2022年中考数学重难点专题讲座第九讲几何图形的归纳、猜想问题.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 中考数学重难点专题讲座第九讲 几何图形的归纳 , 猜想, 证明问题【前言】实行新课标以来,中考加大了对考生归纳,总结,猜想这方面才能的考察,但是由于数列的系统学问要到高中才会正式考察,所以大多放在填空压轴题来出；08 年的中考填空压轴是一道代数归纳题,已经呈现出了这种趋势；09 年的一模,二模也只是较少的区县出了这种归纳题,然而中考的时候就出了一道几何方面的 n 等分点总结问题； 于是今年的一模二模,这种有关几何的归纳,猜想问题铺天盖地而来,这就是一个重要的风向标；而且依据同学反映, 这种问题一般较难,得分率很低, 常常有同学挑选 +填空就只错了这一道；对于这类归纳总结问题来说,摸索的方法是最重要的,所以一下我们通过今年的一二模真题来看看如何应对这种新题型；第一部分 真题精讲【例 1】2022,海淀,一模如图, n +1 个边长为 2 的等边三角形有一条边在同始终线上,设；B D C 的面积为1S ,B D C 的面积为S , ,B n1D C 的面积为S ,就S = nS =_ （用含 n 的式子表示）AB1C1B2C2B3C 3B4C4B5C5 D1D 2D 3D4【思路分析】 拿到这种题型,第一步就是认清所求的图形究竟是什么样的；此题仍好,将阴影部分标出,不至于看错；但是假如不标就会有同学误以为所求的面积是B AC ,B AC 这种的 ,其次步就是看这些图形之间有什么共性和联系.第一S 所代表的三- 1 -名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 角形的底边C 2D 是三角形AC2D 的底边 ,而这个三角形和AC3B 是相像的 .所以边长的比例就是AC 与AC 的比值 .于是S 212232 3.接下来通过总结,我们发觉所求的三角形有一个最大的共性就是高相等233,为3（连接上面全部的B 点,将阴影部分放在反过来的等边三角形中看）；那么既然是求面积,高相等,剩下的自然就是底边的问题了；我们发现全部的 B,C 点连线的边都是平行的,于是自然可以得出n11Dn自然是所在边上的n+1 等分点.例如D2就是B 2C 的一个三等分点.于是D C nn1 2n+1-1 是什么意思 .为什么要减 1.SBn1D Cn1D Cn312n3n3 n22n11【例 2】2022,西城,一模在平面直角坐标系中,我们称边长为 1 且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形,如图,菱形 ABCD的四个顶点坐标分别是 8,0, 0,4, 8,0, 0,4,就菱形 ABCD 能掩盖的单位格点正方形的个数是 _个；如菱形 A B C D的四个顶点坐标分别为 2 n,0, 0,n,2 n,0, 0, n（ n 为正整数）,就菱形 A B C D能掩盖的单位格点正方形的个数为_（用含有 n 的式子表示）y 4 BA- 8ODCx8- 4【思路分析】此题方法比较多,例如第一空直接数格子都可以数出是48（笑）；这里- 2 -名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 笔者供应一种方法,其他方法大家可以自己去想想看；由于求的是菱形包涵的正方形个数,所以只需求出被X,Y 轴所分的四个三角形包涵的个数,再乘以4 即可；比如我们来看其次象限那个三角形；其次象限菱形那条边过（-2n,0 ） 0,n, 自然可以写出直线解析式为y 1 x n,斜率 1 意味着什么.看上图,留意箭头标注的那些空白三角形 ,这些 RT 三角形一2 2共有 2n/2=n 个,他们的纵直角边与横直角边的比是不是就是 1 .而且这些直角三角形都是全2等的 ,面积均为两个单位格点正方形的一半 .那么整个的AOB 的面积自然就是 1 2 n n,所2有 n 个空白小三角形的面积之和为n 1 2 1 ,相减之后自然就是全部格点正方形的面积22 2n n ,也就是数量了 .所以整个菱形的正方形格点就是 4 n 4 n .【例 3】2022,平谷,一模如图,AOB 45,过 OA 上到点 O 的距离分别为 1 3 5 7 9 11. 的点作 OA 的垂线与OB相交,得到并标出一组黑色梯形,它们的面积分别为 S 1,S 2,S 3,S 4,就第一个黑色梯形的面积 S 1；观看图中的规律, 第 n n为 正 整 数 个 黑 色 梯 形 的 面 积S nBS3S2 S4S10135791113.A【思路分析】 此题方法也比较多样；全部阴影部分都是一个直角梯形,而由于AOB 45,所以梯形的上下底长度分别都对应了垂足到 0 点的距离 ,而高就是固定的 2；1第一个梯形上底是 1,下底是 3,所以 S 12 1 3 2 4 .其次个梯形面积S 2 12 5 7 2 12 ,第三个是 S 3 12 9 11 2 20 ,至此 ,我们发觉此题中梯形面积数值上其实就是上下底的和 .而且各个梯形的上底都是前一个梯形上底加上 4；于是第 n 个梯形的上- 3 -名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 底就是 1+4n-1=4n-3, 第一个梯形的上底1 加上 n-1 个 4.下底自然就是4n-1,于是S 就是8n-4. 【例 4】2022,丰台,一模在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点请你观看图中正方形A1B1C1D1,A2B2C2D 2,A3B3C3D3 每个正方形四条边上的整点的个数按此规律推算出正方形 A10B10C10D 10 四条边上的整点共有 个yA3A2A131D 1D2D 3x21-3-2-1O23C3B1-1C1B2C2B3-2-3【思路分析】此题看似麻烦,但是只要把握住“ 正方形” 这个关键就可以了；对于A B C D 来说 , 每条边的长度是 2n, 那么自然整点个数就是 2n+1,所以四条边上整点一共有2n+1x4-4=8n 个 要减去四个被重复算的顶点 , 于是 A B C D 10 就是 80 个.【例 5】2022,宣武,一模如图, ABC 中, ACB=90°,AC=BC=1 ,取斜边的中点,向斜边做垂线,画出一个新的等腰直角三角形,如此连续下去,直到所画直角三角形的斜边与 ABC 的 BC 边重叠为止,此时这个三角形的斜边长为 _- 4 -名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【思路分析】 此题依旧要找出每个三角形和上一个三角形之间的规律联系；关键词 “ 中点” “ 垂线” “ 等腰直角” ；这就意味着每个三角形的锐角都是45 度,并且直角边都是上一个三角形直角边的一半；绕一圈是360 度,包涵了8 个 45° ；于是绕到第八次就可以和BC 重叠了,此时边长为ABC 的1 ,故而得解；8【例 6】2022,门头沟,一模如图,以等腰三角形 AOB的斜边为直角边向外作第 2个等腰直角三角形 ABA,再以等腰直角三角形 ABA的斜边为直角边向外作第 3个等腰直角三角形 A BB, ,如此作下去,如 OA OB 1,就第 n 个等腰直角三角形的面积 S n _（n 为正整数） . B2A1AO B B1【思路分析】 和上题很类似的几何图形外延拓展问题；仍是一样渐渐找小三角形面积的规律；由题可得S 1 1,S 2 2,S 3 4 .,分子就是 1,2,4,8,16 这样的数列；于是 S n 2 n2 2 2 2【总结】 几何图形的归纳总结问题其实就包括了代数方面的数列问题,只不过需要考生自己找出图形与图形之间的联系而已；对于这类问题, 第一就是要认真读题,看清晰题目所求的未知量是什么,然后找出各个未知量之间的联系,这其中就包括了查找未知量的拓展过程中, 哪些变了,哪些没有变；最终依据这些联系列出通项去求解；在遇到详细关系很难找的问题时, 不妨先写出第一项,其次项, 第三项然后去找数式上的规律,如上面例 6 就是一例,假如纠结于几何图形当中等腰三角形直角边的平方,反而会使问题复杂化,直接列出前几项的面积就可以大胆的推测出来结果了；这类题目运算量往往不大,重在摸索和分析的方法,仍请考生细心把握；- 5 -名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其次部分 发散摸索【摸索 1】2022,西城,二模如图,在平面直角坐标系 xOy 中,B 0,1,B 0,3,B 0,6,B 0,10, ,以 B B为对角线作第一个正方形 A B C B,以B B为对角线作其次个正方形 A B C B,以 B B为对角线作第三个正方形 A B C B, ,假如所作正方形的对角线 B B n 1 都在y 轴上,且 B B n 1的长度依次增加 1 个单位,顶点 A都在第一象限内（ n1,且 n 为整数）那么 A的纵坐标为；用 n 的代数式表示 A的纵坐标：【摸索2】2022,朝阳,二模如图,在平面直角坐标系中,一颗棋子从点 P处开头跳动,第一次跳到点 P 关于 x 轴的对称点 1P 处,接着跳到点 1P 关于 y 轴的对称点 2P 处,第三次再跳到点 P关于原点的对称点处, ,如此循环下去当跳动第2022 次时,棋子落点处的坐标是【摸索 3】2022,昌平 ,一模对于大于或等于 2 的自然数 n 的平方进行如下“ 分裂” ,分裂成 n 个连续奇数的和,就自然数 7 2的分裂数中最大的数是,自然数 n2的分裂数中最大的数是 . 1 1 3 3 5 - 6 -名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【摸索 4】2022,延庆,一模一个质点在第一象限及 x轴、y轴上运动,在第一秒钟,它从原点运动到 0 1,然后接着按图中箭头所示方向运动 , 即 0 0 01,11 10,且每秒移动一个单位,那么第 35 秒时质点所在位置的坐标是 _ y 3 2 1 1 2 3 x 0 【摸索 5】2022,海淀,二模如图,将边长为 1 n 的正方形纸片从左到右顺次摆放,其对应的正 n 1 , 2 , 3 , 2方形的中心依次为 A1, A2, A3, .如摆放前 6 个正方形纸片 ,就图中被遮盖的线段（虚线部分）A 2 A 3 A 4A 1之和为；如摆放前 n（n 为大于 1 的正整数）个正方形纸片,就图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为 . 第三部分 摸索题解析【摸索 1 答案】 2；n22 1【摸索 2 答案】（ 3, 2）【摸索 3 答案】 13；2n-1 【摸索 4 答案】（ 5,0）【摸索 5 答案】 10,1n2n1 4- 7 -名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页
