2022年二元一次方程组的应用例题与讲解.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3.4 二元一次方程组的应用1列二元一次方程组解应用题 1列二元一次方程组解应用题的一般步骤 设出题中的两个未知数；找出题中的两个等量关系；依据等量关系列出需要的代数式,进而列出两个方程,并组成方程组；解这个方程组,求出未知数的值；检验所得结果的正确性及合理性并写出答案2用方程解决实际问题的几个留意事项 先弄清题意, 找出相等关系, 再依据相等关系来挑选未知数和列代数式,比先设未知 数,再找出含有未知数的代数式,再找相等关系更为合理所列方程两边的代数式的意义必需一样,单位要统一,数量关系肯定要相等要养成“ 验” 的好习惯,即所求结果要使实际问题有意义不要漏写“ 答” ,“ 设” 和“ 答” 都不要丢掉单位名称分析过程可以只写在草稿纸上,但肯定要仔细对于可解的应用题,一般来说,有几个未知数,就应找出几个等量关系,从而列出几个方程,即未知数的个数应与方程组中方程的个数相等解技巧 用二元一次方程组解应用题的步骤列二元一次方程组解决实际问题一般需要遵循如下步骤：设出未知数； 解方程； 检验、写出答案审题； 确定相等关系； 【例 11】 为了爱护环境, 某校环保小组成员收集废电池,第一天收集 1 号电池 4 节,5 号电池 5 节,总重量为 460 克,其次天收集 1 号电池 2 节, 5 号电池 3 节,总重量为 240克,试问 1 号电池和 5 号电池每节分别重多少克？分析： 假如 1 号电池和 5 号电池每节分别重x 克, y 克,就 4 节 1 号电池和 5 节 5 号电池总重量为 4x5y克, 2 节 1 号电池和 3 节 5 号电池总重量为 2x3y克解： 设 1 号电池每节重 x 克, 5 号电池每节重 y 克,依据题意可得4x5y460,2x3y240.× 2 ,得 y20. 把 y20 代入 ,得 2x3× 20240,x90. 所以这个方程组的解为答： 1 号电池每节重x90,y20.90 克, 5 号电池每 节重 20 克【例 12】 “ 甲、乙隔河放牧羊,两人相互问数量,甲说得乙羊九只,我羊是你二倍整乙说得甲羊八只,两人羊数正相当” 请你帮忙算一算,甲、乙各放多少羊？分析： 题中有两个未知数：甲放羊的只数和乙放羊的只数相等关系：1甲放羊的只数 92乙放羊的只数9；2甲放羊的只数8乙放羊的只数8. 解： 设甲放羊 x 只,乙放羊 y 只由题意,得名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载x92 y9 ,x8y8,解得x59,y43.未知量是什么, 各个量之间的答： 甲放羊 59 只,乙放羊43 只析规律如何列方程组解应用题在列方程组解决实际问题时,应先分析题目中的已知量、关系是什么,找出它们之间的相等关系,列出方程 问题的建模过程特别重要组,建模过程即可完成,因此解决实际2足球竞赛积分问题足球竞赛积分由竞赛规章打算,足球竞赛结果分胜、平、输三种情形,一般地,胜一场得 3 分,平一场得 1 分,输一场得 0 分各类竞赛规章不尽相同,因此,弄清竞赛规章是正确列出方程的先决条件这类问题基本等量关系为：竞赛总场数胜场数负场数平场数；竞赛总积分胜场积分负场积分平场积分【例 2】 足球竞赛的记分规章是：胜一场得3 分,平一场得1 分,负一场得0 分一x 5,y 4,个队踢了 14 场,负了 5 场,共得 19 分,就这个队胜了A3 场B4 场C5 场D6 场解析： 设这个队胜了x 场,平了 y 场,依据题意,得xy5 14,解得3xy19,就这个队胜了5 场,平 4 场答案： C 3列方程组解答生活中的百分比问题常常面临利润问题、利息问题等 解决这类问在生活中, 我们时刻都在与经济打交道,题,应熟记一些基本公式：1增长率问题增长量增长率方案量 × 100%；方案量×1增长率 增长后的量；方案量 × 1削减率 削减后的量2经济类问题利息本金× 利率× 期数；本息和本金利息本金本金× 利率× 期数；税后利息本金× 利率× 期数×1利息税率 ；商品的利润商品的售价商品的进价；商品的利商品的利润润率商品的进价 × 100%. 析规律 确定实际问题中的相等关系先仔细审题, 找出问题中的已知量和未知量,再借助于表格分析详细问题中蕴涵的数量关系,从而问题中的相等关系就会清晰地出现出来【例 3】 某工厂去年的总产值比总支出多 500 万元 由于今年总产值比去年增加 15%,总支出比去年节省 10%,因此,今年总产值比支出多 950 万元今年的总产值和总支出各是多少万元？名师归纳总结 分析： 可列下表 去年总产值x 万元,总支出y 万元 ：第 2 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 去年学习必备欢迎下载差总产值总支出xy500 今年 115%x 110%y 950 题中有两个相 等关系： 1去年的总产值去年的总支出500 万元；2今年的总产值今年的总支出950 万元解： 设去年的总产值是 x 万元,去年的总支出是 y 万元,由题意,得xy500,115% x 1 10% y950.解得x2 000,y1 500.所以 115%x2 300,110%y1 350. 故今年的总产值是2 300 万元,总支出是1 350 万元4.利用二元一次方程组解决信息题1表格信息题是指通过表格的形式以及肯定的文字说明来供应问题情形的一类试 题它的形式多样,取材广泛,条件清晰、明白有利于培育同学分析问题和解决问题的才能对图表型信息应用题,要善于从图表中挖掘信息,找到一些隐含信息,构建相应的数学模型,敏捷应用所学学问来解决实际问题2情境信息题是通过图形中的文字表述或图中的人物对话猎取信息,确定相等关系,列出方程组或通过观看图形,猎取隐含信息,如拼图问 找等量关系题,要留意依据拼图中的相等线段重在分析,审题,列式是核心,书写格式必需完整、精确要善于依据情境捕获解题条件,把情境中的相等关系正确地转化为数学关系【例 4】 在“ 五一” 期间,小明、小亮等同学随家人一同到江郎山游玩,下图是购门 票时,小明与他爸爸的对话1小明他们一共去了几个成人？几个同学？2请你帮小明算一算,用哪种方式买票更省钱？并说明理由xy12,解得x8,解： 1设去了 x 个成人, y 个同学,就有35x35 2 y350,y4.答： 小明他们一共去了8 个成人, 4 个同学2如购团体票就需：16× 35× 0.6336元 ,由于 336元350元,所以买团体票更省钱名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载答： 买团体票更省钱5列二元一次方程组的应用题常用策略1“ 直接” 与“ 间接” 转换：当直接设未知数不便时,转而设间接未知数来求解,反 之亦然2“ 一元” 与“ 多元” 转换：当设一个未知数有困难时,可考虑设多个未知数求解,反之亦然3“ 部分” 与“ 整体” 转换：当整体设元有困难时,就考虑设其部分,反之亦然,如：数字问题4“ 一般” 与“ 特别” 转换：当从一般情形入手困难时,就着眼于特别情形,反之亦 然5“ 文字” 与“ 图表” 转 换：有的应用题,用文字语言表达较难,就可以用表格或图形来分析,这样既直观,也易懂得题意谈重点 用二元一次方程组解文字型实际问题用二元一次方程组解决文字表达型实际问题,最主要的是从实际问题中找到两个相等关系,通过设适当的两个未知数,用含有未知数的代数式表示数量关系,列出两个二元一次方程【例 5】 学校书法爱好小组预备到文具店购买A,B 两种类型的毛笔,文具店的销售方法是：一次性购买 A 型毛笔不超过 20 支时,按零售价销售；超过 20 支时,超过部分每支比零售价低 0.4 元,其余部分仍按零售价销售一次性购买 B 型毛笔不超过 15 支时,按零售价销售；超过 15 支时,超过部分每支比零售价低 0.6 元,其余部分仍按零售价销售假如全组共有 20 名同学,如每人各买 1 支 A 型毛笔和 2 支 B 型毛笔,共支付 145 元；如每人各买 2 支 A 型毛笔和 1 支 B 型毛笔,共支付 129 元这家文具店的 A,B 两种类型毛笔的零售价各是多少？分析： 20 名同学每人买1 支 A 型毛笔的钱每人买2 支毛笔的钱 145 元； 20 名同学每人买 2 支 A 型毛笔的钱每人买1 支 B 型毛笔的钱 129 元解：设该家文具店A 型毛笔的零售价为每支x 元,B 型毛笔的零售价为每支y 元,依据题意,得20x15y25 y0.6 145,20x20 x0.4 15y5 y 0.6 129,即20x40y160,40x20y140,2 元, B 型毛笔的零售价为每支3 元化简,得x 2y8,2xy7.解得x2,y3.这家文具店A 型毛笔的零售价为每支6.利用方程组解决方案问题“ 方案优化与设计” 类型的题目逐步成为热点考题,特别是运用二元一次方程组求解的试题更为常见 对于二元一次方程组的应用问题,关键是由实际问题向数学问题的转化过程解答设计方案决策题,应先依据题意设计出可行的方案,然后再从中挑选出正确方案名师归纳总结 有时, 不需要我们自己去设计,题目中供应应同学们几种可供挑选的方案,只需依据题第 4 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载目要求通过运算得出正确方案即可这类题目的特点比较突出,需要分类争论不同的方案,挑选满意某种要求的最优的方案难点在于要 求解的量不明显,其实,要求解的量恰恰是隐匿在“ 方案” 中解答有些方案题时,第一要设未知数,多数题目可以直接设未知数,但并不是千篇一律问什么就设什么有时候在方案设题中需要设间接未知数,有时候需要设帮助未知数方案设计题一般具有开放性,而且所给的题目具有很强的情境性,同学们肯定要耐心地读懂题意,然后再 依据要求去决策【例 6】 某省某地生产的一种绿色蔬菜,在市场上如直接销售,每吨的利润为 1 000元,经粗加工后销售, 每吨利润可达 4 500 元,经精加工后销售, 每吨的利润涨至 7 500 元当地的一家公司收购这种蔬菜140 吨,该公司加工厂的生产才能是：假如对蔬菜进行粗加工,每天可加工16 吨；假如进行精加工,每天可加工6 吨,但两种加工方式不能同时进行受季节等条件的限制,公司必需用 司研制了三种可行方案：15 天的时间将这批蔬菜全部的销售或加工完毕为此,公方案一：将蔬菜全部进行粗加工方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工,没来得及进行加工的蔬菜,在市场上直接销售方案三：将一部分蔬菜进行精加工,其余的蔬菜进行粗加工,并恰好用 15 天完成你认为挑选哪种方案获利最多？为什么？解： 挑选第三种方案获利最多方案一： 由于每天粗加工630 000 元16 吨,140 吨可以在 15 天内加工完, 总利润 W 14 500× 140方案二：由于每天精加工6 吨, 15 天可以加工90 吨,其余的50 吨直接销售,总利润W290× 7 50050× 1 000725 000元x y140,得方案三：设15 天内精加工蔬菜x 吨,粗加工蔬菜y 吨,依题意,得6 y 1615,解x60,y80.总利润 W 360× 7 50080× 4 500810 000元综合以上三种方案的利润情形,知 W 1W 2W 3. 所以第三种方案获得利润最多7.列二元一次方程组解决实际问题的常用方法1数量较多的问题常用列表的方式分析数量关系 由于利用表格可清晰地反映数量之间的关系,从而达到少设未知数, 削减运算量的目的解题时,有这样一种规律：假如少设未知数,那么思路复杂,运算简洁；假如多设未知数,那么思路简洁,运算复杂我们应依据详细的题目合理挑选所设未知数的个数2借助“ 表格” 或“ 线段图” 分析复杂的问题例如：从甲地到乙地全程 3.3 千米,一段上坡、一段平路、一段下坡,假如保持上坡每小时行 3 千米,平路每小时行 4 千米,下坡每小时行 5 千米,那么从甲地到乙地需行 51 分钟,从乙地到甲地需行 53.4 分钟,求甲地到乙地的上坡、下坡和平路的路程各是多少千米？这个问题中的数量关系借助线段图来分析更直观【例 7】 据市场调查,个体服装店做生意,只要销售价高出进货价的 20%便可赢利；假如你预备买 1 件标价为 200 元的服装1个体服装店如以高出进价的 2个体服装店如以高出进价的50%要价,你应怎样仍价？100%要价,你应怎样仍价？名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3个体服装店如以高出进价的50%100%要价,你应当在什么范畴内仍价？分析： 分别运算 12 两种情形的最低价格数量关系为： 进价 × 150% 200,最低价进价 × 120%；进价 × 1100% 200,最低价进价× 120%解： 1设该服装的进价为 x 元,就标价为 x150%元,由题意可列方程 1.5x200,解得 x400 3,从而最低价为400 3× 120%160元2设该服装的进价为 y 元,就标价为 y1100%元,由题意可列方程 2y200,解得 y100,从而最低价为 100× 120%120元3由12 可知：买 200 元的服装一般应在120160 元之间仍价名师归纳总结 答： 个体服装店如以高出进价的 50%要价,应仍价160 元；以高出进价的100%要价,第 6 页,共 6 页应仍价 120 元；以高出进价的50%100%要价,应在120160 之间仍价- - - - - - -