2022年二元一次不等式与简单的线性规划.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 5.4 二元一次不等式（组）与简洁的线性规划一、学问回忆1、画二元一次不等式表示的平面区域,常采纳“ 直线定界,特别点定域” 的方法,当边界不过原点时,常把原点作为特别点2、线性规划问题的有关概念：（1）线性约束条件（2）目标函数（3）线性规划问题（ 4）解线性规划的基本步骤二、精题演练xy20）1、在平面直角坐标系中,不等式组xy20表示的平面区域的面积是（y0A 4 2B4 C 2 2D2 xy20解析： 如图, 作出可行域, 易知不等式组xy20表示的平面区域是一个三y0角形；简洁求三角形的三个顶点坐标为（,）,B2,0,C-2,0. 于是三角形的面积为：S1|BC| |AO|14 24.从而选；222、下面给出的四个点中, 位于x-y-10,表示的平面区域内的点是 xy10A.0,2 B.-2,0 C.0,-2 D.2,0 解析 : 将四个点的坐标分别代入不等式组x-y-10,满意条件的是 0,-2,选 C. xy10x-y10,x+2y 的最小值是 3、如实数 x,y 满意xy0,就 z3x0,3 D.9 A.0 B.1 C.解析 : 解出可行域的顶点, 代入验证即可 . 答案 :B 名师归纳总结 x-0,2表示的平面区域, 就当 a 从-2 连续变化到1 时, 动直线 x+ya 扫过 A 中的那部4、如 A 为不等式组y0,yx第 1 页,共 11 页分区域的面积为 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A.3 B.1 C.7 D.2 44解析 : 如右图 , 知区域的面积是OAB去掉一个小直角三角形. 阴影部分面积比1 大, 比 S OAB1 2× 2× 2 2 小, 应选 C,不需要算出来 答案 : C 5、当点 Mx,y 在如下列图的三角形 ABC内 含边界 运动时 , 目标函数 zkx+y 取得最大值的一个最优解为1,2, 就实数 k 的取值范畴是 A.- , -1 1,+ B.-1,1 C.-, -1 1,+ D.-1,1 解析 : 目标函数所表示的直线的斜率为-k, 当直线所表示的斜率比直线BC的斜率大 , 比直线 AC的斜率小时 , 恰好在点 C1,2 处取得最优解 . kAC1,kBC-1, -1 -k 1, 解得 -1 k1. 答案 :B x-4y 3 0,6、设 O为坐标原点 ,M2,1, 如 Nx,y 满意 2x y-12 0, 就 OM ON 取得最大值时, 点 N的个数是 x 1,A.1 B.2 C.3 D. 很多个解析 : 画出可行域如图, 设 zOM ON 2x+y, 当 z 2x+y 对应的直线同直线 2x+y-12 0 重合时,z 最大,此时有很多个点 . 答案 :D 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - x 27、如 x 、y 满 足 约 束 条 件y2,就 z=x+2y的 取 值 范 围 是（）y B y =2 xy2A、 2,6 B、 2,5 C、 3,6 D、（ 3,5 2 解 ： 如 图 , 作 出 可 行 域 , 作 直 线 l ： x+2y 0 , 将O 2 A x l 向 右 上 方 平 移 , 过 点 A（ 2,0 ） 时 , 有 最 小 值x=2 x + y =2 2, 过 点 B（ 2,2 ） 时 , 有 最 大 值6, 故 选 A 2xy608、不 等 式 组xy30表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为（）y A、 4 C、 5 D、 无 穷 大y2B、 1 解 ： 如 图 , 作 出 可 行 域 , ABC 的 面 积 即 为 所 求 ,由 梯 形 OMBC 的 面 积 减 去 梯 形 OMAC的 面 积 即 可 , 选 B xy 3 = 0 xy5M A B y =2 O C x 2x + y 6= 0 = 5 取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数9、已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件xy50,使z=x+aya>0x3C、 1 D、 1 个 , 就a 的 值 为（）A、 3 B、 3 解 ： 如 图 , 作 出 可 行 域 , 作 直 线l ： x+ay 0, 要 使 目 标 函 数z=x+aya>0取 得 最 小 值 的最 优 解 有 无 数 个 , 就 将 l向 右 上 方 平 移 后 与 直 线 x+y 5 重 合 , 故 a=1 , 选 D y x y + 5 = 0 x + y = 5 O x=3 x 10、已 知 |2x y m| 3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点 （ 0,0 ） 和 （ 1,1 ）, 就m 的 取 值 范 围）2x y + 3 = 0 2x y = 0 是 （）A、（ -3,6）B、（ 0,6 ）C、（ 0,3 ）D、（ -3,3解 ： |2x y m| 3 等 价 于2 xym30y 2 xym30由 右 图 可 知m33, 故 0 m 3 , 选 C m30O 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 11、已知变量 x,y 满意约束条件xy20,就y x的取值范畴是（） . x1,xy7 0,9 9（A） 5,6 （B）（,5 6 ,）（C）（, 3 6 ,）（D）3 ,6 解析 yx是可行域内的点 M（x,y）与原点 O（0,0）连线的斜率,当直线 OM过点（52,2）时, y x取得最小值 5；当直线 OM过点（ 1,6）时, y x取得最大值 6. 答案 A 12、已知点 3,1和 4,6在直线 3x2y+a=0 的两侧,就 a 的取值范畴是 A. a 1 或 a24 B. a=7 或 a=24 C. 7a24 （D. 24 a7 13、满意xy2的整点的点（ x,y）的个数是）名师归纳总结 A5 B 8 C12 D13 200014、.完成一项装修工程, 请木工需付工资每人50 元 , 请瓦工需付工资每人40 元 , 现有工人工资预算元 , 设木工 x 人 , 瓦工 y 人 , 请工人的约束条件是 B 3A.50x40y2000B. 50x40y2000C. 50x40y2000D. 40x50y200015、设 x,y 满意约束条件3 xy60, 如目标函数z=ax+by（a>0,b>0）的值是最大值为12,就2 axy20bx,0y0的最小值为 A . A. 25B. 8C. 11D. 4 633第 4 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y x-y+2=0 z=ax+by 2 -2 O 2 x 3x-y-6=0 【解析】 :不等式表示的平面区域如下列图阴影部分,当直线 ax+by= z（a>0,b>0）过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（ 4,6）时 , 目标函数 z=ax+by （a>0,b>0）取得最大12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而2 a3=2 a3 2 ba63b13ba13225,应选 A. b6ab662xy216、设变量 x、y 满意约束条件xy1,就z2x3y的最大值为；z 最大值为 18 xy1解析：如图1,画出可行域,得在直线2x-y=2 与直线 x-y=-1 的交点 A3,4 处,目标函数图 117、如 x,y 满意约束条件x-y0,0,就 z2x-y 的最大值为 _. xy30x3,解析 : 如图 , 作出可行域 , 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 作出直线 l 0:2x-y 0, 将 l 0平移至过点 答案 : 9 x 1,A 处时 , 函数 z2x-y 有最大值 9. 18、已知x-y10,就 x2+y2的最小值是 _. 5. x2x-y-20,1,画出可行域 , 得交点 A1,2,B3,4,就 x2+y2 的最小值是解析 :x-y10,2x-y-20,答案 : 5 19、已知变量x,y 满意约束条件x-2y-30,如目标函数zax+y 其中 a0 仅在点 3,0 处取得最大值 ,x3y-30,y10,就 a 的取值范畴为 _. 解析 : 画出可行域如下列图,其中B（3,0）,C（1,1）,D（0,1）,如目标函数zax+y 取得最大值,必在B,C,D三点处取得,故有3aa+1 且 3a1,解得 a1. OP在向量 i 方向上的投2答案 : 1,+ 2x-y10,20、点 P（x,y 满意不等式组5x-y-70,i 为 x 轴正方向上的单位向量,就向量y-2,影的最大值为 _. 名师归纳总结 解析 : 画出可行域,其可行域为以A2,3 、B-3,-2、 C1,-2为顶点的三角形内部部分（包含边界）,过A作 x 轴的垂线,垂足为D,由图形可知向量OP在向量 i 方向上的投影的最大值为OD的长度,即为2. 第 6 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案 : 2 21、下图所示的阴影区域用不等式组表示为1 y 13x O 2222、已知点 P（1,-2）及其关于原点的对称点均在不等式2xby10表示的平面区域内,就b 的取值范围是23、不等式xy1所表示的平面区域的面积是24、如不等式组xx0y4所表示的平面区域被直线ykx4分为面积相等的两部分,就 k 的值是 _x333y4名师归纳总结 解析 ：不等式表示的平面区域如下列图阴影部分ABC x 第 7 页,共 11 页由x3y4得 A （1, 1）,又 B（0,4）,C（0,4 3）y y=kx+4 D 33xy4 S ABC =1 244 14,设 ykx 与 3xy4的C A 33交点为 D,就由SBCD1S ABC2知xD1,y D5O 23225 2k14,k723325、不等式x3x1a23 a 对任意实数 x 恒成立,就实数a 的取值范畴为 _ 由于4x3x14 对x3x1a23 a对任意 x 恒成立,所以2 a3 a4 即2 a3 a0,解得a4 或a1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 26、某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A 原料 3 吨, B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产品可获得利润 3 万元；该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨, B 原料不超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润是 _万【解析】 设生产甲产品 x 吨,生产乙产品 y 吨,就有关系：yA 原 B原料 13 料甲产品 x 吨3 x2 xx27 万元,a 扫过 A 中乙 产 品 yy3 y吨（0,6）（3,4）x0就有：y013O （13 ,0）39 3xy2x3y18目标函数z5x3y作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标,体会证知： 当 x 3,y 5 时可获得最大利润为x027、如 A 为不等式组y0表示的平面区域, 就当 a 从 2 连续变化到1 时,动直线 xyyx2的那部分区域的面积为7 428已知实数 x,y满意yyx11|, 就x2y的最大值为 _;|29在坐标平面上, 不等式组yy2|x|11所表示的平面区域的面积为_; x名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - xy030如不等式组2xy02, 表示的平面区域是一个三角形, 就 a 的取值范畴是 _; yxy4ax2 y031.画出不等式组xy05所表示的平面区域x2xy32.求由约束条件 2 x y 6 确定的平面区域的面积 S 阴影部分 和周长 C 阴影部分x 0 , y 0解析 ：由约束条件作出其所确定的平面区域（阴影部分）,其四个顶点为 O（ 0,0）,B（3,0）,A（0,5）,P（1,4）过P 点作 y 轴的垂线,垂足为 C就 AC=|5-4|=1 , PC=|1-0|=1, OC=4, OB=3,AP= 2 ,2 2PB= 4 0 1 3 2 5 y得 S ACP 12 AC PC = 1 ,2 5C APS 梯形 COBP 1 CP OB OC 82所以 S 阴影部分 = S ACP + S梯形 COBP = 17 ,B2 O 3 5 xC 阴影部分 =OA+AP+PB+OB=8+ 2 + 2 5 2x+y=6 x+y=5x 2 y 122 x 3 y 1233. 求目标函数 z 10 x 15 y 的最大值及对应的最优解,约束条件是0 x 10y 0解析 ：作出其可行域如下列图,约束条件所确定的平面区域的五个顶点为 1）,（ 0,4）,（ 0,6）,（ 6,0）（10,0）,（ 10,名师归纳总结 作直线 l0： 10 x +15 y =0,再作与直线l0 平行的直线l：10 x +15 y =z,第 9 页,共 11 页由图象可知,当l 经过点（ 10, 1）时使z10x15y取得最大值,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 明显z max1010151115,此时最优解为（ 10, 1）34、预算用 2 000 元购买单件为50 元的桌子和20 元的椅子,期望使桌子和椅子的总数尽可能得多,但椅子不少于桌子数,且不多于桌子数的1.5 倍,问桌子、椅子各买多少才行？解: 设桌、椅分别买x 张、 y 把,目标函数zx+y, 把所给的条件表示成不等式组,由50x20y2000,即约束条件为yx,由50xx,20y2000,y1.5x,yx0,y0.解得x200,所以 A 点的坐标为（200,200. 7y200,777由50x20y2000,解得x25 ,所以 B 点的坐标为 25,75. 75y1.5x,y22所以满意条件的可行域是以A（200,200）,B（25,75）,O（0,0）为顶点的三角形区域（如下图）772图形可知,目标函数zx+y 在可行域内的最优解为25,75, 但留意到 xN *,y N * ,故取x25,y37.2故买桌子 25 张,椅子 37 把是最好的挑选. 35、某机械厂的车工分、两个等级,各级车工每人每天加工才能,成品合格率及日工资数如下表所示：名师归纳总结 级别加工才能 个/人天 成品合格率 % 工资 元/天 第 10 页,共 11 页240 97 5.6 160 95.5 3.6 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 工厂要求每天至少加工配件2400 个,车工每出一个废品,工厂要缺失2 元,现有级车工8 人,级车工 12 人,且工厂要求至少支配6 名级车工,试问如何支配工作,使工厂每天支出的费用最少. y000, 求y1的取值范畴 . 36. .实数x,y满意不等式组xy2x12 xyxy10名师归纳总结 37.已知xy10且ux2y24x4y8, 求 u 的最小值; 第 11 页,共 11 页y1- - - - - - -