 ABCD 的边长为 1cm,M 、N 分别是 BC、CD 上两个动点, 且始终保持 AM MN ,当 BM=cm 时,四边形 ABCN 的面积最大,最大面积为 cm2考点 ： 相像三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质专题 ： 压轴题分析：设 BM=xcm ,就 MC=1 xcm,当 AM MN 时,利用互余关系可证 ABM MCN ,利用相像比求CN ,依据梯形的面积公式表示四边形ABCN 的面积,用二次函数的性质求面积的最大值解答：解：设 BM=xcm ,就 MC=1 xcm, AMN=90 °, AMB+ NMC=90 °, NMC+ MNC=90 °, AMB= MNC ,又 B=C 名师归纳总结 ABM MCN ,就,即x2+x+,第 17 页,共 29 页解得 CN=x （1 x）, S 四边形 ABCN =×1×1+x （ 1 x）=- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0,=cm 时, S 四边形 ABCN 最大,最大值是×（）2+×+=cm2当 x=故答案是：,点评：此题考查了二次函数的性质的运用关键是依据已知条件判定相像三角形,利用相像比求函数关系式17（2022.泉州）在 ABC 中,P 是 AB 上的动点（P 异于 A、B）,过点 P 的直线截 ABC ,使截得的三角形与 ABC相像,我们不妨称这种直线为过点 P 的 ABC 的相像线,简记为 P（lx）（x 为自然数）（1）如图 ,A=90 °,B= C,当 BP=2PA 时, P（ l1）、P（l2）都是过点 P 的 ABC 的相像线（其中 l1BC,l2 AC ）,此外,仍有 1 条；（2）如图 , C=90°, B=30°,当 = 或 或 时, P（lx）截得的三角形面积为 ABC 面积的考点 ： 相像三角形的判定与性质专题 ： 压轴题分析：（ 1）过点 P 作 l3 BC 交 AC 于 Q,就 APQ ABC ,l3 是第 3 条相像线；解答：（ 2）依据相像线的定义,找出全部符合条件的相像线总共有 4 条,留意不要遗漏解：（1）存在另外 1 条相像线如图 1 所示,过点 P 作 l3 BC 交 AC 于 Q,就 APQ ABC ；故答案为： 1；（ 2）设 P（lx）截得的三角形面积为S,S=S ABC ,就相像比为1：2=如图 2 所示,共有4 条相像线：=； 第 1 条 l1,此时 P 为斜边 AB 中点, l1 AC ,=； 第 2 条 l2,此时 P 为斜边 AB 中点, l2 BC,=； 第 3 条 l3,此时 BP 与 BC 为对应边,且=,=, 第 4 条 l4,此时 AP 与 AC 为对应边,且=,=故答案为：或或名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 点评：此题引入 “相像线 ”的新定义, 考查相像三角形的判定与性质和解直角三角形的运算；难点在于找出全部的相似线,不要遗漏18（2022.嘉兴）如图,在Rt ABC 中, ABC=90 °,BA=BC 点 D 是 AB 的中点,连接CD ,过点 B 作 BG 丄CD,分别交 CD、 CA 于点 E、F,与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 ； 点 F 是 GE 的中点； AF=AB ； S ABC =5S BDF,其中正确的结论序号是考点 ： 相像三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形专题 ： 压轴题G,连接 DF给出以下四个结论：分析：第一依据题意易证得 AFG CFB ,依据相像三角形的对应边成比例与 BA=BC ,继而证得 正确；由点 D 是 AB 的中点,易证得 BC=2BD ,由等角的余角相等,可得DBE= BCD ,即可得 AG= AB ,继而可得 FG= BF；即可得 AF= AC ,又由等腰直角三角形的性质,可得 AC= AB ,即可求得 AF= AB ；就可得 S ABC=6S BDF解答：解：在 Rt ABC 中, ABC=90 °, AB BC,AG AB , AG BC, AFG CFB,名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - , BA=BC ,故 正确； ABC=90 °,BG CD , DBE+ BDE= BDE+ BCD=90 °, DBE= BCD , AB=CB ,点 D 是 AB 的中点, BD=AB=CB,=, tanBCD=,在 Rt ABG 中, tanDBE=, FG=FB, GEBF,点 F 不是 GE 的中点故 错误； AFG CFB, AF：CF=AG ：BC=1：2, AF= AC, AC= AB , AF= AB ,故 正确； BD=AB ,AF=AC , S ABC =6S BDF,故 错误故答案为： 点评：此题考查了相像三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等学问此题难度适中,解题的关键是证得 AFG CFB,留意把握数形结合思想与转化思想的应用名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 19（2022.泸州） 如图, n 个边长为 1 的相邻正方形的一边均在同始终线上,点 M 1,M2,M3,Mn分别为边 B1B 2,B2B3,B3B 4,BnBn+1的中点, B1C1M 1的面积为 S1, B2C2M2的面积为 S2, BnCnM n的面积为 Sn,就 Sn=（用含 n 的式子表示）考点 ： 相像三角形的判定与性质专题 ： 压轴题；规律型分析：由 n 个边长为 1 的相邻正方形的一边均在同始终线上,点 M 1,M2,M 3,M n 分别为边 B 1B2,B 2B3,B 3B4,B nBn+1的中点, 即可求得 B1C1M n的面积,又由 似三角形的面积比等于相像比的平方,求得答案BnCn B1C1,即可得 BnCnM n B 1C1M n,然后利用相解答：解： n 个边长为 1 的相邻正方形的一边均在同始终线上,点M 1,M 2, M 3,M n 分别为边 B1B2,B2B 3,B 3B4,BnB n+1的中点, S1=×B1C1×B1M1=×1× =,=,=,S B1C1M2=×B1C1×B1M 2=×1×S B1C1M3=×B1C1×B1M 3=×1×=,S B1C1M4=×B1C1×B1M 4=×1×=,S B1C1Mn=×B1C1×B1M n=×1× BnCn B1C1, BnCnM n B1C1M n, S BnCnMn：S B1C1Mn=（,）2=（）2,即 Sn：= Sn=故答案为：点评：此题考查了相像三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式此题难度较大,留意掌握相像三角形面积的比等于相像比的平方定理的应用是解此题的关键20（2022.荆州）如图, ABC 是斜边 AB 的长为 3 的等腰直角三角形,在 ABC 内作第 1 个内接正方形 A 1B 1D1E1（D1、E1 在 AB 上,A1、B 1 分别在 AC 、BC 上）,再在 A 1B1C 内接同样的方法作第 2 个内接正方形 A 2B 2D2E2,如此下去,操作 n 次,就第 n 个小正方形 A nBnDnEn 的边长是名师归纳总结 第 21 页,共 29 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 考点 ： 相像三角形的判定与性质；等腰直角三角形专题 ： 规律型分析：求出第一个、其次个、第三个内接正方形的边长,总结规律可得出第n 个小正方形A nB nDnEn 的边长解答：解： A= B=45 °, AE 1=A 1E=A 1B 1=B 1D 1=D 1B,第一个内接正方形的边长=AB=1 ；同理可得：其次个内接正方形的边长 = A 1B 1= AB=；第三个内接正方形的边长 = A 2B 2= AB=；故可推出第 n 个小正方形 A nBnD nEn 的边长 = AB=故答案为：点评：此题考查了相像三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质,解答此题的关键是求出前几个内接正方形的边长,得出一般规律三解答题（共 8 小题）21（2022.珠海）如图, 在 Rt ABC 中,C=90°,点 P 为 AC 边上的一点, 将线段 AP 绕点 A 顺时针方向旋转 （点P 对应点 P）,当 AP 旋转至 APAB 时,点 B、P、P恰好在同始终线上,此时作 PEAC 于点 E（1）求证： CBP= ABP ；（2）求证： AE=CP ；（3）当, BP=5时,求线段AB 的长考点 ： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；相像三角形的判定与性质专题 ： 几何综合题；压轴题分析：（ 1）依据旋转的性质可得AP=AP ,依据等边对等角的性质可得APP=APP,再依据等角的余角相等证明即可；名师归纳总结 - - - - - - -（ 2）过点 P 作 PDAB 于 D,依据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP,然后求出 PAD= APE,利用 “ 角角边 ”证明 APD 和 PAE 全等,依据全等三角形对应边相等可得AE=DP ,从而第 22 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 得证；（ 3）设 CP=3k,PE=2k,表示出 AE=CP=3k ,AP=AP=5k ,然后利用勾股定理列式求出 PE=4k ,再求出 ABP 和 EPP相像, 依据相像三角形对应边成比例列式求出 PA= AB ,然后在 Rt ABP 中,利用勾股定理列式求解即可解答：（ 1）证明： AP是 AP 旋转得到, AP=AP , APP=APP, C=90°,APAB, CBP+ BPC=90 °, ABP+ APP=90°,又 BPC=APP（对顶角相等） , CBP= ABP ；（ 2）证明：如图,过点 P 作 PDAB 于 D, CBP= ABP , C=90°, CP=DP, PEAC , EAP+APE=90°,又 PAD+ EAP=90°, PAD= APE,在 APD 和 PAE 中, APD PAE （AAS ）, AE=DP , AE=CP ；（ 3）解：=,设 CP=3k,PE=2k ,就 AE=CP=3k ,AP=AP=3k+2k=5k ,在 Rt AEP中, PE= =4k , C=90°,PE AC, CBP+ BPC=90 °, EPP+EPP=90°,