2022年2022年惠州市届高三第二次调研考试数学试题及答案与评分标准 .pdf

惠州市 2012 届高三第二次调研考试数学试题 ( 理科）（本试卷共4 页， 21 小题，满分150 分。考试用时120 分钟）注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 . 1设集合23,logPa，,Qa b，若0PQ，则PQ（）A3,0 B3,0,2 C3,0,1 D3,0,1,22若(4 )ai ibi其中,a bR，i是虚数单位，则ab（）A3 B 5 C-3 D-5 3“| 2x”是“260 xx”成立（）条件。A充分而不必要 B 必要而不充分 C充要 D既不充分也不必要4已知等比数列na中，12a，且有24674a aa，则3a( ) A1 B2 C14 D125已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是() A.?1.234yx B. ?1.230.08yx C. ?1.230.8yx D. ?1.230.08yx6若5(1)ax的展开式中3x的系数是 80，则实数 a 的值为（） A -2 B 2 2 C 34 D 2 7如图，正方体1AC的棱长为1，过点A作平面1A BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）点H是1A BD的垂心AH的延长线经过点1CAH垂直平面11CB D直线AH和1BB所成角为45名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 8已知函数2( )24(03),f xaxaxa若1212,1,xxxxa则（）A12()()f xf xB12()()fxf xC12()()f xf xD1()f x与2()f x的大小不能确定二、填空题（本大题共7 小题，分为必做题和选做题两部分每小题5 分，满分 30 分）（一）必做题：第9 至 13 题为必做题，每道试题考生都必须作答9已知ABC中，1,2ab，45B，则角A等于 _ 10如图，三个几何体，一个是长方体、一个是直三棱柱，一个是过圆柱上下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，这三个几何体的主视图和俯视图是相同的正方形，则它们的体积之比为11. 右面框图表示的程序所输出的结果是_ 12若直线yxm与圆22(2)1xy有两个不同的公共点，则实数m的取值范围为13已知双曲线2221 (0)9xyaa中心在原点， 右焦点与抛物线216yx的焦点重合， 则该双曲线的离心率为 _ （二）选做题：第14、15 题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。14 （坐标系与参数方程选做题）曲线2sin(sinxy为参数 )与直线ya有两个公共点，则实数a的取值范围是 _. 15 （几何证明选讲选做题）如图，在O中，AB为直径，AD为 弦，过B点 的 切 线 与AD的 延 长 线 交 于 点C， 且ADDC， 则si n BCO =_ 三、解答题：本大题共6小题，满分 80分解答须写出文字说明、证 明 过 程和演算步骤16 （本小题满分12分）是开始12,1is10i? ss i1ii输出s结束否名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 已知函数44sin2 3sincoscosyxxxx，（1）求该函数的最小正周期和最小值；（2）若0,x，求该函数的单调递增区间。17 （本小题满分12 分）某工厂 2011 年第一季度生产的A、B、C、 D 四种型号的产品产量用条形图表示如图，现用分层抽样的方法从中选取50 件样品参加四月份的一个展销会：（ 1）问 A、B、 C、D 型号的产品各抽取多少件？（ 2）从 A、C 型号的产品中随机的抽取3 件，用表示抽取 A 种型号的产品件数，求的分布列和数学期望。18 （本小题满分14 分）在如图所示的多面体中，EF平面AEB，AEEB,/ADEF，/EFBC，24BCAD，3EF，2AEBE，G是BC的中点（1）求证：BDEG；（2）求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值. 19 （本小题满分14 分）已知数列nb满足11124nnbb，且172b，nT为nb的前n项和 . （1）求证：数列12nb是等比数列，并求nb的通项公式；（2）如果对于任意*nN，不等式1227122nknnT恒成立，求实数k的取值范围 . ADFEBGC50 100 150 200 OABCD产品型号产量（单位件）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 20 （本小题满分14 分）已知点P是圆221: (1)8Fxy上任意一点，点2F与点1F关于原点对称。线段2PF的中垂线m分别与12PFPF、交于MN、两点（1）求点M的轨迹C的方程；（2）斜率为k的直线l与曲线C交于,P Q两点 , 若0OP OQ（O为坐标原点） ，试求直线l在y轴上截距的取值范围21 （本小题满分14 分）已知二次函数( )yg x的图象经过点(0, 0)O、(,0)A m与点(1,1)P mm，设函数( )() ( )f xxn g x在xa和xb处取到极值，其中0mn，ba。（1）求( )g x的二次项系数k的值；（2）比较,a b m n的大小（要求按从小到大排列）；（3）若2 2mn，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线( )yf x均相切，求( )yf x。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 惠州市 2012届高三第二次调研考试理科数学参考答案与评分标准一选择题：共8 小题，每小题5 分，满分 40 分题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案C B A A D D D B 1 【解析】由0PQ, 得2log0a，1a，从而=0b，3,0,1PQ. 选 C. 2 【解析】由(4 )4ai iaibi154aabb，选 B 3 【解析】由|2x得到22x，由260 xx得到2x3，选 A.4 【解析】222467574,4a aaaa，572aa，所以22311,1.2qaa q选 A5 【解析】由条件知，4x，5y，设回归直线方程为?1.23yxa，则1.230.08ayx. 选 D. 6 【解析】5(1)ax的展开式中含3x的项为232335() ( 1)10Caxa x，由题意得31080a，所以2a.选 D.7. 【解析】因为三棱锥A1A BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射影是底面中心，A正确；平面1A BD平面11CB D，而 AH垂直平面1A BD，所以 AH垂直平面11CB D，C正确；根据对称性知B正确 .选 D. 8 【解析】函数的对称轴为1x, 设1202xxx，由03a得到11122a，又12xx，用单调性和离对称轴的远近作判断, 故选 B. 二填空题：共7 小题，每小题5 分，满分 30 分其中 1415 题是选做题，考生只能选做一题930104:2:111320 12(22,22)134 771401a15559. 【解析】根据正弦定理, ,sinsinabAB21sin12sin.22aBAb,30.abA10. 【解析】因为三个几何体的主视图和俯视图为相同的正方形，所以原长方体棱长相等为正方体，原直三棱柱是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，设正方形的边长为a则，长方体体积为3a，三名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 棱柱体积为312a，四分之一圆柱的体积为314a，所以它们的体积之比为4:2:11 【解析】该程序框图的作用是计算12 11 10的值。12. 【解析】圆心到直线的距离2122222mdm. 13. 【解析】抛物线焦点F（4，0）得4c又2916,a得7a，故44 777e. 14 【解析】曲线2sin(sinxy为参数 )为抛物线段2( 11)yxx，借助图形直观易得01a。15. 【解析】由条件不难得ABC为等腰直角三角形，设圆的半径为1，则1OB，2BC，OC5，15sin55BCO。三、解答题16 （本小题满分12分）解： （1）443sin 2sincos3sin 2cos22sin 26xxxxxxy= 4分所以min,2Ty6 分（2）226263xx令2k-2k,kZ，则 k-k,kZ 8分令0,1k，得到,6 3x-或54,63x， 10分与0,x取交集 , 得到0,3x或5,6x,所以，当0,x时，函数的536递增区间是0，和，. 12分17 （本小题满分12 分）解： （1）从条表图上可知，共生产产品50+100+150+200=500 （件），样品比为50150010所以 A、 B、C、D 四种型号的产品分别取111110010,20020,505,1501510101010即样本中应抽取A 产品 10 件， B 产品 20 件， C 产品 5 件，D 产品 15 件。 4 分（ 2）353152(0)91CPC，1210531520(1)91CCPC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 2110531545(2)91CCPC，31031524(3)91CPC 8 分所以的分布列为0 1 2 3 P 291209145912491 10 分204524232919191E 12 分18 （本小题满分14 分）（1） 解法 1 证明：EF平面AEB，AE平面AEB，EFAE，又,AEEB EBEFE，,EB EF平面BCFE，AE平面BCFE. 2 分过D作/ /DHAE交EF于H，则DH平面BCFE. EG平面BCFE，DHEG. 4 分/ /,/ /ADEF DHAE，四边形AEHD平行四边形，2EHAD，2EHBG，又/ /,EHBG EHBE，四边形BGHE为正方形，BHEG， 6 分又,BHDHH BH平面BHD，DH平面BHD, EG平面BHD. 7 分BD平面BHD, BDEG. 8 分（2）AE平面BCFE，AE平面AEFD平面AEFD平面BCFE由（ 1）可知GHEFGH平面AEFDDE平面AEFDGHDE 9 分取DE的中点M，连结MH，MG四边形AEHD是正方形，MHDE,MHGHHMH平面GHM，GH平面GHMDE平面GHMDEMGGMH是二面角GDEF的平面角， 12 分由计算得2,2,6GHMHMGBCFEDMHGA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 23cos36GMH 13 分平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为33. 14 分解法 2 EF平面AEB，AE平面AEB，BE平面AEB，EFAE，EFBE，又AEEB, ,EB EF EA两两垂直 . 2 分以点E为坐标原点，,EB EF EA分别为, ,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得，A（0，0，2） ，B（2， 0，0） ，C（2，4， 0） ，F（0，3，0） ，D（ 0，2，2） ，G（2，2， 0）. 4 分(2,2,0)EG，( 2,2,2)BD， 6 分22220BD EG, 7 分BDEG. 8 分（2）由已知得(2,0,0)EB是平面DEF的法向量 . 9分设平面DEG的法向量为( , , )nx y z，(0,2,2),(2,2,0)EDEG，00ED nEG n，即00yzxy，令1x, 得(1, 1,1)n. 12 分设平面DEG与平面DEF所成锐二面角的大小为，则|23cos|cos,|3| |2 3n EBn EBnEB13 分平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为33. 14 分19 （本小题满分14 分）解： （1）对任意*Nn, 都有11124nnbb，所以1111()222nnbb则12nb成等比数列 , 首项为1132b，公比为12 2 分所以1113 ( )22nnb，1113( )22nnb 4 分（2）因为1113( )22nnbxzyADFEBGC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 所以2113(1)111123(1.)6(1)1222222212nnnnnnnT 7 分因为不等式1227(122)nknnT，化简得272nnk对任意*Nn恒成立 8 分设272nnnc，则1112(1)72792222nnnnnnnncc当5n,1nncc,nc为单调递减数列，当15n,1nncc,nc为 单调递增数列 11 分45131632cc, 所以 , 5n时, nc取得最大值332 13 分所以 , 要使272nnk对任意*Nn恒成立，332k 14 分20 （本小题满分14 分）解： （1）由题意得，12( 1,0),(1,0),FF圆1F的半径为2 2，且2| |MFMP 1 分从而121112| | |2 2|MFMFMFMPPFF F 3 分 点 M的轨迹是以12,F F为焦点的椭圆 , 5 分其中长轴222a, 得到2a, 焦距22c，则短半轴1b椭圆方程为 :2212xy 6 分（2）设直线l的方程为ykxn, 由2212ykxnxy可得222(21)4220kxknxn则2222168(1)(21)0k nnk, 即22210kn 8 分设1122(,),(,)P xyQ xy, 则2121222422,2121knnxxx xkk名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 由0OP OQ可得12120 x xy y, 即1212()()0 x xkxn kxn 10 分整理可得221212(1)()0kx xkn xxn 12 分即22222(1)(22)4()02121knknknnkk化简可得22322nk, 代入整理可得212n, 故直线l在y轴上截距的取值范围是22(,)(,)22 14 分21 （本小题满分14 分）解： （1）由题意可设( )(),0g xkx xmk，又函数图象经过点(1,1)P mm，则1(1)(1)mk mmm，得1k. 2 分（2）由（ 1）可得2( )()yg xx xmxmx。所以( )()( )f xxn g x32()()()x xm xnxmn xmnx，/2( )32()fxxmn xmn， 4 分函数( )f x在xa和xb处取到极值，故/( )0,( )0fafb， 5 分0mn，/22()32()()0fmmmn mmnmmnm mn 7 分/22( )32()()0fnnmn nmnnmnn nm又ba，故bnam。 8 分（3）设切点00(,)Q xy，则切线的斜率/2000()32()kfxxmn xmn又320000()yxmn xmnx，所以切线的方程是322000000()32()()yxmn xmnxxmn xmn xx 9 分又切线过原点，故3232000000()32()xmn xmnxxmn xmnx所以32002()0 xmn x，解得00 x，或02mnx。 10 分两条切线的斜率为/1(0)kfmn，/2()2mnkf，由2 2mn，得2()8mn，21()24mn，2/223()1()2()()22424mnmnmnkfmnmnmnmnmn，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 12 分所以2212(2)()2(1)11k kmn mnmnmnmn，又两条切线垂直，故121k k，所以上式等号成立，有2 2mn，且1mn。所以3232( )()2 2f xxmn xmnxxxx。 14 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -